Împreună închis local

În matematică , un subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a unui spațiu topologic $(X,\mathrm {T} )$ ${\ displaystyle (X, \ mathrm {T})}$ $(X, \ mathrm {T})$ închis local dacă îndeplinește următoarele condiții echivalente:

$S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este deschis în închiderea sa;
$S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este deschis într-un închis de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ;
$S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este închis într-o deschidere de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ;
pentru fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Există în jurul deschis $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din x astfel încât $S\cap U$ ${\ displaystyle S \ cap U}$ ${\ displaystyle S \ cap U}$ este închis în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ;
$S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este intersecția dintre un deschis și un închis de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Observații

De sine $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este un subgrup închis local de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , apoi întregul $\Omega =(X\setminus {\bar {S}})\cup S$ ${\ displaystyle \ Omega = (X \ setminus {\ bar {S}}) \ cup S}$ ${\ displaystyle \ Omega = (X \ setminus {\ bar {S}}) \ cup S}$ este cea mai mare deschidere din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ in care $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este închis. De fapt, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un alt deschis în care $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este închis se dovedește $S={\bar {S}}\cap A$ ${\ displaystyle S = {\ bar {S}} \ cap A}$ ${\ displaystyle S = {\ bar {S}} \ cap A}$ prin urmare $\Omega =(X\setminus {\bar {S}})\cup ({\bar {S}}\cap A)=((X\setminus {\bar {S}})\cup {\bar {S}}))\cap ((X\setminus {\bar {S}})\cup A)=(X\setminus {\bar {S}})\cup A$ ${\ displaystyle \ Omega = (X \ setminus {\ bar {S}}) \ cup ({\ bar {S}} \ cap A) = ((X \ setminus {\ bar {S}}) \ cup {\ bar {S}})) \ cap ((X \ setminus {\ bar {S}}) \ cup A) = (X \ setminus {\ bar {S}}) \ cup A}$ ${\ displaystyle \ Omega = (X \ setminus {\ bar {S}}) \ cup ({\ bar {S}} \ cap A) = ((X \ setminus {\ bar {S}}) \ cup {\ bar {S}})) \ cap ((X \ setminus {\ bar {S}}) \ cup A) = (X \ setminus {\ bar {S}}) \ cup A}$ pentru care $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este deschis și $A\subseteq \Omega$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ Omega}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ Omega}$ .

Exemple

În linia reală , intervalul [0, 1) este închis local, ca intersecție a deschisului (-a, 1) și închisului [0, 1 + a] (cu a> 0).
Subsetul $A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>0,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\leq 0,\ x^{2}+y^{2}<1\}$ ${\ displaystyle A = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y> 0, \ x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1 \} \ cup \ {( x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y \ leq 0, \ x ^ {2} + y ^ {2} <1 \}}$ ${\ displaystyle A = \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y> 0, \ x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1 \} \ cup \ {( x, y) \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y \ leq 0, \ x ^ {2} + y ^ {2} <1 \}}$ din $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ echipat cu topologia euclidiană obișnuită este închis local.
Fiecare submanifold diferențiat de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ este un spațiu închis local.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică