Împreună

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Notă despre dezambiguizare.svg Dezambiguizare - Dacă căutați alte semnificații, consultați Împreună (dezambiguizare) .
Reprezentarea grafică a unui set de poligoane

În matematică , o colecție de elemente reprezintă un set dacă există un criteriu obiectiv care vă permite să decideți în mod unic dacă vreun element face parte din grupare sau nu. Este un concept fundamental al matematicii moderne, din care s-a dezvoltat teoria mulțimilor . În uz informal, obiectele din colecție pot fi orice: cifre , litere , oameni , cifre etc., chiar dacă nu neapărat omogene; în formalizările matematice obiectele colecției trebuie în schimb bine definite și determinate.

Generalitate

Conceptul întregului este considerat primitiv și intuitiv : primitiv pentru că este introdus ca o noțiune care nu poate fi derivată din concepte mai elementare; intuitiv deoarece este introdus ca o generalizare a noțiunii de mulțime finită, care la rândul său este introdusă prin analogia cu experiența sensibilă a cutiilor care conțin obiecte materiale (tendențial omogene); această abordare se bazează pe convingerea că ideea întregului este prezentă în mod natural în mintea umană.

Obiectele care alcătuiesc un întreg sunt numite elemente ale acestui întreg; în limbajul matematic, spus la un element al mulțimii A, se spune că aparține lui A sau simbolurilor . O mulțime A este un subset al unei alte mulțimi B când toate elementele lui A aparțin și lui B.

Ceea ce caracterizează conceptul de set și îl diferențiază de structuri matematice similare sunt în esență următoarele proprietăți:

  • Un element poate aparține sau nu unui anumit set, nu există căi de mijloc (așa cum se întâmplă în schimb pentru seturile neclare );
  • Un element nu poate apărea de mai multe ori într-un set (în timp ce poate apărea de mai multe ori într-un multiset );
  • Elementele unui set nu au o ordine de apariție (așa cum se întâmplă în schimb componentelor unui vector sau ale unui tuplu );
  • Elementele unui set îl caracterizează în mod unic: două seturi coincid dacă și numai dacă au aceleași elemente.

Mulțimile, cu operațiile și relațiile lor, pot fi reprezentate grafic cu diagramele Euler-Venn .

Setați descrieri

De obicei, un set este indicat cu majusculele alfabetului: A , B , E , M , S ... și se cere să fie determinat în mod univoc: dacă de exemplu spunem că M este mulțimea lui x astfel încât x este un mamifer marin , atunci să presupunem că putem decide întotdeauna dacă orice animal posibil și imaginabil are caracteristicile necesare pentru a intra din nou în M. Dacă un obiect x aparține unui set F se numește un element al lui F și relația este notată în formă . În schimb, relația de ne-apartenență la un set este notată în formă .

Un set poate fi definit în următoarele moduri:

  • Prin listare sau prin extensie : elementele sunt listate, în acest caz prin convenție elementele sunt scrise cu paranteze separate prin virgule, de exemplu:
Această definiție este utilizată pentru mulțimi finite; pentru mulțimi infinite, elipsele sunt uneori folosite acolo unde se crede că este evident criteriul conform căruia sunt identificate elementele neindicate; de exemplu:
  • Prin proprietate caracteristică sau în înțelegere : ca ansamblu de obiecte care verifică o proprietate dată . În acest caz, se folosește scrierea unde în loc de poate apărea o descriere a unei proprietăți. Ex .: F = { x | x este o floare} ( este definit ca setul de x astfel încât x este o floare), .

Cardinalitatea

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Cardinalitatea și numărul cardinalului .

Cardinalitatea unui set este numărul care indică cantitatea elementelor sale. De exemplu, setul are trei elemente (considerând cele trei litere distincte), deci cardinalitatea 3; ansamblul numerelor naturale în schimb are cardinalitate , primul cardinal infinit .

Se spune că un set este finit dacă are un număr finit de elemente, infinit dacă conține elemente infinite.

Operații între seturi

Unirea a două seturi
Intersecția a două seturi
Diferența de două seturi
Diferență simetrică de două seturi

Principalele operațiuni între seturi sunt:

  • Unirea a două mulțimi A și B : notate cu și este mulțimea formată din toate elementele lui A sau B sau ambele ;
  • Intersecția a două mulțimi A și B : notate cu și este dat de mulțimea formată din toate elementele aparținând atât mulțimii A, cât și mulțimii B ;
  • Diferența dintre B și A este indicată cu sau cu și este dat de mulțimea formată numai din elementele lui B care nu aparțin lui A. se mai numește și ansamblu complementar al lui A în B ;
  • Diferența simetrică dintre două seturi este mulțimea de elemente care aparțin lui A și nu lui B sau care aparțin lui B și nu lui A. Este indicat cu ;
  • Produsul cartezian din două seturi A și B este setul tuturor perechilor ordonate posibile cu Și .

Relațiile dintre mulțimi

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Subset și Disjuncție .

Se mai spun două seturi A și B :

  • Coincident , dacă sunt la fel împreună : acest lucru se întâmplă dacă și numai dacă au aceleași elemente;
  • Disjuncte , dacă nu au niciun element în comun.

B este un subset al lui A dacă A conține elementele lui B. Conform definiției, fiecare set este conținut în sine. Pentru a exprima acest lucru, folosim notația:

Dacă vrem să excludem că B coincide cu A , adică există elemente din A care nu sunt conținute în B , vom folosi notația:

care spune: „ B este un subset corespunzător al lui A ” sau „ B este corect inclus în A ” sau „ B este corect conținut în A ”. Unii autori folosesc doar a doua notație, indiferent de tipul de incluziune.

Relația de incluziune binară dintre seturi face din orice clasă de seturi un set parțial ordonat .

Setul gol

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Set gol .

Setul gol este setul care nu conține niciun element. Este indicat cu simboluri , sau cu două paranteze cretate, prima deschisă și cealaltă închisă .

Setul gol este un subset al oricărui alt set (inclusiv el însuși).

Setul de piese

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Set de piese .

Pentru orice set A definim un set de părți sau un „set de putere” al lui A și notat cu sau mulțimea având ca elemente toate și numai subseturile lui A. De exemplu, dacă atunci setul său de piese este alcătuit din .

Setul de piese are cardinalitate strict mai mare decât cea a setului de pornire. Dacă A este finit și are | A | elemente, numărul de elemente ale este dat de (în simboluri, ).

Setul de părți ale oricărui set, considerat împreună cu operația de diferență simetrică, formează un grup abelian . Dacă uniunea, intersecția și complementarea sunt considerate împreună, structura generată este o algebră booleană .

Partiția unui set

Partiția setului A se numește un set de subseturi de A care are aceste caracteristici:

  • Fiecare subset nu este gol;
  • Toate subseturile sunt disjuncte unele de altele;
  • Uniunea tuturor subseturilor este A

Setul complementar al unui set

Având în vedere mulțimile A și B, cu B A, setul complementar al lui B față de A este AB. O indicăm cu (B).

Seturi numerice

Diagrama Euler a unor seturi numerice remarcabile

Unele seturi, numite numerice , au un rol deosebit de important și omniprezent în toate ramurile matematicii:

Aceste seturi pot fi văzute intuitiv ca fiind cuprinse unul în celălalt:

Mai corect, ar trebui să vorbim despre imersiunea fiecărei mulțimi în cele ce urmează, deoarece, conform axiomatizării actuale, diferitele mulțimi sunt definite în moduri radical diferite unele de altele. Prin urmare, nu se poate spune că este cuprins în , dar că există o funcție injectivă din la

Notă

Bibliografie

  • Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri, 1992.
  • Seymour Lipschutz, Topologie , Sonzogno, Etas Libri, 1979.
  • ( EN ) Paul Halmos (1960): Naive set theory , D. Van Nostrand Company. Reeditat de Springer în 1974, ISBN 0-387-90092-6 .
  • ( FR ) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles , Hermann.

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Thesaurus BNCF 5501 · GND (DE) 4038613-2
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică