Ansamblu dens
Salt la navigare Salt la căutare
În matematică , un subset al unui spațiu topologic este dens în spațiul topologic dacă fiecare element al spațiului aparține mulțimii sau este un punct de acumulare . [1]
În cazul unui set de numere reale , de exemplu, pentru fiecare pereche de numere distincte există întotdeauna un element al mulțimii între cele două. Numerele raționale și numerele iraționale sunt două seturi dense, în timp ce numerele întregi nu.
Definiție
Este un spațiu topologic . Un subset din este dens în dacă singurul subset închis al conținând Și în sine, adică închiderea Și .
Următoarele definiții sunt, de asemenea, echivalente cu cele date. este dens în dacă și numai dacă:
- Orice subset deschis ne-gol de se intersectează .
- Complementarul de are gol în interior .
- Fiecare punct al sau aparține o este un punct de acumulare pentru .
Exemple
- Orice spațiu topologic este dens în sine; toate celelalte închise și toate subseturile acestora nu sunt dense în .
- Spațiul numerelor reale cu topologia euclidiană obișnuită are seturile de numere raționale , numere iraționale , numere algebrice , numere transcendente și complementul mulțimii lui Cantor ca subseturi dense.
- De sine Și este dens în , apoi și este dens în .
- Dacă un subset este dens într-o topologie, atunci este dens și în orice topologie mai puțin fină .
- Complementarul unui set niciodată dens nu este dens.
- În plan, o suprafață fără margini este densă ca un întreg format din aceeași suprafață de margine.
- Teorema de aproximare a Weierstrass : polinoamele sunt dense ca întreg a funcțiilor continue pe interval , echipat cu distanța
- Un spațiu metric este dens în finalizarea sa
Notă
- ^ Reed, Simon , Pagina 6 .
Bibliografie
- Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
Elemente conexe
- spațiu separabil , un spațiu cu un subset dens numărabil
- ordinea densă , noțiunea de „densitate” în teoria ordinii
- împreună niciodată dens , un întreg care nu este dens în niciun fel deschis
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe un set dens