În ramura matematică a analizei complexe , integrarea la graniță este o metodă de calcul a integralelor de-a lungul căilor din planul complex. [1] [2] Integrarea la graniță este strâns legată de calculul reziduurilor . [3] Integrarea complexă poate fi utilizată pentru a calcula integrale de-a lungul liniei reale al căror calcul nu este ușor cu metode de analiză reale. [4]
Printre metodele de integrare a granițelor se numără:
O metodă sau o combinație a acestora poate fi utilizată pentru calcularea integralelor.
Curbele în planul complex
În analiza complexă, o graniță este un tip de curbă în planul complex . În integralele de graniță, granițele oferă o definiție precisă a curbelor pe care poate fi definită o integrală. O curbă în planul complex este definită ca o funcție continuă de la un interval închis al liniei reale la planul complex: {\ displaystyle z \ colon [a, b] \ to \ mathbb {C}} .
În subsecțiunile următoare vom restrânge setul de curbe pe care ne putem integra pentru a include doar cele care pot fi construite dintr-un număr finit de curbe continue care pot avea o direcție. Mai mult, vom împiedica "piesele" să se încrucișeze și vom cere ca fiecare piesă să aibă o derivată continuă și finită (nu zero). Aceste cerințe sunt echivalente cu necesitatea doar a curbelor care pot fi trasate, de exemplu cu un stilou, cu o succesiune de mișcări regulate, fiecare se termină la începutul următorului, toate fără a ridica stiloul de pe hârtie. [5]
Curbe orientate lin
Contururile sunt deseori definite în termeni de curbe netede orientate. [5] Acestea oferă o definiție precisă a unei „bucăți” de curbă netedă, din care este realizat un contur.
O curbă netedă este o curbă {\ displaystyle z \ colon [a, b] \ to \ mathbb {C}} cu derivata continuă și nu zero, astfel încât să treacă prin fiecare punct o singură dată ( {\ displaystyle z} este injectiv pe {\ displaystyle (a, b)} ), cu posibila excepție a acelor curbe ale căror extreme sunt egale ( {\ displaystyle z (a) = z (b)} ). Dacă extremele se potrivesc, se spune că curba este închisă , funcția trebuie să fie injectivă în orice alt punct și derivata trebuie să fie continuă în acel punct ( {\ displaystyle z '(a) = z' (b)} ). O curbă netedă închisă este adesea numită arc neted. [5]
Parametrizarea unei curbe dă o ordonare a punctelor de pe curbă: {\ displaystyle z (x)} vine înainte de {\ displaystyle z (y)} de sine {\ displaystyle x <y.} Acest lucru duce la conceptul unei curbe netede orientate , care este foarte util pentru luarea în considerare a curbelor, indiferent de parametrizarea specifică. Acest lucru se poate face luând în considerare clase de echivalență ale curbelor netede cu aceeași orientare. Prin urmare, o curbă netedă orientată poate fi definită ca un set ordonat de puncte în planul complex care este imaginea unei curbe netede în ordinea sa naturală (în funcție de parametrizare). Rețineți că nu toate tipurile de puncte sunt tipurile naturale ale unei curbe netede. De fapt, o curbă netedă dată are doar două astfel de ordonări. În plus, o singură curbă închisă poate avea fiecare punct ca extrem, în timp ce un arc neted are doar două opțiuni pentru extreme.
Garnituri
Contururile sunt clasa de curbe pe care definim integrarea conturului. O delimitare este o curbă orientată formată dintr-o succesiune finită de curbe netede orientate ale căror capete sunt suprapuse pentru a avea o singură direcție. Acest lucru necesită succesiunea curbelor {\ textstyle \ gamma _ {1}, \ ldots, \ gamma _ {n}} ambele astfel încât ultimul punct al {\ textstyle \ gamma _ {i}} coincide cu punctul de plecare al {\ textstyle \ gamma _ {i + 1}} .
Toate curbele netede orientate sunt contururi. Un singur punct din planul complex este, de asemenea, o graniță. Simbolul {\ displaystyle +} este adesea folosit pentru a indica curbele care sunt concatenate pentru a forma o nouă curbă. Așa că am putea scrie o schiță {\ displaystyle \ Gamma} facut de {\ displaystyle n} curbe după cum urmează:
- {\ displaystyle \ Gamma = \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2} + \ cdots + \ gamma _ {n}.}
Integrală de contur
Integrala de graniță a unei funcții complexe {\ displaystyle f \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}} este o generalizare a integralelor funcțiilor cu valoare reală. Pentru funcții continue în planul complex , integralul de limită poate fi definit, în analogie cu integralul de linie , definind mai întâi integralul de-a lungul unei curbe netede orientate în termeni de integrală pe un parametru real. O definiție mai generală poate fi dată în termeni de partiții de graniță, în analogie cu partițiile unui interval și integralul Riemann . În ambele cazuri, integrala de pe o graniță este definită ca suma integralelor de-a lungul curbelor netede orientate care formează granița.
Pentru funcții continue
Pentru a defini integralul limită în acest mod, trebuie mai întâi să luăm în considerare integralul, pe o variabilă reală, a unei funcții cu valoare complexă. Este {\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}} o funcție cu valoare complexă a unei variabile reale {\ displaystyle t.} Părțile reale și imaginare ale {\ displaystyle f} sunt deseori notate respectiv cu {\ displaystyle u (t)} Și {\ displaystyle v (t),} astfel încât
- {\ displaystyle f (t) = u (t) + iv (t).}
Atunci integrala funcției cu valoare complexă {\ displaystyle f} pe interval {\ displaystyle [a, b]} este dat de
- {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {a} ^ {b} f (t) \, dt & = \ int _ {a} ^ {b} {\ big (} u (t) + iv ( t) {\ big)} \, dt \\ & = \ int _ {a} ^ {b} u (t) \, dt + i \ int _ {a} ^ {b} v (t) \, dt . \ end {align}}}
Este {\ displaystyle f \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}} o funcție continuă pe curba netedă directă {\ displaystyle \ gamma.} Este {\ displaystyle z \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {C}} orice parametrizare a {\ displaystyle \ gamma} în concordanță cu orientarea sa. Apoi integralul lung {\ displaystyle \ gamma} indicați
- {\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, dz,}
și este dat de [5]
- {\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, dz = \ int _ {a} ^ {b} f {\ big (} \ gamma (t) {\ big)} \ gamma '(t) \, dt.}
Această egalitate este bine definită, adică rezultatul nu depinde de parametrizarea aleasă. [5] În cazul în care integralul real din partea dreaptă nu există, se spune că nici integrala lungă nu există {\ displaystyle \ gamma.}
Generalizarea integralei Riemann a funcțiilor variabile complexe se face în analogie completă cu definiția funcțiilor din reali. Partiția unei curbe netede directe {\ displaystyle \ gamma} este definit ca un set finit și ordonat de puncte ale {\ displaystyle \ gamma.} Integrala de-a lungul curbei este limita sumelor finite ale valorilor funcției, luate în punctele partițiilor, în limita în care tinde distanța maximă a două puncte succesive pe partiție (în planul complex) la zero.
Metode directe
Calcularea integralelor cu metode directe înseamnă calcularea acestora cu metode similare cu cele utilizate pentru integralele curvilinee ale funcțiilor cu mai multe variabile. Aceasta înseamnă că folosim următoarea metodă:
- parametrizarea conturului
- Conturul este parametrizat de o funcție diferențiată care trimite numere reale în numere complexe, sau conturul este împărțit în bucăți care sunt parametrizate separat.
- înlocuirea parametrizării în integrand
- Înlocuirea parametrizării în integrand transformă integralul într-o variabilă reală.
- Calcul direct
- Integrala este calculată cu metode similare cu integralele unei variabile reale.
Un rezultat fundamental al analizei complexe este că integrala de graniță a {\ displaystyle 1 / z} Și {\ displaystyle 2 \ pi i,} unde conturul ales este cercul unitar parcurs în sens invers acelor de ceasornic (sau orice curbă orientată pozitiv Jordan în jur). În cazul cercului unitar există o metodă directă de calcul al integralei
- {\ displaystyle \ oint _ {C} {\ frac {1} {z}} \, dz.}
La calcularea integralei, folosim cercul unității ca graniță {\ displaystyle | z | = 1,} parametrizat de
- {\ displaystyle z (t) = e ^ {it} \ quad t \ in [0,2 \ pi]; \ quad {\ frac {dz} {dt}} = ie ^ {it}}
- {\ displaystyle \ oint _ {C} {\ frac {1} {z}} \, dz = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {1} {e ^ {it}}} ie ^ {it} \, dt = i \ int _ {0} ^ {2 \ pi} 1 \, dt = {\ Big [} \; t \; {\ Big]} _ {0} ^ {2 \ pi } i = (2 \ pi -0) i = 2 \ pi i.}
Aplicarea teoremelor
Pentru a calcula integralele limită, teoremele integrale sunt adesea aplicate, adică o integrală reală este calculată împreună cu integrala limită.
Teoreme integrale precum formula integrală a lui Cauchy sau teorema reziduală sunt utilizate în general în următoarea metodă:
- alegerea unei garnituri:
- Limita este aleasă astfel încât limita să urmeze partea planului complex care descrie integralul real și care cuprinde singularitățile integrandului, astfel încât să putem aplica formula integrală Cauchy sau teorema reziduală
- aplicarea formulei integrale Cauchy
- Integrarea este readusă de-a lungul unui cerc mic în jurul fiecărui pol.
- aplicarea formulei Cauchy integrale sau a teoremei reziduale
- Aplicarea acestor formule ne oferă valoarea integralei de-a lungul întregii limite.
- împărțirea conturului într-o parte reală și o parte imaginară
- Întreaga limită poate fi împărțită în limita care urmează părții care descrie integrala reală (numiți-o R) și integrala care traversează planul complex (numiți-o I). Integrala de-a lungul întregului contur este suma integralei de-a lungul fiecărui contur.
- demonstrație că integrala care traversează planul complex are o contribuție zero la sumă
- Dacă se poate arăta că integralul {\ displaystyle I} este zero sau că integrala reală căutată este necorespunzătoare, atunci dacă dovedim că integrala {\ displaystyle I} Tinde să {\ displaystyle 0,} integrala lungă {\ displaystyle R} va tinde spre integral de-a lungul conturului {\ displaystyle R + I.}
- concluzie
- Dacă putem face pasul de mai sus, atunci putem calcula integralul real.
Exemplul 1
Considerăm integralul
- {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ left (x ^ {2} +1 \ right) ^ {2}}} \, dx,}
Pentru a calcula această integrală, să ne uităm la funcția cu valoare complexă
- {\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {\ left (z ^ {2} +1 \ right) ^ {2}}}}
care are singularitate în {\ displaystyle i} si in {\ displaystyle -i.} Alegem o schiță care cuprinde funcția în real; aici va fi util un semicerc cu diametrul pe linia reală. Raza este {\ displaystyle a.} Noi numim un astfel de contur {\ displaystyle C.}
Există două modalități de a proceda, cu formula integrală Cauchy sau cu metoda reziduală.
Cu formula integrală a lui Cauchy
Rețineți că:
- {\ displaystyle \ oint _ {C} f (z) \, dz = \ int _ {- a} ^ {a} f (z) \, dz + \ int _ {\ text {Arc}} f (z) \, dz}
prin urmare
- {\ displaystyle \ int _ {- a} ^ {a} f (z) \, dz = \ oint _ {C} f (z) \, dz- \ int _ {\ text {Arc}} f (z) \, dz}
De asemenea, rețineți că
- {\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {\ left (z ^ {2} +1 \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1} {(z + i) ^ {2 } (zi) ^ {2}}}.}
Întrucât singura singularitate din contur {\ displaystyle C} este cel din {\ displaystyle i,} putem scrie
- {\ displaystyle f (z) = {\ frac {\ frac {1} {(z + i) ^ {2}}} {(zi) ^ {2}}},}
care pune funcția în forma care permite aplicarea directă a formulei. Prin urmare,
- {\ displaystyle \ oint _ {C} f (z) \, dz = \ oint _ {C} {\ frac {\ frac {1} {(z + i) ^ {2}}} {(zi) ^ { 2}}} \, dz = 2 \ pi i {\ frac {d} {dz}} \ left ({\ frac {1} {(z + i) ^ {2}}} \ right) {\ Bigg | } _ {z = i} = 2 \ pi i \ left ({\ frac {-2} {(z + i) ^ {3}}} \ right) {\ Bigg |} _ {z = i} = { \ frac {\ pi} {2}}}
Facem prima derivată, în pașii de mai sus, deoarece polul este de ordinul doi, adică {\ displaystyle (zi)} este la a doua, deci derivăm o singură dată {\ displaystyle f (z).} De sine {\ displaystyle (zi)} dacă ar fi cub, am folosi a doua derivată și l-am împărți la {\ displaystyle 2!} si asa mai departe. Cazul lui {\ displaystyle (zi)} care nu este ridicat la o putere corespunde funcției nederivate, adică aceeași {\ displaystyle f (z).}
Trebuie să arătăm că integralul de-a lungul arcului semicercului tinde la 0 pentru {\ textstyle a \ to \ infty} , cu lema stimei
- {\ displaystyle \ left | \ int _ {\ text {Arc}} f (z) \, dz \ right | \ leq ML}
unde este {\ displaystyle M} este limita superioară a {\ displaystyle | f (z) |} de-a lungul arcului și {\ displaystyle L} este lungimea arcului. Acum,
- {\ displaystyle \ left | \ int _ {\ text {Arco}} f (z) \, dz \ right | \ leq {\ frac {a \ pi} {\ left (a ^ {2} -1 \ right) ^ {2}}} \ rightarrow 0 {\ text {se}} a \ rightarrow \ infty.}
Prin urmare
- {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ left (x ^ {2} +1 \ right) ^ {2}}} \, dx = \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} f (z) \, dz = \ lim _ {a \ to + \ infty} \ int _ {- a} ^ {a} f (z) \, dz = {\ frac {\ pi} {2}}.}
Cu metoda reziduurilor
Să luăm în considerare seria lui Laurent de {\ displaystyle f (z)} centrat în {\ displaystyle i,} singura singularitate de care trebuie să ținem cont. Atunci noi avem
- {\ displaystyle {\ begin {align} f (z) = {\ frac {-1} {4 (zi) ^ {2}}} & + {\ frac {-i} {4 (zi)}} + { \ frac {3} {16}} \\ & + {\ frac {i} {8}} (zi) + {\ frac {-5} {64}} (zi) ^ {2} + \ cdots \ end {aliniat}}}
Reziduul este {\ displaystyle -i / 4} (pentru a vedea acest lucru, imaginați-vă că ecuația de mai sus este înmulțită cu {\ displaystyle zi,} și ambele părți integrate cu formula integrală a lui Cauchy, doar integralul celui de-al doilea termen ar fi diferit de zero), prin urmare, prin teorema reziduală , avem
- {\ displaystyle \ oint _ {C} f (z) \, dz = \ oint _ {C} {\ frac {1} {\ left (z ^ {2} +1 \ right) ^ {2}}} \ , dz = 2 \ pi i \, \ operatorname {Res} _ {z = i} f = 2 \ pi i \ left (- {\ frac {i} {4}} \ right) = {\ frac {\ pi } {2}}.}
Deci, obținem același rezultat ca înainte.
Notă pe schiță
Ca o divagare, ne putem întreba de ce nu luăm semicercul pentru a include cealaltă singularitate: {\ displaystyle -i.} Pentru ca integrala de-a lungul axei reale să se deplaseze în direcția corectă, conturul trebuie parcurs în sensul acelor de ceasornic, adică în direcția negativă, inversând astfel semnul integralei. Acest lucru nu afectează utilizarea metodei reziduale.
Exemplul 2 - Distribuție cauchy
Integrala
- {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {itx}} {x ^ {2} +1}} \, dx}
(care provine din teoria probabilității ca multiplu scalar al funcției caracteristice a distribuției Cauchy ) „rezistă” tehnicilor de analiză elementară. Îl vom calcula exprimându-l ca o limită a integralelor de limită de-a lungul limitei C care merge de-a lungul liniei reale de la - a la a și apoi de-a lungul semicercului centrat în 0 de rază a , parcurs în sens invers acelor de ceasornic. Fie a mai mare de 1, astfel încât unitatea imaginară i să fie închisă în limită.
Integrala devine
- {\ displaystyle \ int _ {C} {\ frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1}} \, dz.}
De cand {\ displaystyle e ^ {itz}} este o funcție întreagă (neavând singularitate în planul complex), integrandul are singularitate numai acolo unde numitorul este zero, adică pentru z = i sau z = −i . Doar unul dintre aceste puncte se află în regiunea mărginită.
Reziduul lui f (z) în z = i este
- {\ displaystyle \ lim _ {z \ to i} (zi) f (z) = \ lim _ {z \ to i} (zi) {\ frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1 }} = \ lim _ {z \ to i} (zi) {\ frac {e ^ {itz}} {(zi) (z + i)}} = \ lim _ {z \ to i} {\ frac { e ^ {itz}} {z + i}} = {\ frac {e ^ {- t}} {2i}}.}
Conform teoremei reziduale , avem
- {\ displaystyle \ int _ {C} f (z) \, dz = 2 \ pi i \ operatorname {Res} _ {z = i} f (z) = 2 \ pi i {\ frac {e ^ {- t }} {2i}} = \ pi e ^ {- t}.}
Conturul C poate fi divizat într-o parte dreaptă și un arc curbat, astfel
- {\ displaystyle \ int _ {\ text {straight}} + \ int _ {\ text {arc}} = \ pi e ^ {- t},}
prin urmare
- {\ displaystyle \ int _ {- a} ^ {a} = \ pi e ^ {- t} - \ int _ {\ text {arco}}}
Se poate arăta că dacă t> 0 atunci
- {\ displaystyle \ int _ {\ text {arco}} {\ frac {e ^ {itz}} {z ^ {2} +1}} \, dz \ to 0 {\ mbox {per}} a \ to \ infty.}
Deci, dacă t> 0 atunci
- {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {itx}} {x ^ {2} +1}} \, dx = \ pi e ^ {- t}.}
Raționamentul arcului din jurul -i este similar: dacă t <0 atunci
- {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {itx}} {x ^ {2} +1}} \, dx = \ pi e ^ {t},}
și în cele din urmă avem:
- {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {itx}} {x ^ {2} +1}} \, dx = \ pi e ^ {- | t |} .}
(De sine {\ displaystyle t = 0} integralul se poate rezolva cu metode reale de analiză și valoarea sa este {\ displaystyle \ pi.} )
Exemplul 3 - integral trigonometric
Pentru a rezolva integralele funcțiilor trigonometrice , se pot face substituții care transformă integrandul într-o funcție rațională a unei variabile complexe. De exemplu, să luăm în considerare integralul
- {\ displaystyle \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {\ frac {1} {1 + 3 (\ cos t) ^ {2}}} \, dt.}
Facem o înlocuire a {\ displaystyle z = e ^ {it}} . Atunci
- {\ displaystyle \ cos t = {\ frac {1} {2}} \ left (e ^ {it} + e ^ {- it} \ right) = {\ frac {1} {2}} \ left (z + {\ frac {1} {z}} \ right)}
Și
- {\ displaystyle {\ frac {dz} {dt}} = iz, \ dt = {\ frac {dz} {iz}}.}
Numind C cercul unității, înlocuim și obținem:
- {\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {C} {\ frac {1} {1 + 3 \ left ({\ frac {1} {2}} \ left (z + {\ frac {1} { z}} \ right) \ right) ^ {2}}} \, {\ frac {dz} {iz}} & = \ oint _ {C} {\ frac {1} {1 + {\ frac {3} {4}} \ left (z + {\ frac {1} {z}} \ right) ^ {2}}} {\ frac {1} {iz}} \, dz \\ & = \ oint _ {C } {\ frac {-i} {z + {\ frac {3} {4}} z \ left (z + {\ frac {1} {z}} \ right) ^ {2}}} \, dz \ \ & = - i \ oint _ {C} {\ frac {1} {z + {\ frac {3} {4}} z \ left (z ^ {2} +2 + {\ frac {1} {z ^ {2}}} \ right)}} \, dz \\ & = - i \ oint _ {C} {\ frac {1} {z + {\ frac {3} {4}} \ left (z ^ {3} + 2z + {\ frac {1} {z}} \ right)}} \, dz \\ & = - i \ oint _ {C} {\ frac {1} {{\ frac {3} { 4}} z ^ {3} + {\ frac {5} {2}} z + {\ frac {3} {4z}}}} \, dz \\ & = - i \ oint _ {C} {\ frac {4} {3z ^ {3} + 10z + {\ frac {3} {z}}}} \, dz \\ & = - 4i \ oint _ {C} {\ frac {1} {3z ^ { 3} + 10z + {\ frac {3} {z}}}} \, dz \\ & = - 4i \ oint _ {C} {\ frac {z} {3z ^ {4} + 10z ^ {2} +3}} \, dz \\ & = -4i \ oint _ {C} {\ frac {z} {3 \ left (z + {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z + {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left (z - {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} \, dz \\ & = - {\ frac {4i} {3}} \ oint _ {C} {\ frac {z} {\ left (z + {\ sqrt {3}} i \ dreapta) \ left (z - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z + {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left (z - {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} \, dz. \ end {align }}}
Singularitățile de luat în considerare se află în {\ displaystyle {\ tfrac {\ pm i} {\ sqrt {3}}}.} Fie C 1 un cerc mic în jur{\ displaystyle {\ tfrac {i} {\ sqrt {3}}},} și C 2 un cerc mic în jur {\ displaystyle {\ tfrac {-i} {\ sqrt {3}}}.} Apoi ajungi la:
- {\ displaystyle {\ begin {align} - {\ frac {4i} {3}} & \ left [\ oint _ {C_ {1}} {\ frac {\ frac {z} {\ left (z + {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z + {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} { z- {\ frac {i} {\ sqrt {3}}}}} \, dz + \ oint _ {C_ {2}} {\ frac {\ frac {z} {\ left (z + {\ sqrt { 3}} i \ right) \ left (z - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} {z + {\ frac {i} {\ sqrt {3}}}}} \, dz \ right] \\ & = - {\ frac {4i} {3}} \ left [2 \ pi i \ left. \ left ( {\ frac {z} {\ left (z + {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z + {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} \ right) \ right | _ {z = {\ frac {i} {\ sqrt {3}}}} + 2 \ pi i \ left. \ left ({ \ frac {z} {\ left (z + {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (z - {\ frac {i} { \ sqrt {3}}} \ right)}} \ right) \ right | _ {z = - {\ frac {i} {\ sqrt {3}}}} \ right] \\ & = {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left [{\ frac {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} {\ left ({\ frac {i} {\ sqrt {3}}} + {\ sqrt { 3}} i \ right) \ left ({\ frac {i} {\ sqrt {3}}} - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left ({\ frac {i} {\ sqrt {3 }}} + {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} + {\ frac {- {\ frac {i} {\ sqrt {3}}}} {\ left (- { \ frac {i} {\ sqrt {3}}} + {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (- {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} - {\ sqrt {3}} i \ right) \ left (- {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} - {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} \ right)}} \ right] \\ & = {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left [{\ frac {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} {\ left ({\ frac {4} {\ sqrt {3}}} i \ right) \ left (- {\ frac {2} {i {\ sqrt {3}}}} \ right) \ left ({\ frac {2} {{\ sqrt {3}} i}} \ right)}} + { \ frac {- {\ frac {i} {\ sqrt {3}}}} {\ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} i \ right) \ left (- {\ frac {4 } {\ sqrt {3}}} i \ right) \ left (- {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} i \ right)}} \ right] \\ & = {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left [{\ frac {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} {i \ left ({\ frac {4} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right)}} + {\ frac {- {\ frac { i} {\ sqrt {3}}}} {- i \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({\ frac {4} {\ sqrt {3}} } \ right) \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right)}} \ right] \\ & = {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left [{\ frac {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ left ({\ frac {4} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3 }}} \ right) \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right)}} + {\ frac {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ left ( {\ frac {2} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({\ frac {4} {\ sqrt {3}}} \ right) \ left ({\ frac {2} {\ sqrt {3}} } \ right)}} \ right] \\ & = {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left [{\ frac {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ frac {16 } {3 {\ sqrt {3}}}}} + {\ frac {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ frac {16} {3 {\ sqrt {3}}}}} \ dreapta] \\ & = {\ frac {8 \ pi} {3}} \ left [{\ frac {3} {16}} + {\ frac {3} {16}} \ right] \\ & = \ pi. \ end {align}}}
Esempio 3a – integrali trigonometrici (procedimento generale)
Il metodo sopra può essere applicato a tutti gli integrali del tipo
- {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {P{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}{Q{\big (}\sin(t),\sin(2t),\ldots ,\cos(t),\cos(2t),\ldots {\big )}}}\,dt,}
dove {\displaystyle P} e {\displaystyle Q} sono polinomi. Si noti che gli estremi di integrazione possono essere {\displaystyle \pi } e {\displaystyle -\pi ,} come nell'esempio precedente, o qualsiasi altra coppia di punti distanti {\displaystyle 2\pi } tra loro.
Il trucco è usare la sostituzione {\displaystyle z=e^{it}} e
- {\displaystyle {\frac {1}{iz}}\,dz=dt.}
La sostituzione manda l'intervallo {\displaystyle [0,2\pi ]} nel cerchio unitario. Inoltre,
- {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(kt)&={\frac {e^{ikt}-e^{-ikt}}{2i}}={\frac {z^{k}-z^{-k}}{2i}}\\\cos(kt)&={\frac {e^{ikt}+e^{-ikt}}{2}}={\frac {z^{k}+z^{-k}}{2}},\end{aligned}}}
così la sostituzione dà una funzione razionale {\displaystyle f(z)} in {\displaystyle z,} e l'integrale diventa
- {\displaystyle \oint _{|z|=1}f(z){\frac {1}{iz}}\,dz,}
che è uguale alla somma dei residui nel cerchio unitario.
L'immagine a destra lo raffigura per
- {\displaystyle I=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt,}
che ora calcoleremo. Il primo passo è riconoscere che
- {\displaystyle I={\frac {1}{4}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+(\sin t)^{2}}}\,dt.}
Sostituire dà
- {\displaystyle {\frac {1}{4}}\oint _{|z|=1}{\frac {4iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz=\oint _{|z|=1}{\frac {iz}{z^{4}-6z^{2}+1}}\,dz.}
Il poli di questa funzione sono in {\displaystyle 1\pm {\sqrt {2}}} e {\displaystyle -1\pm {\sqrt {2}}.} Di questi,{\displaystyle 1+{\sqrt {2}}} e {\displaystyle -1-{\sqrt {2}}} sono fuori dal cerchio unitario (in rosso, non in scala), mentre{\displaystyle 1-{\sqrt {2}}} e {\displaystyle -1+{\sqrt {2}}} sono dentro (in blu). I residui corrispondenti sono entrambi uguali a {\displaystyle -i{\sqrt {2}}/16,} quindi l'integrale vale
- {\displaystyle I=2\pi i\;2\left(-{\frac {\sqrt {2}}{16}}i\right)=\pi {\frac {\sqrt {2}}{4}}.}
Esempio 4 – tagli
Consideriamo l'integrale reale
- {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}
Cominciamo considerando l'integrale complesso
- {\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=I.}
Possiamo usare la formula integrale di Cauchy o il teorema dei residui per ottenere i residui rilevanti. Tuttavia, la cosa importante da notare è che {\displaystyle {\sqrt {z}}=e^{1/2}\operatorname {Log} z} , e la radice ha un taglio . Questo influisce la nostra scelta del contorno C. Normalmente il taglio del logaritmo è il semiasse reale negativo, tuttavia, questo rende i calcoli un po' più complicati, quindi scegliamo il semiasse positivo.
Quindi, usiamo il cosiddetto contorno a serratura , che consiste in un cerchio piccolo di raggio ε intorno all'origine, due segmenti antiparalleli tra loro, uno sopra all'asse e uno sotto, e un cerchio grande, come nell'immagine a destra.
Si noti che z = −2 e z = −4 stanno dentro al cerchio grande. Questi sono i due poli rimanenti, ottenibili fattorizzando il denominatore dell'integranda. Il punto di diramazione in z = 0 è evitato girando intorno all'origine.
Sia γ il cerchio piccolo di raggio ε, Γ il più grande, con raggio {\displaystyle R,} allora
- {\displaystyle \int _{C}=\int _{\varepsilon }^{R}+\int _{\Gamma }+\int _{R}^{\varepsilon }+\int _{\gamma }.}
Si può far vedere che gli integrali lungo Γ e γ tendono entrambi a 0 per ε → 0 e R → ∞, per un ragionamento di stima, che lascia due termini. Ora dato che {\displaystyle {\sqrt {z}}=e^{1/2}\operatorname {Log} z} , sul contorno fuori dal taglio, l'argomento guadagna 2π lungo γ. (Per l' identità di Eulero , {\displaystyle e^{it}} rappresenta il vettore unitario, che ha π come suo logaritmo. Questo π è l'argomento di z. Il coefficiente di 1/2 ci obbliga a usare 2π.) Allora
- {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\operatorname {Log} z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}(\log |z|+i\arg {z})}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{{\frac {1}{2}}(2\pi i)}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {e^{{\frac {1}{2}}\log |z|}e^{\pi i}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\&=\int _{R}^{\varepsilon }{\frac {-{\sqrt {z}}}{z^{2}+6z+8}}\,dz\\&=\int _{\varepsilon }^{R}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz.\end{aligned}}}
Quindi:
- {\displaystyle \int _{C}{\frac {\sqrt {z}}{z^{2}+6z+8}}\,dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx.}
Usando il teorema dei residui e la formula integrale di Cauchy (prima impiegando il metodo delle frazioni parziali per ottener la somma di due semplici integrali di contorno) si ha
- {\displaystyle \pi i\left({\frac {i}{\sqrt {2}}}-i\right)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{x^{2}+6x+8}}\,dx=\pi \left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right).}
Esempio 5 – il quadrato del logaritmo
Questa sezione tratta un tipo di integrale dei quali
- {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx}
è un esempio.
Per calcolare questo integrale, si usa la funzione
- {\displaystyle f(z)=\left({\frac {\log z}{1+z^{2}}}\right)^{2}}
e il ramo del logaritmo corrispondente a −π < arg z ≤ π.
Calcoleremo l'integrale di {\displaystyle f(z)} lungo il contorno a serratura raffigurato a destra. Questo integrale è un multiplo dell'integrale iniziale che vogliamo calcolare e per il teorema dei residui abbiamo
- {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz&=2\pi i{\big (}\operatorname {Res} _{z=i}f(z)+\operatorname {Res} _{z=-i}f(z){\big )}\\&=2\pi i\left(-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {1}{16}}i\pi ^{2}\right)\\&=-i\pi ^{2}.\end{aligned}}}
Sia {\displaystyle R} il raggio del cerchio grande, e {\displaystyle r} il raggio di quello piccolo. Denotiamo la linea superiore con {\displaystyle M} e quella inferiore con {\displaystyle N.} Come prima facciamo il limite per R → ∞ er → 0. I contributi dei due cerchi sono nulli. Per esempio, si ha il seguente limite superiore con il lemma ML :
- {\displaystyle \left|\int _{R}f(z)\,dz\right|\leq 2\pi R{\frac {(\log R)^{2}+\pi ^{2}}{\left(R^{2}-1\right)^{2}}}\to 0.}
Per calcolare i contributi di M e N impostiamo z = −x + iε su M e z = −x − iε su N, con 0 < x < ∞:
- {\displaystyle {\begin{aligned}-i\pi ^{2}&=\left(\int _{R}+\int _{M}+\int _{N}+\int _{r}\right)f(z)\,dz\\&=\left(\int _{M}+\int _{N}\right)f(z)\,dz&&\int _{R},\int _{r}{\mbox{ si annullano}}\\&=-\int _{\infty }^{0}\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-xi\varepsilon )}{1+(-xi\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-x+i\varepsilon )}{1+(-x+i\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log(-xi\varepsilon )}{1+(-xi\varepsilon )^{2}}}\right)^{2}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log x+i\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {\log xi\pi }{1+x^{2}}}\right)^{2}\,dx&&\varepsilon \to 0\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {(\log x+i\pi )^{2}-(\log xi\pi )^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {4\pi i\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\\&=4\pi i\int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx\end{aligned}}}
che viene
- {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\log x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}\,dx=-{\frac {\pi }{4}}.}
Esempio 6 – logaritmi e il residuo all'infinito
Vogliamo valutare
- {\displaystyle I=\int _{0}^{3}{\frac {x^{3/4}(3-x)^{1/4}}{5-x}}\,dx.}
Ciò richiede uno studio attento di
- {\displaystyle f(z)=z^{3/4}(3-z)^{1/4}.}
Costruiremo {\displaystyle f(z)} in modo tale che abbia un taglio in {\displaystyle [0,3],} mostrato in rosso nel grafico. Per farlo, scegliamo due rami del logaritrmo, mettendo
- {\displaystyle z^{3/4}=\exp \left({\frac {3}{4}}\log z\right)\quad {\mbox{dove }}-\pi \leq \arg z<\pi }
e
- {\displaystyle (3-z)^{1/4}=\exp \left({\frac {1}{4}}\log(3-z)\right)\quad {\mbox{dove }}0\leq \arg(3-z)<2\pi .}
Il taglio di z3⁄4 è quindi (−∞, 0] e il taglio di (3 − z)1⁄4 è (−∞, 3]. È facile vedere che il taglio del prodotto, cioè f(z), è [0, 3], perché f(z) di fatto è continua in (−∞, 0). Questo perché quando z = −r < 0 e ci avviciniamo al taglio da sopra, f(z) ha il valore
- {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {5}{4}}\pi i}.}
Quando ci avviciniamo da sotto, f(z) ha il valore
- {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3+r)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}.}
Ma
- {\displaystyle e^{-{\frac {3}{4}}\pi i}=e^{{\frac {5}{4}}\pi i},}
così abbiamo continuità attraverso il taglio. Questo è raffigurato nel grafico, dove i cerchi neri orientati sono indicati con il corrispondente valore di argomento del logaritmo usato in z3⁄4 e (3 − z)1⁄4.
Useremo il contorno mostrato in verde. Per fare questo, dobbiamo calcolare il valore di f(z) lungo i segmenti poco sopra e poco sotto il taglio.
Sia z = r (nel limite, cioè per il raggio dei due cerchi verdi si riduce a zero), dove 0 ≤ r ≤ 3. Lungo il segmento superiore, troviamo che f(z) ha il valore
- {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{4}}\pi i}=ir^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}}
e lungo il segmento inferiore,
- {\displaystyle r^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}(3-r)^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {0}{4}}\pi i}=r^{\frac {3}{4}}(3-r)^{\frac {1}{4}}.}
Segue che l'integrale di f(z)/5 − z lungo il segmento superiore è −i I nel limite, e lungo il segmento inferiore, I.
Se possiamo far vedere che gli integrali lungo i due cerchi verdi svaniscono nel limite, allora possiamo avere il valore di I, per il teorema dei residui . Sia il raggio dei cerchi verdi ρ, dove ρ < 0.001 e ρ → 0, e applichiamo il lemma ML . Per il cerchio CL sulla sinistra, troviamo
- {\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {L} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {\rho ^{\frac {3}{4}}3.001^{\frac {1}{4}}}{4.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {7}{4}}\right)\to 0.}
Similmente, per il cerchio C R sulla destra, abbiamo
- {\displaystyle \left|\int _{C_{\mathrm {R} }}{\frac {f(z)}{5-z}}dz\right|\leq 2\pi \rho {\frac {3.001^{\frac {3}{4}}\rho ^{\frac {1}{4}}}{1.999}}\in {\mathcal {O}}\left(\rho ^{\frac {5}{4}}\right)\to 0.}
Ora, usando il teorema dei residui , abbiamo
- {\displaystyle (-i+1)I=-2\pi i\left(\operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}+\operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}\right).}
dove il segno meno è dato dalla direzione in senso orario intorno ai residui. Usando il ramo del logaritmo come prima, chiaramente
- {\displaystyle \operatorname {Res} _{z=5}{\frac {f(z)}{5-z}}=-5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}\log(-2)}.}
Il polo è in blu nel grafico. Il valore si semplifica a
- {\displaystyle -5^{\frac {3}{4}}e^{{\frac {1}{4}}(\log 2+\pi i)}=-e^{{\frac {1}{4}}\pi i}5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}.}
Usiamo la formula seguente per il residuo all'infinito:
- {\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }h(z)=\operatorname {Res} _{z=0}\left(-{\frac {1}{z^{2}}}h\left({\frac {1}{z}}\right)\right).}
Sostituendo, troviamo
- {\displaystyle {\frac {1}{5-{\frac {1}{z}}}}=-z\left(1+5z+5^{2}z^{2}+5^{3}z^{3}+\cdots \right)}
e
- {\displaystyle \left({\frac {1}{z^{3}}}\left(3-{\frac {1}{z}}\right)\right)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}(3z-1)^{\frac {1}{4}}={\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}(1-3z)^{\frac {1}{4}},}
dove abbiamo usato il fatto che {\displaystyle e^{\pi i}=-1} per il secondo ramo del logaritmo. Dopo applichiamo l'espansione binomiale, ottenendo
- {\displaystyle {\frac {1}{z}}e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(1-{{\frac {1}{4}} \choose 1}3z+{{\frac {1}{4}} \choose 2}3^{2}z^{2}-{{\frac {1}{4}} \choose 3}3^{3}z^{3}+\cdots \right).}
Concludendo, si ha
- {\displaystyle \operatorname {Res} _{z=\infty }{\frac {f(z)}{5-z}}=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}\left(5-{\frac {3}{4}}\right)=e^{{\frac {1}{4}}\pi i}{\frac {17}{4}}.}
Infine, il valore di I è
- {\displaystyle {\begin{aligned}I&=2\pi i{\frac {e^{{\frac {1}{4}}\pi i}}{-1+i}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right)\\&=2\pi 2^{-{\frac {1}{2}}}\left({\frac {17}{4}}-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {1}{4}}\right){\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-5^{\frac {3}{4}}2^{\frac {9}{4}}\right)\\&={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\left(17-40^{\frac {3}{4}}\right)\end{aligned}}}
Rappresentazione integrale
Una rappresentazione integrale di una funzione significa esprimere la funzione in termini di un integrale di contorno. Sono note varie rappresentazioni integrali per molte funzioni speciali . Le rappresentazioni integrali possono essere importanti per ragioni teoriche, ad esempio per dare prolungamento analitico o equazioni funzionali , o talvolta per fare calcoli numerici .
Contorno di Hankel
Ad esempio, la definizione originale della funzione zeta di Riemann ζ(s) tramite serie di Dirichlet ,
- {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}
vale solo per Re(s) > 1, ma
- {\displaystyle \zeta (s)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{H}{\frac {(-t)^{s-1}}{e^{t}-1}}dt,}
dove l'integrale è fatto lungo il contorno di Hankel, è valida per tutti i complessi s diversi da 1.
Note
- ^ Joseph Bak, Complex analysis , 2ª ed., Springer, 1997, pp. 130-156, ISBN 0-387-94756-6 , OCLC 34356120 . URL consultato il 16 febbraio 2019 .
- ^ Krantz, Steven G. (Steven George), 1951-, Handbook of complex variables , Birkhäuser, 1999, ISBN 0-8176-4011-8 , OCLC 40964730 . URL consultato il 16 febbraio 2019 .
- ^ ( EN ) Dragoslav S. Mitrinovic e JD Keckic, The Cauchy Method of Residues: Theory and Applications , ISBN 90-277-1623-4 .
- ^ ( EN ) Dragoslav S. Mitrinovic e JD Keckic, The Cauchy Method of Residues: Theory and Applications , ISBN 90-277-1623-4 .
- ^ a b c d e ( EN ) EB Saff e Arthur David Snider, Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering and Science , ISBN 0-13-907874-6 .
Bibliografia
- ( EN ) EC Titchmarsh , The Theory of Functions , 2ª ed., Oxford University Press, 1939 [1932] , ISBN 0-19-853349-7 .
- ( FR ) Marko Riedel et al., Problème d'intégrale , su les-mathematiques.net .
- ( EN ) Marko Riedel et al., Integral by residue , su math.stackexchange.com .
- ( EN ) W. Chen, Introduction to Complex Analysis .
- ( ES ) sin límites ni cotas , su groups.google.com .
Voci correlate
Altri progetti
Collegamenti esterni