Împreună niciodată dens
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În topologie , un subset A al unui spațiu topologic X nu se spune niciodată că este dens dacă partea internă a închiderii lui A este goală . De exemplu, mulțimea numerelor întregi nu este niciodată un subgrup dens al liniei reale R.
Ordinea operațiilor este foarte importantă. De exemplu, mulțimea numerelor raționale , văzută ca un subset de R , admite un interior gol și, prin urmare, închiderea interiorului este goală, dar este orice altceva decât dens; de fapt este dens în R , exact opusul unui set niciodată dens.
Rețineți, de asemenea, modul în care proprietatea depinde de spațiul înconjurător: o mulțime A nu poate fi niciodată densă dacă este privită ca un sub spațiu topologic al lui X , dar nu dacă este considerată ca un sub spațiu topologic al lui Y.
Orice subset al unui set niciodată dens nu este niciodată dens și unirea unei familii finite de seturi niciodată dense nu este niciodată densă. Cu alte cuvinte, niciodată mulțimile dense nu constituie, oferind o noțiune adecvată a unui set neglijabil , un ideal de mulțimi . Uniunea numărabilă a seturilor niciodată dense nu este, în general, niciodată densă (cu alte cuvinte, seturile niciodată dense nu constituie în general un ideal sigma ). Această uniune este cunoscută în schimb ca un set de primă clasă, un concept pe care se bazează teorema categoriei lui Baire .
Niciodată seturi dense de măsură pozitivă
Un întreg niciodată dens nu este neapărat neglijabil în toate sensurile. De exemplu, dacă X este intervalul unitar [0,1], există un set dens având o măsură Lebesgue nulă (de exemplu, setul de numere raționale), dar există și un set dens de măsură pozitivă.
Un exemplu (o variantă a mulțimii lui Cantor ), este obținut prin eliminarea din [0,1] a tuturor fracțiilor de tip a / 2 n , exprimate în termeni minimi pentru fiecare număr întreg a și n pozitiv, precum și intervalele care le înconjoară [ a / 2 n - 1/2 2 n +1 , a / 2 n + 1/2 2 n +1 ]; deoarece, pentru fiecare n , acest lucru elimină intervalele care se adună, cel mult, la 1/2 n +1 , eliminarea tuturor intervalelor de acest tip generează un set de măsuri niciodată dens nu mai puțin de 1/2 și, prin urmare, reprezintă cea mai mare parte a setului de referință [0,1].
Generalizând această procedură, este posibil să se construiască, în intervalul unitar, niciodată seturi dense de orice măsură mai mică de 1.
