Integrală de linie de primul fel

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

1leftarrow blue.svg Element principal: integral de linie .

Integrală de linie a unei funcții a două variabile.

În analiza matematică și calculul integral , o integrală de linie de primul fel este o integrală a unei funcții reale sau complexe a uneia sau mai multor variabile reale, adică a unui câmp scalar , de-a lungul unei curbe .

Pentru funcțiile reale ale unei variabile (reale sau complexe), definiția și calculul coincid cu cea a integralei definite și integralei complexe . În cele ce urmează este prezentat cazul integrării curbilineare a funcțiilor reale a două sau trei variabile, cu extensii imediate la orice număr de variabile.

Analogul integral al funcțiilor vectoriale este integralul de linie de al doilea fel .

Curba lină

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Curba în spațiu .

O curbă, în formă parametrică, este o funcție vectorială a unei singure variabile de tipul:

De asemenea, puteți scrie:

Variabila se numește parametru . O curbă este o funcție de clasă într-un interval dacă funcționează , Și au derivate continue în acel interval. O curbă se spune că este regulat într-un punct de sine:

și ajustați-vă dacă acest lucru este adevărat în orice moment al . Un punct în care ai spunem punct singular pentru curbă.

Se spune că o curbă în spațiu este simplă dacă nu se intersectează cu ea însăși, adică dacă este pentru fiecare da ai . Regularitatea curbei permite definirea liniei tangente la curbă, care este linia paralelă cu vectorul:

Acest vector se numește vectorul tangent al lungimii , și este, de asemenea, indicat cu . Unitatea vectorială tangentă este, de asemenea, vectorul lungimii unității:

Având în vedere reprezentarea parametrică a curbei regulate, este de asemenea posibil să se calculeze lungimea acesteia:

Calculul integralei

Dacă are o funcție a trei variabile și a unei curbe definit în cu reprezentare parametrică :

cu , integralul funcției de-a lungul curbei este definit în felul următor. Luați în considerare orice partiție , la care punctele sunt asociate . Aceste puncte împart curba în multe arce . În corespondență cu fiecare dintre aceste arcuri, se alege un punct generic aparținând arcului i iar sumele integrale sunt construite:

unde este lungimea definită anterior. Dacă limita există pentru din sumele integrale, adică pentru fiecare interval care devine infinitesimal (adică echivalent pentru ), atunci valoarea acestei limite se numește prima integrală curbiliniară a funcției de-a lungul curbei și este de obicei indicat cu:

Dacă curba este regulată atunci este elementul infinitesimal de lungime ca în definiția lungimii curbei, iar integralul poate fi explicitat:

unde este înseamnă a exprima funcția în termeni de parametrizare dată anterior.

Dacă curba este plană, funcția nu depinde de variabilă și apoi relația anterioară se transformă:

Integrala de linie astfel descrisă este independentă de reprezentarea parametrică (și nu depinde de alegerea punctelor nici din partiția aleasă pentru calculul limitei sumelor integrale). Spre deosebire de integralele de al doilea tip (care privesc câmpurile vectoriale), acest tip de integral nu depinde nici măcar de orientarea curbei. În mod trivial, dacă funcția calculul acestei integrale curvilinee poate fi urmărit înapoi la calculul lungimii curbei.

Proprietățile integralei de primul fel

Proprietățile tipice ale integralelor sunt valabile: liniaritate , aditivitate și monotonie .

De asemenea avem:

Aplicații geometrice și fizice

O proprietate utilizată în fizică și geometrie este calculul centrului de greutate al unei curbe (care poate fi material): este definit prin calculul prin coordonate:

Bibliografie

  • ( EN ) Krantz, SG The Integrated Line Integral. §2.1.6 în Manualul variabilelor complexe. Boston, MA: Birkhäuser, p. 22, 1999.

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică