Ansamblu închis-deschis
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În topologie , un set închis-deschis într-un spațiu topologic este un set deschis și închis simultan.
Exemple
Într-un spațiu topologic X , setul gol și întregul spațiu X sunt ambele închise-deschise.
Acum considerați spațiul X dat de unirea celor două intervale [0,1] și [2,3]. Topologia de pe X este moștenită ca topologie subspatiu din topologia obișnuită a liniei reale R. În X , setul [0,1] este închis-deschis, la fel ca setul [2,3]. Acesta este un exemplu destul de tipic: ori de câte ori un spațiu este format dintr-un număr finit de componente conectate disjunct, componentele vor fi închise-deschise în topologia relativă.
Ca un exemplu mai puțin trivial, considerați spațiul Q al tuturor numerelor raționale cu topologia lor obișnuită și mulțimea A a tuturor numerelor raționale pozitive al căror pătrat este mai mare de 2 . Folosind faptul că nu este în Q , putem arăta cu ușurință că A este un set închis-deschis de Q. (Rețineți că A nu este un subset închis-deschis al liniei reale R ; nici măcar nu este închis sau deschis în R. )
![{\ displaystyle {\ sqrt [{}] {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279e9acdcbb038efff857fe397c1d54ec061fd7e)
Rezultate și noțiuni suplimentare
- Se spune că un spațiu topologic X este conectat dacă singurele seturi închise-deschise sunt setul gol și X.
- Un set este închis-deschis dacă și numai dacă limita sa este goală.
- Fiecare set închis-deschis este uniunea componentelor conectate (potențial infinit ca număr).
- Dacă toate componentele conectate ale lui X sunt deschise (de exemplu, dacă X are doar un număr finit de componente sau dacă X este conectat local ), atunci un set este închis-deschis în X dacă și numai dacă este o uniune a componentelor conectate .
- Un spațiu topologic X este discret dacă și numai dacă toate subseturile sale sunt închise-deschise.
- Folosind unirea și intersecția ca operații, subseturile închise-deschise ale unui spațiu topologic dat X formează o algebră booleană . În mod curios, orice algebră booleană poate fi obținută în acest mod cu un spațiu topologic adecvat: vezi teorema reprezentării lui Stone .
