Set deschis

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Punctele a planului cartezian care satisfac relația formează un cerc desenat aici în albastru având centrul la originea axelor carteziene și de rază . Punctele astfel încât sunt desenate în roșu. Partea desenată în roșu formează un set deschis, în timp ce unirea punctelor desenate în roșu și a celor în albastru este un set închis.

Conceptul de set deschis se găsește în matematică în multe domenii și cu grade diferite de generalitate. Intuitiv, un set este deschis dacă este posibil să se deplaseze suficient de puțin în fiecare direcție din orice punct al setului fără a părăsi setul. De fapt, urmând definițiile generale se poate ajunge destul de departe de această idee intuitivă; prin definirea unui întreg deschis putem defini concepte precum „aproape”, „departe”, „atașat”, „separat”; definițiile non-intuitive ale seturilor deschise vor corespunde situațiilor matematice în care aceste concepte sunt utilizate într-un mod non-intuitiv.

Spații topologice

Topologia este contextul mai general în care se întâlnesc seturile deschise; în acest context, conceptul unui întreg deschis este considerat fundamental; luată o mulțime X, dacă orice colecție T de subseturi de X îndeplinește proprietățile date mai jos, X devine un spațiu topologic , T se numește topologia lui X și mulțimile lui T , prin definiție, seturile sale deschise.

Pentru ca colecția T să fie o topologie, trebuie să conțină:

  1. unirea unei colecții arbitrare de seturi de T este încă un set de T
  2. intersecția unui număr finit de mulțimi de T este încă un set de T
  3. mulțimea X și mulțimea goală aparțin lui T

Spațiul topologic este indicat prin specificarea perechii (X, T ). Trebuie remarcat faptul că, dacă considerăm aceeași mulțime X cu două topologii diferite T și T ' , avem două spații topologice diferite; totuși, în multe cazuri, în care structura topologică apare într-un mod „natural”, indicând că întregul este suficient pentru a identifica spațiul topologic.

Spații metrice

Într-un spațiu metric , un subset din se spune deschis dacă, pentru fiecare , există un număr real astfel încât punctele care sunt îndepărtate de pentru mai puțin de încă aparțin . În mod formal: dacă , asa de . Seturile metrice deschise astfel definite constituie o topologie a conform definiției anterioare: în acest fel, fiecare spațiu metric este înzestrat în mod natural cu o structură a spațiului topologic și toate seturile metrice deschise pot fi considerate topologice deschise ( dar nu și invers ).

Spațiul euclidian

Spațiul euclidian este un anumit spațiu metric. Un întreg deschis spațiului euclidian este un întreg astfel încât pentru fiecare din există o minge de rază centrat în , cuprins în întregime în .

Mai exact, un interval în este deschis dacă este de tipul , unde este Și pot fi și respectiv Și .

Închise împreună

Fiecare definiție a unui set deschis corespunde definiției unui set închis . În general, un set este închis dacă și numai dacă este complementul unui set deschis; în contextul spațiilor topologice aceasta este exact proprietatea definitorie, în celelalte zone sunt date definiții separate și această proprietate este dovedită ca o teoremă .

Bibliografie

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică