Primitiv (matematică)

Trei primitive ale funcției

f(x)=x^{2}-x-1

{\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -x-1}

{\ displaystyle f (x) = x ^ {2} -x-1}

.

În analiza matematică , este numit derivat primitiv sau anti al unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție diferențiată $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ a cărei derivată este egală cu funcția de pornire. Notând derivatul cu indicativul, $F'(x)=f(x)$ ${\ displaystyle F '(x) = f (x)}$ $F '(x) = f (x)$ . Ansamblul tuturor primitivelor unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se numește integral nedefinit al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . ^[1] Calculul primitivei este strict legat de soluția integralelor definite de teorema fundamentală a calculului integral : de fapt, integralul unei funcții este egal cu diferența valorilor primitivei la integrare extreme. ^[2]

Definiție

Având o funcție $f\colon I\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon I \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon I \ to \ mathbb {R}}$ , definit pe un interval $I\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ , o funcție este definită ca primitivă $F\colon I\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle F \ colon I \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle F \ colon I \ to \ mathbb {R}}$ astfel încât

F'(x)=f(x)

{\ displaystyle F '(x) = f (x)}

F '(x) = f (x)

pentru fiecare $x\in I$ ${\ displaystyle x \ in I}$ $x \ in I$ .

De sine $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este o primitivă a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , toți și numai primitivii din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Sunt în formă $F(x)+C$ ${\ displaystyle F (x) + C}$ ${\ displaystyle F (x) + C}$ , unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este o reală constantă arbitrară.

Integrala nedefinită a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este ansamblul tuturor primitivelor sale. Se notează cu simbolul

\int f(x)dx

{\ displaystyle \ int f (x) dx}

{\ displaystyle \ int f (x) dx}

si daca $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este un detaliu primitiv al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , asa de

\int f(x)dx=F(x)+C

{\ displaystyle \ int f (x) dx = F (x) + C}

{\ displaystyle \ int f (x) dx = F (x) + C}

dupa cum $C\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle C \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle C \ in \ mathbb {R}}$ . ^[1]

Primitive primitive

Articolele individuale sunt listate în categoria: tabele integrale

O metodă adesea utilizată pentru a calcula primitivele unei funcții raționale este descompunerea în fracții simple . Pentru celelalte cazuri, câteva primitive foarte frecvente sunt prezentate mai jos:

$\int {x^{a}\,\mathrm {d} x}={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {x ^ {a} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {x ^ {a + 1}} {a + 1}} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {x ^ {a} \, \ mathrm {d} x} = {\ frac {x ^ {a + 1}} {a + 1}} + C \, \}$	cu $a\neq -1\,\$ ${\ displaystyle a \ neq -1 \, \}$ ${\ displaystyle a \ neq -1 \, \}$
$\int {{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}=\ln {\|x\|}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {{\ frac {1} {x}} \, \ mathrm {d} x} = \ ln {\| x \|} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {{\ frac {1} {x}} \, \ mathrm {d} x} = \ ln {\| x \|} + C \, \}$
$\int {\mathrm {e} ^{x}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ mathrm {e} ^ {x}} \, \ mathrm {d} x = \ mathrm {e} ^ {x} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ mathrm {e} ^ {x}} \, \ mathrm {d} x = \ mathrm {e} ^ {x} + C \, \}$
$\int {a^{x}}\,\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {a ^ {x}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {a ^ {x}} {\ ln {a}}} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {a ^ {x}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {a ^ {x}} {\ ln {a}}} + C \, \}$	cu $a>0\,\$ ${\ displaystyle a> 0 \, \}$ ${\ displaystyle a> 0 \, \}$ , $a\neq 1\,\$ ${\ displaystyle a \ neq 1 \, \}$ ${\ displaystyle a \ neq 1 \, \}$
$\int {\sin {x}}\,\mathrm {d} x=-\cos {x}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ sin {x}} \, \ mathrm {d} x = - \ cos {x} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ sin {x}} \, \ mathrm {d} x = - \ cos {x} + C \, \}$
$\int {\cos {x}}\,\mathrm {d} x=\sin {x}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ cos {x}} \, \ mathrm {d} x = \ sin {x} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ cos {x}} \, \ mathrm {d} x = \ sin {x} + C \, \}$
$\int {\tan {x}}\,\mathrm {d} x=-\ln {\|\cos {x}\|}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ tan {x}} \, \ mathrm {d} x = - \ ln {\| \ cos {x} \|} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ tan {x}} \, \ mathrm {d} x = - \ ln {\| \ cos {x} \|} + C \, \}$
$\int {\cot {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {\|\sin {x}\|}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ cot {x}} \, \ mathrm {d} x = \ ln {\| \ sin {x} \|} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ cot {x}} \, \ mathrm {d} x = \ ln {\| \ sin {x} \|} + C \, \}$
$\int {\sinh {x}}\,\mathrm {d} x=\cosh {x}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ sinh {x}} \, \ mathrm {d} x = \ cosh {x} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ sinh {x}} \, \ mathrm {d} x = \ cosh {x} + C \, \}$
$\int {\cosh {x}}\,\mathrm {d} x=\sinh {x}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ cosh {x}} \, \ mathrm {d} x = \ sinh {x} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ cosh {x}} \, \ mathrm {d} x = \ sinh {x} + C \, \}$
$\int {\tanh {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {(\cosh {x})}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ tanh {x}} \, \ mathrm {d} x = \ ln {(\ cosh {x})} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ tanh {x}} \, \ mathrm {d} x = \ ln {(\ cosh {x})} + C \, \}$
$\int {\coth {x}}\,\mathrm {d} x=\ln {\|(\sinh {x})\|}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ coth {x}} \, \ mathrm {d} x = \ ln {\| (\ sinh {x}) \|} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ coth {x}} \, \ mathrm {d} x = \ ln {\| (\ sinh {x}) \|} + C \, \}$
$\int {\frac {1}{(\cos {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=\tan {x}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {(\ cos {x}) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = \ tan {x} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {(\ cos {x}) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = \ tan {x} + C \, \}$
$\int {\frac {1}{(\sin {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=-\cot {x}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {(\ sin {x}) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = - \ cot {x} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {(\ sin {x}) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = - \ cot {x} + C \, \}$
$\int {\frac {1}{(\cosh {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=\tanh {x}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {(\ cosh {x}) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = \ tanh {x} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {(\ cosh {x}) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = \ tanh {x} + C \, \}$
$\int {\frac {1}{(\sinh {x})^{2}}}\,\mathrm {d} x=-\coth {x}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {(\ sinh {x}) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = - \ coth {x} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {(\ sinh {x}) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = - \ coth {x} + C \, \}$
$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\arctan {x}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = \ arctan {x} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = \ arctan {x} + C \, \}$
$\int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {1-x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {x + 1} {x-1}} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {1-x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ frac {x + 1} {x-1}} + C \, \}$	cu $\|x\|>1\,\$ ${\ displaystyle \| x \|> 1 \, \}$ ${\ displaystyle \| x \|> 1 \, \}$
$\int {\frac {1}{\sqrt[{}]{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\arcsin {x}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {\ sqrt [{}] {1-x ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} x = \ arcsin {x} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {\ sqrt [{}] {1-x ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} x = \ arcsin {x} + C \, \}$
$\int {\frac {1}{\sqrt[{}]{1+x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\ln {\|x+{\sqrt[{}]{1+x^{2}}}\|}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {\ sqrt [{}] {1 + x ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} x = \ ln {\| x + {\ sqrt [{} ] {1 + x ^ {2}}} \|} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {\ sqrt [{}] {1 + x ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} x = \ ln {\| x + {\ sqrt [{} ] {1 + x ^ {2}}} \|} + C \, \}$
$\int {\frac {1}{\sqrt[{}]{x^{2}-1}}}\,\mathrm {d} x=\ln {\|x+{\sqrt[{}]{x^{2}-1}}\|}+C\,\$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {\ sqrt [{}] {x ^ {2} -1}}} \, \ mathrm {d} x = \ ln {\| x + {\ sqrt [{} ] {x ^ {2} -1}} \|} + C \, \}$ ${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {\ sqrt [{}] {x ^ {2} -1}}} \, \ mathrm {d} x = \ ln {\| x + {\ sqrt [{} ] {x ^ {2} -1}} \|} + C \, \}$	cu $\|x\|>1\,\$ ${\ displaystyle \| x \|> 1 \, \}$ ${\ displaystyle \| x \|> 1 \, \}$

Notă

^ ^a ^b Soardi, PM , cap. 9 .
^ Soardi, PM , cap. 10 .

Bibliografie

Paolo Maurizio Soardi, Analiză matematică , CittàStudi, 2007, ISBN 978-88-251-7319-2 .
( EN ) Introducere în analiza reală clasică , de Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (vezi și )
( EN ) Eseu istoric despre continuitatea derivatelor , de Dave L. Renfro; https://groups.google.com/group/sci.math/msg/814be41b1ea8c024

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Wolfram Integrator - Integrare simbolică online gratuită cu Mathematica
( EN ) Calculator antiderivativ cu soluții pas cu pas - acceptă toate metodele și regulile comune de integrare
( EN ) Asistent matematic pe web - calcule simbolice online. Permite integrarea în pași mici (cu indicii pentru pasul următor (integrare prin piese, substituție, fracții parțiale, aplicarea formulelor și altele), alimentat de Maxima

Controlul autorității	GND ( DE ) 4182868-9

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[def-1] Soardi, PM , cap. 9 .

[2] Soardi, PM , cap. 10 .

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy