Integral Lebesgue-Stieltjes

În analiza matematică și teoria măsurătorilor , integralul Lebesgue-Stieltjes este o generalizare a integralelor Riemann-Stieltjes și Lebesgue . Integrala este numită după Henri Lebesgue și Thomas Joannes Stieltjes și este, de asemenea, cunoscută sub numele de integral Lebesgue-Radon sau integral Radon .

Definiție

Integrala Lebesgue-Stieltjes generalizează integrala Riemann-Stieltjes într-un mod similar cu modul în care integrala Lebesgue generalizează cea Riemann , adică luând în considerare un spațiu de măsurare adecvat și definind integralul pentru funcții simple . Integrala unei funcții generice este apoi realizată făcând limita integralelor funcțiilor simple care aproximează funcția în sine.

Luați în considerare o funcție aditivă non-negativă cu variație mărginită definită pe intervalele liniei reale:

w\colon I\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}

{\ displaystyle w \ colon I \ subseteq \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {+}}

{\ displaystyle w \ colon I \ subseteq \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {+}}

Având în vedere un spațiu măsurabil $(\Omega ,F)$ ${\ displaystyle (\ Omega, F)}$ ${\ displaystyle (\ Omega, F)}$ astfel încât $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ are sprijin pe $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , dacă definiți măsura :

\mu _{w}(E)=\inf \left\{\sum _{j}w(I_{j}):\,E\subseteq \Omega ,E\subseteq \bigcup _{j}I_{j}\right\}

{\ displaystyle \ mu _ {w} (E) = \ inf \ left \ {\ sum _ {j} w (I_ {j}): \, E \ subseteq \ Omega, E \ subseteq \ bigcup _ {j} I_ {j} \ right \}}

{\ displaystyle \ mu _ {w} (E) = \ inf \ left \ {\ sum _ {j} w (I_ {j}): \, E \ subseteq \ Omega, E \ subseteq \ bigcup _ {j} I_ {j} \ right \}}

spaţiu $(\Omega ,F,\mu _{w})$ ${\ displaystyle (\ Omega, F, \ mu _ {w})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, F, \ mu _ {w})}$ este un spațiu de măsurare .

Integral de funcții simple

Având o funcție simplă :

s=\sum _{i}a_{i}1_{A_{i}}

{\ displaystyle s = \ sum _ {i} a_ {i} 1_ {A_ {i}}}

{\ displaystyle s = \ sum _ {i} a_ {i} 1_ {A_ {i}}}

unde este $1_{A_{i}}$ ${\ displaystyle 1_ {A_ {i}}}$ ${\ displaystyle 1_ {A_ {i}}}$ este funcția indicator a întregului măsurabil $A_{i}\in F$ ${\ displaystyle A_ {i} \ în F}$ ${\ displaystyle A_ {i} \ în F}$ , integralul său Lebesgue-Stieltjes este definit ca:

\int s\,\mathrm {d} \mu _{w}=\sum _{i}a_{i}\mu _{w}(A_{i})

{\ displaystyle \ int s \, \ mathrm {d} \ mu _ {w} = \ sum _ {i} a_ {i} \ mu _ {w} (A_ {i})}

{\ displaystyle \ int s \, \ mathrm {d} \ mu _ {w} = \ sum _ {i} a_ {i} \ mu _ {w} (A_ {i})}

Integrală a funcțiilor pozitive

De sine $f\colon (\Omega ,F)\rightarrow \mathbb {R} ^{+}$ ${\ displaystyle f \ colon (\ Omega, F) \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ displaystyle f \ colon (\ Omega, F) \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {+}}$ este o funcție măsurabilă non-negativă (în raport cu măsura $\mu _{w}$ ${\ displaystyle \ mu _ {w}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {w}}$ ), integral al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ în comparație cu $\mu _{w}$ ${\ displaystyle \ mu _ {w}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {w}}$ este definit ca limita superioară a integralelor funcțiilor aproximative simple $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu _{w}=\sup \left\{\int s\,\mathrm {d} \mu _{w}^{E}:s<f,s\ {\mbox{semplice}}\,\right\}

{\ displaystyle \ int _ {E} f \, \ mathrm {d} \ mu _ {w} = \ sup \ left \ {\ int s \, \ mathrm {d} \ mu _ {w} ^ {E} : s <f, s \ {\ mbox {simple}} \, \ right \}}

{\ displaystyle \ int _ {E} f \, \ mathrm {d} \ mu _ {w} = \ sup \ left \ {\ int s \, \ mathrm {d} \ mu _ {w} ^ {E} : s <f, s \ {\ mbox {simple}} \, \ right \}}

unde este $\mu _{w}^{E}(X)=\mu _{w}(E\cap X)$ ${\ displaystyle \ mu _ {w} ^ {E} (X) = \ mu _ {w} (E \ cap X)}$ ${\ displaystyle \ mu _ {w} ^ {E} (X) = \ mu _ {w} (E \ cap X)}$ pe $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ , $\mu _{w}^{E}(X)=0$ ${\ displaystyle \ mu _ {w} ^ {E} (X) = 0}$ ${\ displaystyle \ mu _ {w} ^ {E} (X) = 0}$ , in caz contrar.

Integrală a funcțiilor generice

În cazul mai general în care se are în vedere o funcție $f\colon (\Omega ,F)\rightarrow \mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}$ ${\ displaystyle f \ colon (\ Omega, F) \ rightarrow \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty, - \ infty \}}$ ${\ displaystyle f \ colon (\ Omega, F) \ rightarrow \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty, - \ infty \}}$ , părțile pozitive și negative ale funcției sunt definite:

\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu _{w}=\int _{E}f^{+}\,\mathrm {d} \mu _{w}-\int _{E}f^{-}\,\mathrm {d} \mu _{w}

{\ displaystyle \ int _ {E} f \, \ mathrm {d} \ mu _ {w} = \ int _ {E} f ^ {+} \, \ mathrm {d} \ mu _ {w} - \ int _ {E} f ^ {-} \, \ mathrm {d} \ mu _ {w}}

{\ displaystyle \ int _ {E} f \, \ mathrm {d} \ mu _ {w} = \ int _ {E} f ^ {+} \, \ mathrm {d} \ mu _ {w} - \ int _ {E} f ^ {-} \, \ mathrm {d} \ mu _ {w}}

unde este $f^{+}=\max(0,f)$ ${\ displaystyle f ^ {+} = \ max (0, f)}$ ${\ displaystyle f ^ {+} = \ max (0, f)}$ Și $f^{-}=\max(-f,0)$ ${\ displaystyle f ^ {-} = \ max (-f, 0)}$ ${\ displaystyle f ^ {-} = \ max (-f, 0)}$ .

De asemenea, vă puteți dezactiva de la solicitarea funcției respective $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ la care este asociată măsura este non-negativă; de fapt, având în vedere funcțiile $w_{1}=\max(0,w)$ ${\ displaystyle w_ {1} = \ max (0, w)}$ ${\ displaystyle w_ {1} = \ max (0, w)}$ Și $w_{2}=\max(-w,0)$ ${\ displaystyle w_ {2} = \ max (-w, 0)}$ ${\ displaystyle w_ {2} = \ max (-w, 0)}$ puteți defini măsura:

\mu _{w}(E)=\mu _{w_{1}}(E)-\mu _{-w_{2}}(E)

{\ displaystyle \ mu _ {w} (E) = \ mu _ {w_ {1}} (E) - \ mu _ {- w_ {2}} (E)}

{\ displaystyle \ mu _ {w} (E) = \ mu _ {w_ {1}} (E) - \ mu _ {- w_ {2}} (E)}

și integralul unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este valabil:

\int _{E}f\,\mathrm {d} \mu _{v}=\left(\int _{E}f^{+}\,\mathrm {d} \mu _{w_{1}}-\int _{E}f^{-}\,\mathrm {d} \mu _{w_{1}}\right)-\left(\int _{E}f^{+}\,\mathrm {d} \mu _{-w_{2}}-\int _{E}f^{-}\,\mathrm {d} \mu _{-w_{2}}\right)

{\ displaystyle \ int _ {E} f \, \ mathrm {d} \ mu _ {v} = \ left (\ int _ {E} f ^ {+} \, \ mathrm {d} \ mu _ {w_ {1}} - \ int _ {E} f ^ {-} \, \ mathrm {d} \ mu _ {w_ {1}} \ right) - \ left (\ int _ {E} f ^ {+} \, \ mathrm {d} \ mu _ {- w_ {2}} - \ int _ {E} f ^ {-} \, \ mathrm {d} \ mu _ {- w_ {2}} \ right)}

{\ displaystyle \ int _ {E} f \, \ mathrm {d} \ mu _ {v} = \ left (\ int _ {E} f ^ {+} \, \ mathrm {d} \ mu _ {w_ {1}} - \ int _ {E} f ^ {-} \, \ mathrm {d} \ mu _ {w_ {1}} \ right) - \ left (\ int _ {E} f ^ {+} \, \ mathrm {d} \ mu _ {- w_ {2}} - \ int _ {E} f ^ {-} \, \ mathrm {d} \ mu _ {- w_ {2}} \ right)}

Integrala Daniell

O modalitate alternativă de a defini integralul Lebesgue-Stieltjes este integralul Daniell , care extinde integrala Riemann - Stieltjes. Spus $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ o funcție continuă spre dreapta și nu crește pe interval $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ integrala Riemann - Stieltjes:

I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)

{\ displaystyle I (f) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg (x)}

{\ displaystyle I (f) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dg (x)}

pentru toate funcțiile continue $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Funcționalul liniar $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ definește o măsură de Radon pe $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , și poate fi extins la clasa tuturor funcțiilor non-negative prin setarea:

{\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leq f\leq h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leq f\right\}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {I}} (h) & = \ sup \ left \ {I (f) \: \ f \ în C [a, b], 0 \ leq f \ leq h \ right \} \\ {\ overline {\ overline {I}}} (h) & = \ inf \ left \ {I (f) \: \ f \ în C [a, b], h \ leq f \ right \} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {I}} (h) & = \ sup \ left \ {I (f) \: \ f \ în C [a, b], 0 \ leq f \ leq h \ right \} \\ {\ overline {\ overline {I}}} (h) & = \ inf \ left \ {I (f) \: \ f \ în C [a, b], h \ leq f \ right \} \ end {align}}}

Pentru funcții măsurabile în ceea ce privește sigma-algebra lui Borel avem:

{\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h)

{\ displaystyle {\ overline {I}} (h) = {\ overline {\ overline {I}}} (h)}

{\ displaystyle {\ overline {I}} (h) = {\ overline {\ overline {I}}} (h)}

și ambii membri ai identității definesc, prin urmare, integrala Lebesgue - Stieltjes a $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ . Măsura externă $\mu _{g}$ ${\ displaystyle \ mu _ {g}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {g}}$ este definit de relația:

\mu _{g}(A)={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})

{\ displaystyle \ mu _ {g} (A) = {\ overline {\ overline {I}}} (\ chi _ {A})}

{\ displaystyle \ mu _ {g} (A) = {\ overline {\ overline {I}}} (\ chi _ {A})}

unde este $\chi _{A}$ ${\ displaystyle \ chi _ {A}}$ $\ chi_A$ este funcția indicator a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Se leagă cu alte integrale

De sine $\mu _{w}$ ${\ displaystyle \ mu _ {w}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {w}}$ este măsura Lebesgue , integralul Lebesgue-Stieltjes este redus la integral Lebesgue .

De sine $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție continuă a unei variabile reale cu valori reale și $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ este o funcție reală care nu descrește, atunci integralul Lebesgue - Stieltjes este echivalent cu integralul Riemann-Stieltjes . Deseori scriem:

\int _{a}^{b}f(x)\,dv(x)

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dv (x)}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dv (x)}

lăsând măsura implicită $\mu _{w}$ ${\ displaystyle \ mu _ {w}}$ ${\ displaystyle \ mu _ {w}}$ . Acesta este un formalism foarte comun în teoria probabilității , unde $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este funcția de distribuție a unei variabile aleatoare reale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ :

\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)]

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \, dv (x) = \ mathrm {E} [f (X)]}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) \, dv (x) = \ mathrm {E} [f (X)]}

Bibliografie

(EN) Georgii Evgen'evich Shilov , BL Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Dover Publications, 1978, ISBN 0-486-63519-8 .
( EN ) Saks, Stanislaw (1937) Theory of the Integral.
(EN) Edwin Hewitt, Integration by Parts for Stieltjes Integrals , în The American Mathematical Monthly, vol. 67, nr. 5, mai 1960, pp. 419–423, DOI : 10.2307 / 2309287 , JSTOR 2309287 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) IA Vinogradova, Lebesgue-Stieltjes integral , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy