Set gol

Unul dintre simbolurile utilizate pentru a indica setul gol.

Un alt simbol al setului gol.

În teoria mulțimilor , un set gol este un set particular care nu conține niciun element .

În teoria axiomatică a mulțimilor , axioma mulțimii goale îi postulează existența. Pornind de la aceasta, sunt construite toate seturile finite. Setul gol este uneori numit și set nul , dar acest lucru poate crea confuzie cu conceptul stabilit în elementul setului nul , un subiect studiat în teoria măsurătorilor .

Mai multe proprietăți ale setului sunt trivial adevărate pentru setul gol.

Notaţie

De obicei setul gol este indicat cu simbolul $\{\}$ ${\ displaystyle \ {\}}$ ${\ displaystyle \ {\}}$ , $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ , ∅ sau $\emptyset$ ${\ displaystyle \ emptyset}$ $\ emptyset$ , folosit pentru prima dată de grupul de matematicieni , în principal francezi , de la începutul secolului al XX-lea care a scris sub pseudonimul colectiv al lui Nicolas Bourbaki (în special, matematicianul André Weil a fost cel care l-a introdus în 1939 ^[1] ). Nu trebuie confundat cu litera greacă Φ (phi) sau cu vocala scandinavă Øø (deși Weil a fost inspirat din aceasta) ^[1] .

Rețineți că notația { $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ } indică setul care conține setul gol și, prin urmare, nu trebuie confundat cu setul simplu gol $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ .

Pentru a observa mai bine diferențele dintre diferitele simboluri, uitați-vă unul lângă altul: ∅ Øø Φ - simbolul setului gol se bazează pe un cerc , în timp ce litera scandinavă seamănă mai mult cu un oval, ca și cu litera O ; în cele din urmă bara Φ este verticală și nu oblică.

Proprietate

setul gol este un subset al fiecărui set A :
$\forall A:A\supseteq \varnothing$ ${\ displaystyle \ forall A: A \ supseteq \ varnothing}$ $\ forall A: A \ supseteq \ varnothing$
uniunea oricărei mulțimi A cu mulțimea goală este A :
$\forall A:A\cup \varnothing =A$ ${\ displaystyle \ forall A: A \ cup \ varnothing = A}$ $\ forall A: A \ cup \ varnothing = A$
intersecția oricărui set A cu setul gol este setul gol:
$\forall A:A\cap \varnothing =\varnothing$ ${\ displaystyle \ forall A: A \ cap \ varnothing = \ varnothing}$ $\ forall A: A \ cap \ varnothing = \ varnothing$
produsul cartezian al oricărui set A cu setul gol este setul gol:
$\forall A:A\times \varnothing =\varnothing$ ${\ displaystyle \ forall A: A \ times \ varnothing = \ varnothing}$ $\ forall A: A \ times \ varnothing = \ varnothing$
singurul subset al setului gol este setul gol în sine:
$\forall A:A\subseteq \varnothing \Longrightarrow A=\varnothing$ ${\ displaystyle \ forall A: A \ subseteq \ varnothing \ Longrightarrow A = \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ forall A: A \ subseteq \ varnothing \ Longrightarrow A = \ varnothing}$
numărul elementelor setului gol (adică cardinalitatea acestuia) este zero ; setul gol este deci finit :
$|\varnothing |=0$ ${\ displaystyle | \ varnothing | = 0}$ $| \ varnothing | = 0$
având orice proprietate:
- pentru fiecare element al $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ proprietatea este valabilă;
- nu există elemente ale $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ pentru care merită proprietatea;
în același mod, dacă pentru unele proprietăți susține că:
- pentru fiecare element al lui A proprietatea este valabilă;
- nu există elemente din A pentru care proprietatea deține;

asa de

A=\varnothing

{\ displaystyle A = \ varnothing}

A = \ varnothing

.

Deoarece setul gol este unic, vorbim despre setul gol și nu despre un set gol. În teoria mulțimilor , de fapt, două mulțimi sunt egale dacă au aceleași elemente, deci nu poate exista decât un singur set fără elemente.

Considerat ca un subset al liniei reale (sau, mai general, al oricărui spațiu topologic ), mulțimea goală este atât închisă, cât și deschisă . Toate punctele sale de margine (adică fără puncte) aparțin setului gol, care este deci închis; dar și toate punctele sale interne (încă o dată fără puncte) aparțin setului gol, care este deci și deschis. Mai mult, setul gol este un set compact datorită faptului că fiecare set finit este compact.

Închiderea setului gol este goală. Acest fapt este cunoscut sub numele de „păstrarea uniunii nule”.

Probleme comune

Conceptul unui set gol nu este același cu conceptul de nimic . Este un întreg care nu conține nimic în el , dar un întreg este ceva . Acest fapt cauzează adesea dificultăți celor care îl întâmpină pentru prima dată. Poate ajuta să ne imaginăm un întreg ca un container de obiecte: un container gol este gol, dar cu siguranță există.

Setul gol este un subset al oricărui set A. Prin definiția unui subset , avem că pentru fiecare element x al lui {}, x aparține lui A. Dacă nu ar fi adevărat că fiecare element din {} se găsește în A , atunci ar trebui să existe cel puțin un element din {} care nu este prezent în A. Dar, deoarece nu există elemente în {}, atunci nu există niciun element al lui {} care să nu fie în A și , prin urmare, se poate concluziona că fiecare element al lui {} este în A și atunci {} este un subset al lui A. Acest concept este adesea parafrazat cu „totul este adevărat pentru elementele setului gol” și poate fi văzut ca o aplicație a regulii logice „ ex false quodlibet ”.

Teoria axiomatică a mulțimilor

În teoria axiomatică a mulțimilor cunoscută sub numele de teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel , existența setului gol este asigurată de axioma setului gol . Unicitatea setului gol rezultă din axioma extensionalității .

Orice axiomă care stabilește existența oricărei mulțimi implică axioma mulțimii goale, utilizând schema de axiomă a specificațiilor . De exemplu, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un întreg, atunci schema axiomelor de separare permite construirea întregului $B=\left\{\forall x\subset A:x\neq x\right\}$ ${\ displaystyle B = \ left \ {\ forall x \ subset A: x \ neq x \ right \}}$ $B = \ left \ {\ forall x \ subset A: x \ neq x \ right \}$ , care poate fi definit ca setul gol.

Există sau este necesar?

Deși setul gol este un concept standard și universal acceptat în matematică, există oameni care își exprimă încă unele îndoieli.

Jonathan Lowe a spus că, deși ideea „a fost cu siguranță o piatră de hotar în istoria matematicii, ... nu trebuie să presupunem că utilitatea sa în calcule depinde de faptul că denotă de fapt un obiect”. Nu este clar dacă această idee are sens. "Tot ce știm despre setul gol este că (1) este un set, (2) nu are elemente și (3) este unic printre toate seturile care nu au elemente. Dar există multe lucruri pe care" le au nu există elemente "în sensul teoriei mulțimilor - adică toate non-mulțimile. Este clar de ce aceste obiecte nu au elemente: pentru că nu sunt mulțimi. Ceea ce nu este clar este cum poate exista, în mod unic între mulțimi, un set care nu are elemente. Nu putem evoca o astfel de entitate pur și simplu prin acord. "

Mai târziu George Boolos , în „A fi înseamnă a fi valoarea unei variabile ...”, Journal of Philosophy , 1984 (retipărit în cartea sa Logic, Logic and Logic ), a spus că poți parcurge un drum lung prin simpla utilizare a mai multor cuantificare pe obiecte, fără a reifica seturile ca entități unice care au alte entități ca membri.

Într-o carte recentă, Tom McKay și- a exprimat o opinie negativă cu privire la presupunerea „singularistă” că expresiile naturale care folosesc pluralul pot fi analizate folosind surogate pentru plural, cum ar fi simbolurile pentru mulțimi. El susține o teorie anti-singularistă care diferă de teoria mulțimilor prin faptul că nu există un analog al setului gol și există o singură relație, între ( printre în engleză), care este analogă atât conceptului de apartenență, cât și al includere.

Operații pe setul gol

Operațiile pe setul gol (destinate unui set de obiecte pe care se efectuează operația) pot crea confuzie. De exemplu, suma elementelor setului gol este zero , dar multiplicarea elementelor setului gol este una (este produsul gol ). Acest fapt poate părea greșit, deoarece nu există elemente în setul gol și, prin urmare, se pare că nu poate face diferența dacă sunt adăugate sau înmulțite (deoarece "ele" nu există). Într-adevăr, rezultatele acestor operații dezvăluie mai multe despre operațiile în sine decât despre setul gol. De exemplu, rețineți că zero este elementul neutru pentru adunare, în timp ce unul este elementul neutru pentru multiplicare.

Extrem

Întrucât setul gol nu are elemente, atunci când este considerat un subset al oricărui set ordonat este faptul că fiecare element al acelui set este atât un majorant cât o limită inferioară pentru setul gol. De exemplu, atunci când setul gol este considerat un subset de numere reale, cu ordinea obișnuită, se dovedește că fiecare număr real este atât major cât și minor pentru acesta. Când este considerat ca un subset de numere reale extinse (format prin adăugarea celor două „numere” (sau puncte) „minus infinit”, notate cu $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ și „plus infinit”, notat cu $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ la numere reale, definite în așa fel încât $-\infty$ ${\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ este mai mic decât orice număr real și $+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ este mai mare decât orice număr real) avem că:

\sup(\varnothing )=\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbf {R} )=-\infty

{\ displaystyle \ sup (\ varnothing) = \ min (\ {- \ infty, + \ infty \} \ cup \ mathbf {R}) = - \ infty}

{\ displaystyle \ sup (\ varnothing) = \ min (\ {- \ infty, + \ infty \} \ cup \ mathbf {R}) = - \ infty}

,

Și

\inf(\varnothing )=\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbf {R} )=+\infty

{\ displaystyle \ inf (\ varnothing) = \ max (\ {- \ infty, + \ infty \} \ cup \ mathbf {R}) = + \ infty}

{\ displaystyle \ inf (\ varnothing) = \ max (\ {- \ infty, + \ infty \} \ cup \ mathbf {R}) = + \ infty}

.

Adică, cel mai mic majorant (sup sau extrem superior ) este $-\infty \!\,$ ${\ displaystyle - \ infty \! \,}$ $- \ infty \! \,$ , în timp ce cea mai mare minoritate (inf sau limita inferioară ) este $+\infty \!\,$ ${\ displaystyle + \ infty \! \,}$ $+ \ infty \! \,$ .

Setul gol și zero

Anterior, se afirma că setul gol are zero elemente sau că cardinalitatea sa este zero. Legătura dintre aceste două concepte merge mai departe: în definiția abstractă a unui număr natural, zero este prin definiție asociat cu setul gol, unul cu setul cu un singur element setul gol, și așa mai departe, în acest fel:

 0 = {}
1 = {0} = {{}}
2 = {0, 1} = {{}, {{}}}
3 = {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}}.

Teoria categoriilor

Dacă A este un set, atunci există exact o funcție f de la {} la A , funcția goală . În consecință, setul gol este singurul obiect inițial al categoriei de seturi și funcții.

Setul gol poate fi considerat un spațiu topologic într-un singur mod (definindu-l deschis); acest spațiu topologic gol este singurul obiect inițial din categoria spațiilor topologice cu funcții continue .

Notă

^ ^a ^b Primele utilizări ale simbolurilor teoriei și logicii seturilor , la jeff560.tripod.com .

Bibliografie

L. Cerlienco: Numere și puțin altceva (note de curs din cursul Algebra 1, Universitatea din Cagliari ), Capitolul 1 Elemente de logică matematică și teoria mulțimilor , pp. 1-14. [1]

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe un set gol

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[jeff-1] Primele utilizări ale simbolurilor teoriei și logicii seturilor , la jeff560.tripod.com .

[1]

V · D · M Teoria mulțimilor
Seturi numerice	Natural · Întreg · Rațional · Real · Complex
Teoria naivă a mulțimilor (sau a lui Cantor )	Set gol · univers Împreună · Subset · Putere împreună · complement Împreună · Unire · Intersecție · Cuplu comandat · Produs cartezian · Paradoxul lui Russell · Paradox Burali-Forti
Teoria axiomatică a mulțimilor	Axioma · Axiome Peano · Zermelo teoria mulțimilor · teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel · axioma Choice · Zorn Lema · teoria mulțimilor Von Neumann-Bernays-Gödel

V · D · M Simboluri matematice
Semne aritmetice	+ Semn · semn ± · semn - · × marca · semne și ÷ · semnul puterii · semn √ · % semn · semn ‰
Egalitate și inegalitate	= semn · semn ≠ · ≡ semn · semn ≈ · semn> · <semn · semn ≥ · semn ≤
Semne ale teoriei mulțimilor	semn ∈ · semn ∅ · ∩ semn · ∪ marca · semne ⊂ și ⊆ · semne și ⊇ ⊃
Semne ale logicii matematice	semn ∧ · semn ∨ · semn ¬ · semn → · semn ↔ · semn:
Semne geometrice	semn ⊥ · semn //
Semne diverse	simbol Π · simbol Σ · simbol ∞ · Simbol! · Simbol ∃ · simbol ∀ · semn \| \| · Paranteză