Integrală de suprafață

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare
Definiția unei integrale de suprafață constă în împărțirea unei suprafețe în părți infinitezimale, astfel încât acestea să poată fi considerate plate.

În matematică , o integrală de suprafață este o integrală definită calculată pe o suprafață , de exemplu un set de curbe, care poate fi gândit ca o integrală dublă analogă unei integrale de linie .

Definiție

Se numește element de volum în forma k :

Este o suprafață k orientată pozitiv în Și o funcție continuă definită pe imaginea de și la valorile din . Atunci:

Este domeniul de parametrizare al Și injectiv și diferențiat cu o matrice iacobiană pozitiv. Apoi: [1]

De sine integralul dă volumul suprafeței.

Integral de funcții pe 2 suprafețe în

Este o 2-suprafață în cu domeniu de parametrizare . Un astfel de obiect este reprezentat analitic de trei funcții , Și a două variabile independente Și :

Este:

o funcție definită pe .

La fiecare punct din domeniul parametrizării este posibil să se asocieze vectorul: [2]

unde vectorii aparțin bazei canonice a .

Integrala de suprafață a la suprafață scris: [3]

De asemenea, este scris într-un mod echivalent, menționând că produsul interior este doar vectorul normal:

unde este:

este elementul normal de suprafață a .

ȘI .

De sine integralul dă suprafața:

Integrală de 2 forme pe 2 suprafețe în

Este o 2-suprafață în cu domeniu de parametrizare . Un astfel de obiect este reprezentat analitic de trei funcții , Și a două variabile independente Și :

Este:

o formă 2 definită pe .

Este definit ca integral al pe

Interpretarea formei 2 ca un câmp vector definit pe avem:

unde este este vectorul unitar normal la suprafață .

Exemplu

Este o suprafață (închisă sau deschisă) reprezentată analitic de trei funcții , Și a două variabile independente Și :

și fie funcția continuă a punctelor a suprafeței menționate. Descompus arbitrar în elemente , fixează un punct pe fiecare dintre acestea , iar produsul este format in valoare de pentru fiecare . Suma acestor produse este indicată cu . Prin creșterea la infinit a numărului a elementelor de descompunere și scăderea fiecărei zone , dacă limita acestei sume există și dacă este finită, atunci este integralul de suprafață al funcției la suprafață . Este indicat cu sau cu .

Evaluarea sa eficientă se obține prin intermediul unei integrale duble extinse la zona plană proiecția suprafeței pe planul xy .

Odată cu netezirea suprafeței integrala în se transformă în următoarea integrală dublă:

Unde Și , care permite evaluarea integralei de suprafață.

Notă

  1. ^ W. Rudin , pagina 286 .
  2. ^ W. Rudin , pagina 288 .
  3. ^ W. Rudin , pagina 289 .

Bibliografie

  • Walter Rudin, Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .
  • ( EN ) Integrale Leathem, JG Volume și Surface utilizate în fizică . Cambridge, Anglia: University Press, 1905.

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică