Set convex

Set convex.

Set convexe Non-.

Într-un spațiu euclidian, o mulțime convexă este o mulțime în care, pentru fiecare pereche de puncte, segmentul care le leagă este în întregime conținut în mulțime.

Exemple de seturi convexe sunt cercuri , sfere , cuburi , avioane , jumătățile de avioane , trapeze , în timp ce circumferențiale arce, torusului sau orice set care conține găuri sau adâncituri sau nu este conectat nu sunt. În trei dimensiuni, exemple de mulțimi convexe sunt sfera , cubul , paraboloidul , în timp ce exemplele de mulțimi neconvexe sunt torul , hiperboloidul hiperbolat . În termeni mai intuitivi, o figură convexă este o cifră „excedentară”, în timp ce o figură concavă este o cifră „reintrând”. În studiile de seturi, definiția setului concav nu este utilizată, ci noțiunea mai articulată de spațiu conectat .

În studiul funcțiilor , o funcție convexă poate fi definită ca o funcție a cărei epigrafică este un subset convex al planului.

Spații vectoriale

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial . Un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se spune că este convex dacă pentru fiecare pereche de puncte $x,y\in A$ ${\ displaystyle x, y \ în A}$ $x, y \ în A$ segmentul care le conectează:

\{(1-t)x+ty:t\in (0,1)\}

{\ displaystyle \ {(1-t) x + ty: t \ in (0,1) \}}

{\ displaystyle \ {(1-t) x + ty: t \ in (0,1) \}}

este cuprins în întregime în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . ^[1]

Un set echilibrat și convex se numește absolut convex .

Proprietate

Se poate arăta, de asemenea, că intersecția a două mulțimi convexe este încă o mulțime convexă. De fapt, să fie X și Y două seturi convexe, iar A și B două puncte aparținând $X\cap Y$ ${\ displaystyle X \ cap Y}$ $X \ cap Y$ . Apoi, deoarece X este convex și conține atât A cât și B, conține și segmentul AB. Același lucru se poate spune despre Y. Prin urmare, segmentul AB aparține ambelor mulțimi și, prin urmare, intersecției lor. Deoarece acest raționament se poate face pentru fiecare alegere posibilă a $A,B\in X\cap Y$ ${\ displaystyle A, B \ în X \ cap Y}$ ${\ displaystyle A, B \ în X \ cap Y}$ , intersecția este un set convex.

Arată că în orice set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ convex, închis, non-gol și conținut într-un spațiu Hilbert există un singur element $x_{0}\in A$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în A}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în A}$ astfel încât:

\|x_{0}\|<\|x\|\quad \forall x\in A\setminus \{x_{0}\}

{\ displaystyle \ | x_ {0} \ | <\ | x \ | \ quad \ forall x \ în A \ setminus \ {x_ {0} \}}

{\ displaystyle \ | x_ {0} \ | <\ | x \ | \ quad \ forall x \ în A \ setminus \ {x_ {0} \}}

Exemple de seturi convexe

Luați în considerare spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

O jumătate de spațiu de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este subsetul $S=\{{\bf {x}}\in \mathbb {R} ^{n},{\bf {v}}^{T}{\bf {x}}\leq b\},$ ${\ displaystyle S = \ {{\ bf {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}, {\ bf {v}} ^ {T} {\ bf {x}} \ leq b \}, }$ ${\ displaystyle S = \ {{\ bf {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}, {\ bf {v}} ^ {T} {\ bf {x}} \ leq b \}, }$ cu ${\bf {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle {\ bf {v}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ bf {v}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ Și $b\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$ . De fapt, jumătățile de spațiu sunt subseturi convexe: date două puncte ${\bf {x}},{\bf {y}}\in S$ ${\ displaystyle {\ bf {x}}, {\ bf {y}} \ în S}$ ${\ displaystyle {\ bf {x}}, {\ bf {y}} \ în S}$ , pentru fiecare $t\in [0,1]$ ${\ displaystyle t \ in [0,1]}$ $t \ in [0,1]$ avem:

{\bf {v}}^{T}(t{\bf {x}}+(1-t){\bf {y}})=t{\bf {v}}^{T}{\bf {x}}+(1-t){\bf {v}}^{T}{\bf {y}}\leq tb+(1-t)b=b,

{\ displaystyle {\ bf {v}} ^ {T} (t {\ bf {x}} + (1-t) {\ bf {y}}) = t {\ bf {v}} ^ {T} {\ bf {x}} + (1-t) {\ bf {v}} ^ {T} {\ bf {y}} \ leq tb + (1-t) b = b,}

{\ displaystyle {\ bf {v}} ^ {T} (t {\ bf {x}} + (1-t) {\ bf {y}}) = t {\ bf {v}} ^ {T} {\ bf {x}} + (1-t) {\ bf {v}} ^ {T} {\ bf {y}} \ leq tb + (1-t) b = b,}

prin urmare

t{\bf {x}}+(1-t){\bf {y}}\in S

{\ displaystyle t {\ bf {x}} + (1-t) {\ bf {y}} \ în S}

{\ displaystyle t {\ bf {x}} + (1-t) {\ bf {y}} \ în S}

,

Având în vedere un standard $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ pe $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ și un număr real $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in \ mathbb {R}$ , mingea închisă $\{{\bf {x}}\in \mathbb {R} ^{n},||{\bf {x}}||\leq t\}$ ${\ displaystyle \ {{\ bf {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}, || {\ bf {x}} || \ leq t \}}$ ${\ displaystyle \ {{\ bf {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {n}, || {\ bf {x}} || \ leq t \}}$ este un subset convex,

Având în vedere un standard $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ pe $\mathbb {R} ^{n-1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1}}$ și un număr real $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in \ mathbb {R}$ , conul standard $\{({\bf {x}},t)\in \mathbb {R} ^{n},||{\bf {x}}||\leq t\}$ ${\ displaystyle \ {({\ bf {x}}, t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, || {\ bf {x}} || \ leq t \}}$ ${\ displaystyle \ {({\ bf {x}}, t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, || {\ bf {x}} || \ leq t \}}$ este un subset convex.

Notă

^ W. Rudin , pagina 78 .

Bibliografie

Walter Rudin, Analiză reală și complexă, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .

Stephen Boyd și Lieven Vandenberghe, Convex optimization , Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0521833783 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe ansamblu convex

linkuri externe

( EN ) Ansamblu convex , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 57850 · LCCN (EN) sh85031731 · GND (DE) 4165212-5 · BNF (FR) cb11942828r (dată) · NDL (EN, JA) 00.573.443

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 78 .

[1]