Integrală de linie

În matematică , o integrală de linie (care nu trebuie confundată cu calcularea lungimii unei curbe utilizând integrarea) sau integrală curbiliniară este o integrală în care funcția de integrat este evaluată de-a lungul unei căi sau a unei curbe . Sunt utilizate mai multe integrale de linie diferite. În cazul căilor închise, integralul de linie se mai numește și integral de limită .

Funcția de integrat poate fi un câmp scalar sau un câmp vector . Valoarea integrală a liniei este suma valorilor câmpului în toate punctele curbei, ponderată de o funcție scalară definită pe curbă (de obicei lungimea unui arc sau, în câmpul vectorial, produsul scalar al câmpului scalar cu vectorul diferențial în curbă). Această „ponderare” distinge integralul de linie de integralele mai simple definite la intervale . Multe relații din fizică sunt formulate în termeni de integrale de linie: de exemplu, munca făcută de forțele câmpului asupra unui obiect deplasat printr-un câmp, electric sau gravitațional, de-a lungul unei traiectorii.

Analiza vectorială

Integrala de linie a unui câmp scalar este uneori numită „de primul fel”, în timp ce integralul unui câmp vector este „de al doilea fel”.

În termeni calitativi, o linie integrală în calculul vectorial poate fi considerată ca o măsură a efectului unui câmp vector dat de-a lungul unei anumite curbe.

Integral de primul fel

Același subiect în detaliu: Integrală de linie de primul fel .

Având în vedere un câmp scalar $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ $f: {\ mathbb {R}} ^ {n} \ to {\ mathbb {R}}$ , definim integralul liniei pe o curbă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , parametrizat de $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf {r}} (t)$ , cu $t\in [a,b]$ ${\ displaystyle t \ in [a, b]}$ $t \ in [a, b]$ , cum ar fi: ^[1]

\int _{C}f\,\mathrm {d} s=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\|\mathbf {r} '(t)\|\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ int _ {C} f \, \ mathrm {d} s = \ int _ {a} ^ {b} f (\ mathbf {r} (t)) \ | \ mathbf {r} '(t ) \ | \, \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ int _ {C} f \, \ mathrm {d} s = \ int _ {a} ^ {b} f (\ mathbf {r} (t)) \ | \ mathbf {r} '(t ) \ | \, \ mathrm {d} t}

unde termenul $\mathrm {d} s$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} s}$ ${\ mathrm {d}} s$ indică faptul că integralul se execută pe o abscisă curbiliniară . Dacă domeniul funcției $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , integralul curbiliniar este redus la integralul Riemann comun evaluat în interval $[r(a),r(b)]$ ${\ displaystyle [r (a), r (b)]}$ $[r (a), r (b)]$ (sau $[r(b),r(a)]$ ${\ displaystyle [r (b), r (a)]}$ $[r (b), r (a)]$ , dacă ar fi $r(b)<r(a)$ ${\ displaystyle r (b) <r (a)}$ $r (b) <r (a)$ ). Integralele eliptice de primul și al doilea fel aparțin, de asemenea, familiei integralelor de linie, acesta din urmă fiind utilizat și în câmpul statistic pentru calcularea lungimii curbei Lorenz .

Integral de al doilea fel

Același subiect în detaliu: Integrală de linie de al doilea fel .

În mod similar, pentru un câmp vector $\mathbf {F} :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ mathbf {F}}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$ , integrala de linie de-a lungul unei curbe $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , parametrizat de $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf {r}} (t)$ cu $t\in [a,b]$ ${\ displaystyle t \ in [a, b]}$ $t \ in [a, b]$ , este definit de: ^[2]

\int _{C}\mathbf {F} =\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} = \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, \ mathrm {d} t}

\ int _ {C} {\ mathbf {F}} = \ int _ {C} {\ mathbf {F}} ({\ mathbf {x}}) \ cdot \, {\ mathrm {d}} {\ mathbf {x}} = \ int _ {a} ^ {b} {\ mathbf {F}} ({\ mathbf {r}} (t)) \ cdot {\ mathbf {r}} '(t) \, { \ mathrm {d}} t

Independență de cale

Același subiect în detaliu: Teorema gradientului .

Dacă un câmp vector $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ este gradientul unui câmp scalar $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , acesta este:

\nabla G=\mathbf {F}

{\ displaystyle \ nabla G = \ mathbf {F}}

\ nabla G = {\ mathbf {F}}

apoi derivatul funcției compuse a $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf {r}} (t)$ Și:

{\frac {\operatorname {d} G(\mathbf {r} (t))}{\operatorname {d} t}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} G (\ mathbf {r} (t))} {\ operatorname {d} t}} = \ nabla G (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) = \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r}' (t)}

{\ frac {\ operatorname dG ({\ mathbf {r}} (t))} {\ operatorname dt}} = \ nabla G ({\ mathbf {r}} (t)) \ cdot {\ mathbf {r} } '(t) = {\ mathbf {F}} ({\ mathbf {r}} (t)) \ cdot {\ mathbf {r}}' (t)

care este integrala liniei integrale a $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ lung $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf {r}} (t)$ . Rezultă că dat o plimbare $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ :

\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\frac {\operatorname {d} G(\mathbf {r} (t))}{\operatorname {d} t}}\,\mathrm {d} t=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a))

{\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {x}) \ cdot \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F } (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, \ mathrm {d} t = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ operatorname {d} G (\ mathbf {r} (t))} {\ operatorname {d} t}} \, \ mathrm {d} t = G (\ mathbf {r} (b)) - G (\ mathbf {r} ( la))}

\ int _ {C} {\ mathbf {F}} ({\ mathbf {x}}) \ cdot \, {\ mathrm {d}} {\ mathbf {x}} = \ int _ {a} ^ {b } {\ mathbf {F}} ({\ mathbf {r}} (t)) \ cdot {\ mathbf {r}} '(t) \, {\ mathrm {d}} t = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {\ operatorname dG ({\ mathbf {r}} (t))} {\ operatorname dt}} \, {\ mathrm {d}} t = G ({\ mathbf {r}} (b)) - G ({\ mathbf {r}} (a))

În cuvinte, integralul $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ lung $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ depinde doar de valorile punctuale $\mathbf {r} (b)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (b)}$ ${\ mathbf {r}} (b)$ Și $\mathbf {r} (a)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (a)}$ ${\ mathbf {r}} (a)$ și, prin urmare, este independent de calea anume. Din acest motiv, un câmp vector care este gradientul unui câmp scalar se numește cale independentă .

Integrala de linie este utilizată pe scară largă în fizică, adesea în descrierea câmpurilor de forță conservatoare . De exemplu, munca $W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s}$ ${\ displaystyle W = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {s}}$ $W = {\ mathbf F} \ cdot {\ mathbf s}$ jucat pe o particulă care se mișcă pe o curbă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ într-un câmp de forță reprezentat de un câmp vector $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ este integrala de linie a $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ lung $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ :

W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \operatorname {d} \mathbf {s}

{\ displaystyle W = \ int _ {C} \ mathbf {F} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s}}

W = \ int _ {C} {\ mathbf F} \ cdot \ operatorname d {\ mathbf s}

Analiza complexă

Același subiect în detaliu: Integrală limită .

Integrala liniei este un instrument fundamental în analiza complexă . Este $U\subset \mathbb {C}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {C}}$ fie un întreg deschis $\gamma :[a,b]\to U$ ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to U}$ $\ gamma: [a, b] \ to U$ o curbă rectificabilă e $f:U\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {C}}$ o functie. Apoi integralul de linie:

\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, \ mathrm {d} z}

\ int _ {\ gamma} f (z) \, {\ mathrm {d}} z

poate fi definit prin împărțirea intervalului $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ în $a=t_{0}<t_{1}<t_{2}\dots <t_{n}=b$ ${\ displaystyle a = t_ {0} <t_ {1} <t_ {2} \ dots <t_ {n} = b}$ $a = t_ {0} <t_ {1} <t_ {2} \ dots <t_ {n} = b$ și luând în considerare expresia:

\sum _{1\leq k\leq n}f{\big (}\gamma (t_{k}){\big )}{\big (}\gamma (t_{k})-\gamma (t_{k-1}){\big )}

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} f {\ big (} \ gamma (t_ {k}) {\ big)} {\ big (} \ gamma (t_ {k}) - \ gamma (t_ {k-1}) {\ big)}}

{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq k \ leq n} f {\ big (} \ gamma (t_ {k}) {\ big)} {\ big (} \ gamma (t_ {k}) - \ gamma (t_ {k-1}) {\ big)}}

Integrala este limita acestei sume, pentru lungimea subdiviziunilor care tind spre zero.

De sine $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este o curbă continuă diferențiată , integralul liniei poate fi evaluat ca o integrală a unei funcții reale a unei variabile reale:

\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\,\gamma \,'(t)\,\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ int _ {\ gamma} f (z) \, \ mathrm {d} z = \ int _ {a} ^ {b} f (\ gamma (t)) \, \ gamma \, '(t ) \, \ mathrm {d} t}

\ int _ {\ gamma} f (z) \, {\ mathrm {d}} z = \ int _ {a} ^ {b} f (\ gamma (t)) \, \ gamma \, '(t) \, {\ mathrm {d}} t

Cand $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este o curbă închisă, adică poziția sa inițială și finală coincid, notația:

\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \, \ mathrm {d} z}

\ oint _ {\ gamma} f (z) \, {\ mathrm {d}} z

este adesea folosit pentru integrala de linie a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ .

Văzând numerele complexe ca vectori în două dimensiuni, integrala de linie în planul unui câmp vectorial corespunde părții reale a integralei de linie a conjugatului funcției complexe corespunzătoare a unei variabile complexe. Mai exact, dacă:

\mathbf {r} (t)=x(t)\mathbf {i} +y(t)\mathbf {j} \qquad f(z)=u(z)+iv(z)

{\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = x (t) \ mathbf {i} + y (t) \ mathbf {j} \ qquad f (z) = u (z) + iv (z)}

{\ mathbf {r}} (t) = x (t) {\ mathbf {i}} + y (t) {\ mathbf {j}} \ qquad f (z) = u (z) + iv (z)

asa de:

\int _{L}{\overline {f(z)}}\,dz=\int _{L}(u-iv)\,dz=\int _{L}(u\mathbf {i} +v\mathbf {j} )\cdot d\mathbf {r} -i\int _{L}(v\mathbf {i} -u\mathbf {j} )\cdot d\mathbf {r}

{\ displaystyle \ int _ {L} {\ overline {f (z)}} \, dz = \ int _ {L} (u-iv) \, dz = \ int _ {L} (u \ mathbf {i } + v \ mathbf {j}) \ cdot d \ mathbf {r} -i \ int _ {L} (v \ mathbf {i} -u \ mathbf {j}) \ cdot d \ mathbf {r}}

\ int _ {L} \ overline {f (z)} \, dz = \ int _ {L} (u-iv) \, dz = \ int _ {L} (u {\ mathbf {i}} + v {\ mathbf {j}}) \ cdot d {\ mathbf {r}} - i \ int _ {L} (v {\ mathbf {i}} - u {\ mathbf {j}}) \ cdot d {\ mathbf {r}}

cu condiția ca integralele din dreapta să existe și să se parametrizeze $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ din $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ are aceeași orientare ca $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ .

Prin ecuația Cauchy-Riemann , rotorul câmpului vectorial corespunzător conjugatului unei funcții holomorfe este zero. Mai mult, pentru teorema reziduală , o integrală de graniță în planul complex este adesea utilizată pentru a găsi integralul unei funcții reale a unei variabile reale. Rezultate importante cu privire la integralele de linie sunt teorema integralei Cauchy și formula integralei Cauchy .

Exemple

Luați în considerare o funcție $f(z)=1/z$ ${\ displaystyle f (z) = 1 / z}$ $f (z) = 1 / z$ , și circumferința $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ a razei unitare în jurul originii, parametrizată prin:

\gamma (t)=\mathrm {e} ^{it}

{\ displaystyle \ gamma (t) = \ mathrm {e} ^ {it}}

\ gamma (t) = {\ mathrm {e}} ^ {{it}}

Înlocuind, găsim:

\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{2\pi }{1 \over \mathrm {e} ^{it}}i\mathrm {e} ^{it}\,\mathrm {d} t=i\int _{0}^{2\pi }\mathrm {e} ^{-it}e^{it}\,\mathrm {d} t=i\int _{0}^{2\pi }\,\mathrm {d} t=i(2\pi -0)=2\pi i

{\ displaystyle \ oint _ {\ gamma} f (z) \, \ mathrm {d} z = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {1 \ over \ mathrm {e} ^ {it}} i \ mathrm {e} ^ {it} \, \ mathrm {d} t = i \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {e} ^ {- it} e ^ {it} \, \ mathrm {d} t = i \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \, \ mathrm {d} t = i (2 \ pi -0) = 2 \ pi i}

\ oint _ {\ gamma} f (z) \, {\ mathrm {d}} z = \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} {1 \ over {\ mathrm {e}} ^ {{ it}}} i {\ mathrm {e}} ^ {{it}} \, {\ mathrm {d}} t = i \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} {\ mathrm {e} } ^ {{- it}} e ^ {{it}} \, {\ mathrm {d}} t = i \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} \, {\ mathrm {d}} t = i (2 \ pi -0) = 2 \ pi i

care poate fi verificat și cu formula integrală Cauchy .

Mecanica cuantică

„ Integrarea pe căi ” utilizată în mecanica cuantică nu se referă la integralele tratate în această intrare, ci la o metodă de integrare funcțională , care este integrarea pe un spațiu de cale, a unei funcții a unei căi posibile. Integralele de linie în sensul acestei intrări sunt totuși importante în mecanica cuantică; de exemplu, integrarea complexă de-a lungul unei curbe închise este adesea utilizată în evaluarea amplitudinii probabilității în teoria dispersiei cuantice.

Notă

^ LD Kudryavtsev, Encyclopedia of Mathematics - Curvilinear integral , la encyclopediaofmath.org , 2012.
^ Eric Weisstein, MathWorld - Line Integral , la mathworld.wolfram.com , 2012.

Bibliografie

( EN ) Krantz, SG The Integral Line Integral. §2.1.6 în Manualul variabilelor complexe. Boston, MA: Birkhäuser, p. 22, 1999.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse integrale online
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe linie completă

linkuri externe

( EN ) Probleme rezolvate pe integrale de linie , pe exampleproblems.com . Adus la 12 ianuarie 2006 (arhivat din original la 15 ianuarie 2008) .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4166227-1

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] LD Kudryavtsev, Encyclopedia of Mathematics - Curvilinear integral , la encyclopediaofmath.org , 2012.

[mathworld-2] Eric Weisstein, MathWorld - Line Integral , la mathworld.wolfram.com , 2012.

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate · Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy