Set derivat

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică și în special în topologia generală , setul derivat al unui subset a unui spațiu topologic este ansamblul tuturor punctelor de acumulare a . De obicei este indicat cu , sau .

Conceptul de set derivat a fost introdus de Georg Cantor în 1872. El a dezvoltat teoria seturilor în primul rând pentru a studia seturile derivate în linia reală .

Proprietate

Un subset a unui spațiu topologic este închis când , atunci este conține toate punctele sale de acumulare .

Două subseturi Și sunt separate atunci când sunt disjuncte și fiecare este disjunctă de setul derivat al celuilalt (deși seturile derivate pot să nu fie disjuncte unele de altele).

Întregul se spune perfect dacă , sau echivalent o mulțime perfectă este o mulțime închisă fără puncte izolate . Seturile perfecte sunt deosebit de importante în aplicațiile teoremei categoriei lui Baire .

Două spații topologice sunt homeomorfe dacă și numai dacă există o bijecție de la unul la altul astfel încât mulțimea derivată a imaginii fiecărui subset este imaginea setului derivat al acelei mulțimi, adică

.

Topologie în termeni de mulțimi derivate

Deoarece homeomorfismele pot fi descrise în întregime în termeni de mulțimi derivate, mulțimile derivate au fost utilizate ca noțiune primitivă în topologie . Un set de puncte poate fi echipat cu un operator care trimite subseturi de în subseturi de și astfel încât pentru orice subset și fiecare punct aveți

Deoarece dat 5, 3 este echivalent cu 3 'de mai jos și, deoarece 4 și 5 sunt echivalente cu 4' de mai jos, avem următoarele axiome echivalente:

  • 1.
  • 2.
  • 3 '.
  • 4 '.

Să spunem un subset este închisă dacă și în acest fel definim o topologie pe astfel încât , acesta este este operatorul de set derivat. Dacă impunem, de asemenea, că setul derivat al unui singlet este setul gol , atunci spațiul rezultat va fi un spațiu Hausdorff . De fapt, 2 și 3 'nu pot fi adevărate într-un spațiu non-Hausdorff.

Elemente conexe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică