Intensitatea efectivă a curentului alternativ

Prin intensitatea efectivă a unui curent alternativ înțelegem acea valoare a curentului care, trecând printr-o rezistență electrică, va produce același efect termic ca un curent continuu .

Aplicarea legii lui Joule la un curent continuu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ alergând prin rezistență $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , un astfel de curent va funcționa electric $L_{cc}$ ${\ displaystyle L_ {cc}}$ ${\ displaystyle L_ {cc}}$ capabil să producă într-un interval de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ o cantitate de energie egală cu:

$L_{cc}=I^{2}\,R\,t$ ${\ displaystyle L_ {cc} = I ^ {2} \, R \, t}$ ${\ displaystyle L_ {cc} = I ^ {2} \, R \, t}$

În mod similar, un curent sinusoidal cu valoare maximă $I_{M}$ ${\ displaystyle I_ {M}}$ $SUNT}$ , trecând prin aceeași rezistență $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , cu tendință $i=I_{M}\,\sin(\omega t)$ ${\ displaystyle i = I_ {M} \, \ sin (\ omega t)}$ ${\ displaystyle i = I_ {M} \, \ sin (\ omega t)}$ și putere instantanee $P=i^{2}\,R$ ${\ displaystyle P = i ^ {2} \, R}$ ${\ displaystyle P = i ^ {2} \, R}$ în intervalul de timp al perioadei de jumătate $T/2$ ${\ displaystyle T / 2}$ ${\ displaystyle T / 2}$ , unde curentul are o direcție constantă, va fi făcut o treabă $L_{ca}$ ${\ displaystyle L_ {ca}}$ ${\ displaystyle L_ {ca}}$ din:

Jumătate de perioadă a unui curent alternativ sinusoidal

$L_{ca}=\int _{0}^{\frac {T}{2}}I_{M}^{2}\,R\,\sin ^{2}(\omega t)\,dt\quad \Rightarrow \quad L_{ca}=I_{M}^{2}\,R\int _{0}^{\frac {T}{2}}\sin ^{2}(\omega t)\,dt$ ${\ displaystyle L_ {ca} = \ int _ {0} ^ {\ frac {T} {2}} I_ {M} ^ {2} \, R \, \ sin ^ {2} (\ omega t) \ , dt \ quad \ Rightarrow \ quad L_ {ca} = I_ {M} ^ {2} \, R \ int _ {0} ^ {\ frac {T} {2}} \ sin ^ {2} (\ omega t) \, dt}$ ${\ displaystyle L_ {ca} = \ int _ {0} ^ {\ frac {T} {2}} I_ {M} ^ {2} \, R \, \ sin ^ {2} (\ omega t) \ , dt \ quad \ Rightarrow \ quad L_ {ca} = I_ {M} ^ {2} \, R \ int _ {0} ^ {\ frac {T} {2}} \ sin ^ {2} (\ omega t) \, dt}$

În acest moment, efectuăm o substituție variabilă prin setarea:

$x=\omega t\quad t={\frac {x}{\omega }}\quad \Rightarrow \quad dt={\frac {dx}{\omega }}\quad \Rightarrow \quad L_{ca}={\frac {I_{M}^{2}\,R}{\omega }}\int _{0}^{\frac {T}{2}}\sin ^{2}(x)\,dx$ ${\ displaystyle x = \ omega t \ quad t = {\ frac {x} {\ omega}} \ quad \ Rightarrow \ quad dt = {\ frac {dx} {\ omega}} \ quad \ Rightarrow \ quad L_ { ca} = {\ frac {I_ {M} ^ {2} \, R} {\ omega}} \ int _ {0} ^ {\ frac {T} {2}} \ sin ^ {2} (x) \, dx}$ ${\ displaystyle x = \ omega t \ quad t = {\ frac {x} {\ omega}} \ quad \ Rightarrow \ quad dt = {\ frac {dx} {\ omega}} \ quad \ Rightarrow \ quad L_ { ca} = {\ frac {I_ {M} ^ {2} \, R} {\ omega}} \ int _ {0} ^ {\ frac {T} {2}} \ sin ^ {2} (x) \, dx}$

Fiind $\sin ^{2}(x)\,dx$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} (x) \, dx}$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} (x) \, dx}$ o integrală relevantă, soluția este cunoscută:

$\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}{\Bigl (}x-\sin x\,\cos x{\Bigr )}$ ${\ displaystyle \ int \ sin ^ {2} x \, dx = {\ frac {1} {2}} {\ Bigl (} x- \ sin x \, \ cos x {\ Bigr)}}$ ${\ displaystyle \ int \ sin ^ {2} x \, dx = {\ frac {1} {2}} {\ Bigl (} x- \ sin x \, \ cos x {\ Bigr)}}$

Aplicarea acestuia:

$L_{ca}={\frac {I_{M}^{2}\,R}{2\omega }}{\Bigl [}x-\sin x\,\cos x{\Bigr ]}_{0}^{\frac {T}{2}}$ ${\ displaystyle L_ {ca} = {\ frac {I_ {M} ^ {2} \, R} {2 \ omega}} {\ Bigl [} x- \ sin x \, \ cos x {\ Bigr]} _ {0} ^ {\ frac {T} {2}}}$ ${\ displaystyle L_ {ca} = {\ frac {I_ {M} ^ {2} \, R} {2 \ omega}} {\ Bigl [} x- \ sin x \, \ cos x {\ Bigr]} _ {0} ^ {\ frac {T} {2}}}$

Prin înlocuire $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și luând în considerare valoarea vitezei unghiulare $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ a transportatorului actual:

$x=\omega t\quad \omega ={\frac {2\pi }{T}}\quad x={\frac {2\pi }{T}}t\quad con:\ t={\frac {T}{2}}\to x={\frac {2\pi }{T}}{\frac {T}{2}}=\pi \quad con:\ t=0\to x={\frac {2\pi }{T}}0=0$ ${\ displaystyle x = \ omega t \ quad \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}} \ quad x = {\ frac {2 \ pi} {T}} t \ quad cu: \ t = { \ frac {T} {2}} \ to x = {\ frac {2 \ pi} {T}} {\ frac {T} {2}} = \ pi \ quad cu: \ t = 0 \ to x = {\ frac {2 \ pi} {T}} 0 = 0}$ ${\ displaystyle x = \ omega t \ quad \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}} \ quad x = {\ frac {2 \ pi} {T}} t \ quad cu: \ t = { \ frac {T} {2}} \ to x = {\ frac {2 \ pi} {T}} {\ frac {T} {2}} = \ pi \ quad cu: \ t = 0 \ to x = {\ frac {2 \ pi} {T}} 0 = 0}$

Deci, în calcul:

$L_{ca}={\frac {I_{M}^{2}\,R}{2\omega }}{\Bigl [}(\pi -\sin \pi \,\cos \pi )-(0-\sin 0\,\cos 0){\Bigr ]}={\frac {I_{M}^{2}\,R}{2\omega }}\pi \quad {\frac {\pi }{\omega }}={\frac {T}{2}}\quad L_{ca}={\frac {1}{4}}I_{M}^{2}\,R\,T$ ${\ displaystyle L_ {ca} = {\ frac {I_ {M} ^ {2} \, R} {2 \ omega}} {\ Bigl [} (\ pi - \ sin \ pi \, \ cos \ pi) - (0- \ sin 0 \, \ cos 0) {\ Bigr]} = {\ frac {I_ {M} ^ {2} \, R} {2 \ omega}} \ pi \ quad {\ frac {\ pi} {\ omega}} = {\ frac {T} {2}} \ quad L_ {ca} = {\ frac {1} {4}} I_ {M} ^ {2} \, R \, T}$ ${\ displaystyle L_ {ca} = {\ frac {I_ {M} ^ {2} \, R} {2 \ omega}} {\ Bigl [} (\ pi - \ sin \ pi \, \ cos \ pi) - (0- \ sin 0 \, \ cos 0) {\ Bigr]} = {\ frac {I_ {M} ^ {2} \, R} {2 \ omega}} \ pi \ quad {\ frac {\ pi} {\ omega}} = {\ frac {T} {2}} \ quad L_ {ca} = {\ frac {1} {4}} I_ {M} ^ {2} \, R \, T}$

Trebuie să fie energia termică produsă în intervalul de jumătate de perioadă $T/2$ ${\ displaystyle T / 2}$ ${\ displaystyle T / 2}$ același lucru atât pentru curent continuu, cât și pentru curent alternativ, lucrările electrice trebuie să coincidă $(L_{cc}=L_{ca})$ ${\ displaystyle (L_ {cc} = L_ {ca})}$ ${\ displaystyle (L_ {cc} = L_ {ca})}$ și, stabilit prin definiție că valoarea curentului continuu reprezintă valoarea efectivă $I_{e}$ ${\ displaystyle I_ {e}}$ $Eu_ {e}$ Sara:

$L_{cc}=I_{e}^{2}\,R{\frac {T}{2}}\qquad {\frac {1}{2}}I_{e}^{2}\,R\,T={\frac {1}{4}}I_{M}^{2}\,R\,T\qquad 2I_{e}^{2}=I_{M}^{2}\qquad I_{e}={\frac {I_{M}}{\sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle L_ {cc} = I_ {e} ^ {2} \, R {\ frac {T} {2}} \ qquad {\ frac {1} {2}} I_ {e} ^ {2} \ , R \, T = {\ frac {1} {4}} I_ {M} ^ {2} \, R \, T \ qquad 2I_ {e} ^ {2} = I_ {M} ^ {2} \ qquad I_ {e} = {\ frac {I_ {M}} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle L_ {cc} = I_ {e} ^ {2} \, R {\ frac {T} {2}} \ qquad {\ frac {1} {2}} I_ {e} ^ {2} \ , R \, T = {\ frac {1} {4}} I_ {M} ^ {2} \, R \, T \ qquad 2I_ {e} ^ {2} = I_ {M} ^ {2} \ qquad I_ {e} = {\ frac {I_ {M}} {\ sqrt {2}}}}$

Valoarea RMS a tensiunii alternative

În mod similar cu ceea ce am văzut pentru curent, putem determina valoarea efectivă a tensiunii urmând logica:

$L_{cc}={\frac {V^{2}}{R}}t\qquad v=V_{M}\,\sin(\omega t)\qquad L_{ca}={\frac {V_{M}^{2}}{R}}\int _{0}^{\frac {T}{2}}\sin ^{2}(\omega t)\,dt\qquad {\frac {V_{e}^{2}}{R}}{\frac {T}{2}}={\frac {V_{M}^{2}}{R}}{\frac {T}{4}}\qquad V_{e}={\frac {V_{M}}{\sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle L_ {cc} = {\ frac {V ^ {2}} {R}} t \ qquad v = V_ {M} \, \ sin (\ omega t) \ qquad L_ {ca} = {\ frac {V_ {M} ^ {2}} {R}} \ int _ {0} ^ {\ frac {T} {2}} \ sin ^ {2} (\ omega t) \, dt \ qquad {\ frac {V_ {e} ^ {2}} {R}} {\ frac {T} {2}} = {\ frac {V_ {M} ^ {2}} {R}} {\ frac {T} {4 }} \ qquad V_ {e} = {\ frac {V_ {M}} {\ sqrt {2}}}}$ ${\ displaystyle L_ {cc} = {\ frac {V ^ {2}} {R}} t \ qquad v = V_ {M} \, \ sin (\ omega t) \ qquad L_ {ca} = {\ frac {V_ {M} ^ {2}} {R}} \ int _ {0} ^ {\ frac {T} {2}} \ sin ^ {2} (\ omega t) \, dt \ qquad {\ frac {V_ {e} ^ {2}} {R}} {\ frac {T} {2}} = {\ frac {V_ {M} ^ {2}} {R}} {\ frac {T} {4 }} \ qquad V_ {e} = {\ frac {V_ {M}} {\ sqrt {2}}}}$

Elemente conexe

Conexiuni

Portal electrotehnic

Portalul de fizică