Interacțiunea electromagnetică

Reprezentarea schematică a legii lui Coulomb .

Interacțiunea electromagnetică este interacțiunea dintre obiectele care posedă sarcină electrică , una dintre cele patru interacțiuni fundamentale . Este responsabil pentru câmpul electromagnetic , care reprezintă interacțiunea în fiecare punct al spațiului și se propagă sub forma unei unde electromagnetice la viteza luminii .

Electromagnetismul este ramura fizicii clasice care studiază interacțiunea electromagnetică și constituie o teorie fundamentală care ne-a permis să explicăm fenomene naturale precum electricitatea , magnetismul și lumina ; este primul exemplu de unificare a două forțe diferite, cea electrică și cea magnetică . Forța electromagnetică admite ca un caz special fenomene electrostatice (de exemplu, electricitate ) și fenomene magnetostatice (de exemplu, magnetism ) și multe alte fenomene fizice macroscopice pot fi urmărite înapoi la aceasta, cum ar fi fricțiunea , deplasarea unui corp prin intermediul unei forțe de contact, etc. Electrodinamica clasică este teoria câmpurilor electromagnetice generate de curenții electrici , inclusiv principiile relativității speciale. Electrodinamica cuantică este teoria cuantică a câmpului electromagnetic, descrisă în Modelul standard .

Ramuri importante teoretico-aplicative privind curenții electrici provin din teoria electromagnetică, prin teoria circuitelor , electrotehnicii și electronicii .

fundal

Michael Faraday

Teoria electromagnetismului a fost dezvoltată începând cu secolul al XIX-lea și apare din observarea unei corelații între fenomenele de electricitate și magnetism , care până atunci fuseseră descoperite și tratate separat.

Electricitatea a fost descoperită în urma dovezilor experimentale ale atracției sau respingerii dintre corpurile încărcate electric , corespunzătoare a două stări de electrificare a materiei, numite pozitive și negative: ambele corpuri electrificate pozitiv sau ambele se resping reciproc, în timp ce corpurile electrificate în mod opus se atrag reciproc.

Charles Augustin de Coulomb

Pornind de la acest fapt, în a doua jumătate a secolului al XVIII-lea, Charles Augustin de Coulomb a formulat legea lui Coulomb , care cuantifică forța electrică atractivă sau respingătoare pe care o schimbă la distanță două corpuri punctiforme încărcate electric. Pornind de la această lege, este posibil să se afirme că un corp încărcat electric produce un câmp electric în spațiul înconjurător astfel încât, dacă este introdusă o sarcină electrică, este afectată de efectul unei forțe , numită forță Coulomb , direct proporțională cu produs al celor două încărcături și invers proporțional cu pătratul distanței lor.

În același timp, existența magnetismului natural în materie era deja cunoscută grecilor antici în secolele V - VI î.Hr. , deși probabil că fusese deja descoperită în China antică unde se spune că un prototip rudimentar al unei busole magnetice era deja folosit. Anticii descoperiseră capacitatea unor minerale, cum ar fi magnetitul , de a atrage pămînturi de fier sau mici obiecte feroase. Printre cele mai importante studii medievale pe această temă se numără Epistola De Magnete de Pietro Peregrino di Maricourt , datată 1296 , care introduce conceptul și terminologia celor doi poli, Nord și Sud, ai magnetului și propune experimentul magnetului. rupt. În 1600 a apărut De Magnete de William Gilbert , care a rămas multă vreme textul de referință pe tema magnetismului, chiar dacă primele studii cantitative asupra fenomenelor magnetostatice pot fi urmărite până la sfârșitul secolului al XVIII-lea - începutul secolului al XIX-lea francezii Biot și Savart și, ulterior, ai lui Ampère , tot în Franța.

O primă corelație între electricitate și magnetism a fost ipotezată de fizicianul danez Hans Christian Ørsted , care, efectuând un experiment realizat deja cu optsprezece ani mai devreme de Gian Domenico Romagnosi ^[1] , cunoscut sub numele de experimentul Ørsted , a observat că un fir traversat de electricitate curentul a generat în jurul său un câmp magnetic . Mai târziu, chimistul britanic Michael Faraday a realizat o experiență similară, redenumită experimentul Faraday , prin care a demonstrat că un conductor purtător de curent, scufundat într-un câmp magnetic, este supus unei forțe. Formularea matematică a forței exercitate de un câmp magnetic asupra curentului electric se datorează în cele din urmă lui André-Marie Ampère , care prin experimentul Ampère a concluzionat că între două fire de lungime $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ și distanță $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , respectiv traversat de un curent de intensitate $i_{1}$ ${\ displaystyle i_ {1}}$ $i_ {1}$ Și $i_{2}$ ${\ displaystyle i_ {2}}$ $i_ {2}$ , se exercită o forță al cărei modul este în unități CGS :

F=\;{\frac {i_{1}\cdot i_{2}\cdot l}{d}}

{\ displaystyle F = \; {\ frac {i_ {1} \ cdot i_ {2} \ cdot l} {d}}}

{\ displaystyle F = \; {\ frac {i_ {1} \ cdot i_ {2} \ cdot l} {d}}}

Forța dintre cele două fire este atractivă dacă curenții curg în aceeași direcție, respingătoare dacă curg în direcții opuse. Era clar atunci că singura sursă a câmpului magnetostatic sunt sarcinile în mișcare, adică un curent electric .

În cele din urmă, James Clerk Maxwell , unificând organic cele două fenomene, a formulat ecuațiile cu același nume , care descriu fenomenele clasice magnetostatice, electrostatice, magnetodinamice și electrodinamice.

Electromagnetism clasic

Câmpul electromagnetic este un câmp tensor dat de combinația dintre câmpul electric și câmpul magnetic și este responsabil pentru interacțiunea electromagnetică; clasic este descris de ecuațiile Maxwell și forța Lorentz . Este generat în spațiu de prezența sarcinilor electrice și se poate manifesta chiar și în absența acestora, fiind o entitate fizică care poate fi definită independent de sursele care au generat-o. ^{[ neclar ]}

Liniile de forță ale câmpului electric generate de o sarcină pozitivă.

Câmpul electric

Același subiect în detaliu: Câmpul electric și electrostatica .

Câmpul electrostatic este un câmp de forță conservator generat în spațiu de prezența sarcinilor electrice staționare. Vectorul câmpului electric $\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$ $\ mathbf E$ într-un punct este definit ca raportul dintre forța electrică generată de câmp pe un obiect încărcat și sarcina obiectului însuși: ^[2] ^[3]

\mathbf {E} =\lim _{q_{0}\to 0}{\frac {\mathbf {F} }{q_{0}}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = \ lim _ {q_ {0} \ to 0} {\ frac {\ mathbf {F}} {q_ {0}}}}

{\ mathbf E} = \ lim _ {{q _ {{0}} \ to 0}} {\ frac {{\ mathbf F}} {q_ {0}}}

Legea lui Coulomb prevede că o taxă punctuală $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ asezat in $\mathbf {r} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$ ${\ mathbf r} '$ , generează un câmp electric, la un moment dat $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ , definit prin următoarea expresie:

\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon }}{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|^{3}}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} '} {\ left \ | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right \ | ^ {3}}}}

{\ mathbf E} ({\ mathbf r}) = {\ frac {Q} {4 \ pi \ varepsilon}} {\ frac {{\ mathbf r} - {\ mathbf r} '} {\ left \ | { \ mathbf r} - {\ mathbf r} '\ right \ | ^ {3}}}

unde este $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ este constanta dielectrică caracteristică a materialului în care se propagă câmpul.

Câmpul electric este descris și de potențialul electric (V), definit ca valoarea energiei potențiale (U) a unei sarcini electrice plasate într-un punct din spațiu împărțit de sarcina însăși. Prin urmare, energia potențială a încărcăturii este energia pe care o posedă sarcina datorită poziției sale în câmpul electric. Potențialul electric este definit de următoarea formulă:

\operatorname {V} ={\frac {U}{q}}

{\ displaystyle \ operatorname {V} = {\ frac {U} {q}}}

\ operatorname V = {\ frac {U} {q}}

Prin urmare, potențialul este o mărime scalară, iar unitatea de măsură a potențialului electric este voltul . Între două puncte A și B ale unei regiuni a spațiului în care se află un câmp electric există o diferență de potențial de 1 V dacă forța electrică face lucrarea de 1 J pentru a aduce o sarcină de 1 C de la punctul A la punctul B.

Deoarece câmpul electric este conservator, este întotdeauna posibil să se definească o funcție scalară $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , Potențialul electric , al cărui gradient, schimbat în semn, coincide cu câmpul: ^[4]

\mathbf {E} _{0}=-\operatorname {grad} V_{0}=-\nabla V_{0}

{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0} = - \ operatorname {grad} V_ {0} = - \ nabla V_ {0}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} _ {0} = - \ operatorname {grad} V_ {0} = - \ nabla V_ {0}}

Liniile de forță ale câmpului magnetic generate de un magnet .

Câmpul magnetic

Același subiect în detaliu: câmp magnetic și magnetostatice .

Câmpul magnetic este un câmp vector neconservator generat de sarcini în mișcare. Câmpul magnetic acționează asupra obiectelor încărcate în mișcare printr-o forță, numită forță Lorentz , dată de: ^[5]

\mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}}

{\ mathbf {F}} = q {\ mathbf {v}} \ times {\ mathbf {B}}

unde este $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ $\ ori$ indică produsul vector , $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este sarcina electrică a obiectului e $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ este viteza de încărcare.

Câmpul magnetic nu funcționează , ca o consecință a expresiei forței Lorentz, care este întotdeauna perpendiculară pe direcția vitezei de încărcare. Mai mult, este descris de un potențial vectorial $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf A$ definite formal de raport:

\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A}}

{\ mathbf B} = {\ mathbf \ nabla} \ times {\ mathbf A}

adică $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ este rotorul lui $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf A$ .

Deoarece divergența unui rotor este zero, $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ trebuie să aibă zero divergență : ^[6]

\nabla \cdot \mathbf {B} =0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}

\ nabla \ cdot {\ mathbf B} = 0

Potențialul vector al unui câmp este definit până la un gradient al unei funcții, deoarece rotorul de gradient este întotdeauna zero.

Ecuațiile lui Maxwell

Același subiect în detaliu: ecuațiile lui Maxwell .

Ecuațiile lui Maxwell sunt un sistem de patru ecuații parțiale liniare, care guvernează evoluția spațială și temporală a câmpului electromagnetic . Acestea sunt ecuații care, rezumând legea lui Gauss , legea Faraday și legea lui Ampère , unifică conceptul de câmp electric și câmp magnetic în cadrul conceptului mai larg de câmp electromagnetic.

În cazul mai general, unde câmpurile depind de coordonatele spațiale și de timp , forma diferențială a ecuațiilor lui Maxwell este: ^[7]

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho \qquad \nabla \cdot \mathbf {B} =0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho \ qquad \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}

\ nabla \ cdot {\ mathbf {D}} = \ rho \ qquad \ nabla \ cdot {\ mathbf {B}} = 0

\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\

{\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ qquad \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}} \}

\ nabla \ times {\ mathbf {E}} = - {\ frac {\ partial {\ mathbf {B}}} {\ partial t}} \ qquad \ nabla \ times {\ mathbf {H}} = {\ mathbf {J}} + {\ frac {\ partial {\ mathbf {D}}} {\ partial t}} \

unde este $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf D$ și $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf H$ sunt respectiv câmpul electric și câmpul magnetic dintr-un material, $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea sarcinii electrice e $\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf J$ densitatea curentului electric .

Ecuațiile lui Maxwell, împreună cu forța Lorentz , descriu complet interacțiunea electromagnetică clasică, adică modul în care o sarcină în mișcare interacționează cu o altă sarcină în mișcare.

Unda electromagnetică polarizată circular și liniar. Vectorii asociați cu liniile roșii reprezintă câmpul electric.

Câmpul electromagnetic

Același subiect în detaliu: câmpul electromagnetic și electrodinamica clasică .

Electrodinamica clasică studiază câmpul electromagnetic ținând cont de principiile teoriei relativității , care sunt neglijate în teoria clasică a electromagnetismului. Câmpul, în cel mai general caz, este generat de o distribuție a sarcinii electrice și a curentului electric care variază în timp.

Efectele generate de comportamentul dinamic al sarcinilor și curenților au fost studiate de Pierre Simon Laplace , Michael Faraday , Heinrich Lenz și mulți alții încă de la începutul secolului al XIX-lea , totuși un studiu coerent și logic complet al fenomenelor electromagnetice nu poate fi efectuat decât începând cu din teoria relativității. Electrodinamica clasică folosește formalismul tensorial și cu patru vectori pentru a scrie ecuațiile lui Maxwell în formă covariantă pentru transformările Lorentz , introducând un potențial de patru care extinde potențialul scalar și vectorial al cazului staționar: în acest fel sunt descrise sarcinile și curenții electrici din cele patru -densitatea curentului electric vectorial $j^{\mu }$ ${\ displaystyle j ^ {\ mu}}$ $j ^ {\ mu}$ unde partea temporală a celor patru vectori este dată de densitatea sarcinii, înmulțită cu viteza luminii c , iar partea spațială cu densitatea curentului electric.

Cele patru potențiale $A^{\mu }$ ${\ displaystyle A ^ {\ mu}}$ $A ^ {{\ mu}}$ care descrie câmpul electromagnetic constă dintr-o parte spațială dată de potențialul vector $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf A$ , relativ la câmpul magnetic și o parte temporală dată de potențialul scalar $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ a câmpului electric :

A^{\nu }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {A} \right)=\left({\frac {\phi }{c}},A_{x},A_{y},A_{z}\right)

{\ displaystyle A ^ {\ nu} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {A} \ right) = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \ dreapta)}

{\ displaystyle A ^ {\ nu} = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, \ mathbf {A} \ right) = \ left ({\ frac {\ phi} {c}}, A_ {x}, A_ {y}, A_ {z} \ dreapta)}

Pornind de la cele patru potențiale, câmpurile pot fi definite după cum urmează:

\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\qquad \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \ qquad \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla } \ times \ mathbf {A}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \ qquad \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla } \ times \ mathbf {A}}

Prin inserarea acestor expresii în ecuațiile lui Maxwell, legea lui Faraday și legea magnetică Gauss sunt reduse la identitate, în timp ce celelalte două ecuații iau forma:

\nabla ^{2}\phi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}\right)-\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\mathbf {J}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - {\ frac { \ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ qquad \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) - \ mathbf {\ nabla} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} + {\ frac { 1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi + {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} \ right) = - {\ frac { \ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ qquad \ left (\ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) - \ mathbf {\ nabla} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} + {\ frac { 1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} \ right) = - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

Aceste expresii sunt echivalente cu ecuațiile lui Maxwell.

Undele electromagnetice

Același subiect în detaliu: Radiația electromagnetică .

Radiația electromagnetică este un fenomen de undă care descrie propagarea câmpului electromagnetic în spațiu. Este propagarea simultană a câmpului electric și a câmpului magnetic , oscilând în planuri ortogonale între ele. Radiația electromagnetică se propagă cu viteza luminii într-o direcție ortogonală către cele două câmpuri și este descrisă prin ecuația undei :

\nabla ^{2}f={\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f = {\ frac {1} {{c_ {0}} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial t ^ {2} }}}

\ nabla ^ {2} f = {\ frac {1} {{c_ {0}} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial t ^ {2}}}

care pentru cele două câmpuri este:

\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\qquad \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2}}} \ qquad \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {B}} {\ partial t ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2}}} \ qquad \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} = {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {B}} {\ partial t ^ {2}}}}

unde este $c_{0}$ ${\ displaystyle c_ {0}}$ $c_0$ este viteza luminii. O rescriere mai compactă este dată de:

\Box f=0

{\ displaystyle \ Box f = 0}

\ Caseta f = 0

unde este $\Box$ ${\ displaystyle \ Box}$ $\Cutie$ este operatorul hiperbolic al d'Alembert :

\Box =\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{{c_{0}}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\

{\ displaystyle \ Box = \ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {{c_ {0}} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2 }}} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {{c_ {0}} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \}

\ Box = \ nabla ^ {2} - {\ frac {1} {{c_ {0}} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {{c_ {0}} ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \

Această ecuație, care descrie propagarea câmpului electromagnetic în spațiu, poate fi derivată din ecuațiile lui Maxwell.

Teoria gabaritului

Același subiect în detaliu: teoria Gauge și Gauge Lorenz .

În cadrul ecuațiilor lui Maxwell, fiecare grad de libertate într-o configurație dată a câmpului electromagnetic are propriul efect măsurabil asupra mișcării oricăror sarcini de test din apropiere. Cu toate acestea, ele se caracterizează prin faptul că expresia câmpurilor rămâne neschimbată dacă potențialele suferă următoarea transformare:

\mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \lambda \qquad \phi '=\phi -{\frac {\partial \lambda }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} '= \ mathbf {A} + \ mathbf {\ nabla} \ lambda \ qquad \ phi' = \ phi - {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {A} '= \ mathbf {A} + \ mathbf {\ nabla} \ lambda \ qquad \ phi' = \ phi - {\ frac {\ partial \ lambda} {\ partial t}}}

Prin urmare, descrierea câmpului prin intermediul potențialelor se caracterizează prin faptul că expresiile potențialelor pot fi modificate astfel încât să lase neschimbată expresia rezultată a câmpurilor. O alegere specială a potențialului scalar sau a potențialului vector este un potențial de gabarit , iar o funcție scalară utilizată pentru a schimba gabaritul se numește funcție de gabarit .

În electrodinamică apelăm de obicei la utilizarea gabaritului Lorenz, o alegere a potențialelor, cum ar fi satisfacerea unei anumite condiții, numită condiția Lorenz :

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} '=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \phi '}{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} '= - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ phi'} {\ partial t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} '= - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ phi'} {\ partial t}}}

Această condiție are proprietatea de a fi invariant Lorentz și de a respecta gradele de libertate oferite de transformările gabaritului: dacă potențialele îndeplinesc condiția Lorenz, se spune că aparțin gabaritului Lorenz ^[8] Condiția Lorenz este o proprietate impusă electromagneticului potențial utilizat în calculul câmpurilor electromagnetice care variază în timp prin potențiale întârziate. ^[9]

Condiția Lorenz dictează că $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ trebuie să satisfacă ecuația:

\nabla ^{2}\lambda -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\lambda }{\partial t^{2}}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ lambda - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ lambda} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ lambda - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ lambda} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} - \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}}}

.

Ecuațiile Maxwell din gabaritul Lorenz sunt scrise ca:

\nabla ^{2}\mathbf {A} '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} '}{\partial t^{2}}}=\Box ^{2}\mathbf {A} '=-\mu _{0}\mathbf {J}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} '- \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}'} {\ partial t ^ {2}}} = \ Box ^ {2} \ mathbf {A} '= - \ mu _ {0} \ mathbf {J}}

\ nabla ^ {2} {\ mathbf A} '- \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ mathbf A}'} {\ partial t ^ {2} }} = \ Box ^ {2} {\ mathbf A} '= - \ mu _ {0} {\ mathbf J}

\nabla ^{2}\phi '-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\varphi '}{\partial t^{2}}}=\Box ^{2}\phi '=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi '- \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi'} {\ partial t ^ {2}}} = \ Box ^ {2} \ phi '= - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ phi '- \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi'} {\ partial t ^ {2}}} = \ Box ^ {2} \ phi '= - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

unde este $\Box ^{2}$ ${\ displaystyle \ Box ^ {2}}$ $\ Box ^ {2}$ este operatorul d'Alembert .

Tensorul electromagnetic

Același subiect în detaliu: tensorul electromagnetic .

Descrierea covariantă a câmpului electromagnetic în vid se realizează în contextul gabaritului Lorenz, deoarece condiția Lorenz are proprietatea de a fi invariant Lorentz și de a respecta gradele de libertate oferite de transformările gabaritului. Pornind de la cvadrupotențial este posibil să se scrie un tensor de câmp electromagnetic dublu $F^{\mu \nu }$ ${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu}}$ $F ^ {{\ mu \ nu}}$ :

F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu}}

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu}}

Tensorul electromagnetic este un tensor antisimetric de ordinul doi , covariant și urmele sale sunt nule: ^[10]

F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {pmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}}

F ^ {{\ mu \ nu}} = {\ begin {pmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {pmatrix}}

Folosind această notație, ecuațiile lui Maxwell pot fi rezumate în perechi. Cele două ecuații vectoriale neomogene se rezumă la:

\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}\,j^{\nu }

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} F ^ {\ mu \ nu} = \ mu _ {0} \, j ^ {\ nu}}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} F ^ {\ mu \ nu} = \ mu _ {0} \, j ^ {\ nu}}

în timp ce ecuațiile omogene sunt:

\partial _{\mu }G^{\mu \nu }=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} G ^ {\ mu \ nu} = 0}

\ partial _ {\ mu} G ^ {{\ mu \ nu}} = 0

Surse variabile în timp

Același subiect în detaliu: potențialele întârziate și ecuațiile lui Jefimenko .

Potențialele întârziate descriu potențialele în cazul în care distribuția sarcinii și curentului prezent, sursa câmpului, este variabilă în timp. Acestea sunt expresiile potențialelor utilizate atunci când nu este posibil să se utilizeze aproximarea conform căreia propagarea interacțiunii electromagnetice este instantanee. Presupunând că suntem în vid, în gabaritul Lorenz potențialele retardate iau forma: ^[11]

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}\qquad \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x} _{0},t_{r})}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}}d^{3}x_{0}

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {x} _ {0 }, t_ {r})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0} \ qquad \ mathbf {A} (\ mathbf {x} , t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} \ int {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {x} _ {0}, t_ {r})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}}

{\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ int {\ frac {\ rho (\ mathbf {x} _ {0 }, t_ {r})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0} \ qquad \ mathbf {A} (\ mathbf {x} , t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0} c ^ {2}}} \ int {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {x} _ {0}, t_ {r})} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |}} d ^ {3} x_ {0}}

unde este $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea sarcinii, $\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ $\ mathbf J$ este densitatea curentului, $|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|$ ${\ displaystyle | \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |}$ $| \ mathbf x - \ mathbf x_0 |$ distanța punctului de observație al câmpului de elementul volum $d V.$ ${\ displaystyle dV}$ $dV$ pe care se realizează integrarea și:

t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0}|}{c}}

{\ displaystyle t_ {r} = t - {\ frac {| \ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {0} |} {c}}}

t_r = t- \ frac {| \ mathbf x - \ mathbf x_0 |} {c}

este timpul întârziat.

Potențialele retardate sunt soluția ecuației undei pentru potențiale $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Și $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf A$ , iar acest lucru vă permite să scrieți ecuația undei pentru câmpurile în vid. Soluția relativă la timpul întârziat oferă expresia preliminară pentru câmpuri, ^{[12] a} căror scriere explicită este furnizată de ecuațiile Jefimenko . ^[13]

Electrodinamica cuantică

Același subiect în detaliu: electrodinamica cuantică .

Electrodinamica cuantică este o teorie cuantică a câmpului electromagnetic care descrie fenomene care implică particule încărcate electric care interacționează prin intermediul forței electromagnetice și a fost numită bijuteria fizicii pentru predicțiile sale extrem de precise de cantități, cum ar fi momentul magnetic anomal al muonului , și schimbarea Lamb-Retherford a nivelurilor de energie a hidrogenului .

Matematic, electrodinamică cuantică are structura unei abeliană teorie gauge cu un U (1) Grup de ecartament : fizic aceasta înseamnă că particulele încărcate interacționează unele cu altele prin schimbul de particule de masă zero , numite fotoni . Având în vedere potențialii ca operatori de câmp, obținem cuantificarea câmpului electromagnetic și înlocuim ${\frac {1}{c^{2}}}=\varepsilon _{0}\mu _{0}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} = \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}}$ ${\ frac 1 {c ^ {2}}} = \ varepsilon _ {0} \ mu _ {0}$ în ecuațiile ecartamentului Lorenz obținem:

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} \qquad \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} \ qquad \ nabla ^ {2} \ phi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t ^ {2}}} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} \ qquad \ nabla ^ {2} \ phi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t ^ {2}}} = - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}

Dacă vrem să descriem interacțiunea dintre câmpurile electromagnetice cu ecuația Dirac, densitatea sarcinii și curentului este: ^[14]

\mathbf {J} =-ec\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \,\quad \rho =-e\psi ^{\dagger }\psi

{\ displaystyle \ mathbf {J} = -ec \ psi ^ {\ dagger} {\ boldsymbol {\ alpha}} \ psi \, \ quad \ rho = -e \ psi ^ {\ dagger} \ psi}

{\ displaystyle \ mathbf {J} = -ec \ psi ^ {\ dagger} {\ boldsymbol {\ alpha}} \ psi \, \ quad \ rho = -e \ psi ^ {\ dagger} \ psi}

unde este ${\boldsymbol {\alpha }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol \ alpha}$ sunt primele trei matrice Dirac . Astfel putem scrie ecuațiile lui Maxwell ca:

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}ec\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \qquad \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}e\psi ^{\dagger }\psi

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} = \ mu _ {0} ec \ psi ^ {\ dagger} {\ boldsymbol {\ alpha}} \ psi \ qquad \ nabla ^ {2} \ phi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ psi} {\ partial t ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} și \ psi ^ {\ pumnal} \ psi}

\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=\mu _{0}ec\psi ^{\dagger }{\boldsymbol {\alpha }}\psi \qquad \nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}e\psi ^{\dagger }\psi

Tale formulazione è alla base dell'elettrodinamica quantistica.

Spettro elettromagnetico

L'insieme delle frequenze elettromagnetiche è detto spettro elettromagnetico che comprende al suo interno la luce visibile .

Unità elettriche nel sistema internazionale

Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema internazionale di unità di misura .

Simbolo	Nome della quantità	Nome	Unità	Unità fondamentali
I	Corrente	ampere ( unità fondam. SI )	A	A = W/V = C/s
q	Carica elettrica	coulomb	C	A·s
V	Differenza di potenziale	volt	V	J/C = kg·m ² ·s ⁻³ ·A ⁻¹
R, Z, X	Resistenza , Impedenza , Reattanza	ohm	Ω	V/A = kg·m ² ·s ⁻³ ·A ⁻²
ρ	Resistività	ohm metro	Ω·m	kg·m ³ ·s ⁻³ ·A ⁻²
P	Potenza elettrica	watt	W	V·A = kg·m ² ·s ⁻³
C	Capacità elettrica	farad	F	C/V = kg ⁻¹ ·m ⁻² ·A ² ·s ⁴
Π _E	Elastanza elettrica	reciproco del farad	F ⁻¹	V/C = kg·m ² ·A ⁻² ·s ⁻⁴
ε	Permittività elettrica	farad su metro	F/m	kg ⁻¹ ·m ⁻³ ·A ² ·s ⁴
χ _e	Suscettività elettrica	(adimensionale)	-	-
G, Y, B	Conduttanza elettrica , Ammettenza , Suscettanza	siemens	S	Ω ⁻¹ = kg ⁻¹ ·m ⁻² ·s ³ ·A ²
σ	Conduttività	siemens su metro	S/m	kg ⁻¹ ·m ⁻³ ·s ³ ·A ²
H	Campo magnetico, Intensità di campo magnetico	ampere su metro	A/m	A·m ⁻¹
Φ _m	Flusso magnetico	weber	Wb	V·s = kg·m ² ·s ⁻² ·A ⁻¹
B	Densità di flusso magnetico, induzione magnetica, forza del campo magnetico	tesla	T	Wb/m ² = kg·s ⁻² ·A ⁻¹
R	Riluttanza	ampere -giro su weber	A/Wb	kg ⁻¹ ·m ⁻² ·s ² ·A ²
L	Induttanza	henry	H	Wb/A = V·s/A = kg·m ² ·s ⁻² ·A ⁻²
μ	Permeabilità	henry su metro	H/m	kg·m·s ⁻² ·A ⁻²
χ _m	Suscettività magnetica	(adimensionale)	-	-

Note

^ Sandro Stringari, Romagnosi fisico , in Unitn , n. 30, marzo 2001. URL consultato il 28 novembre 2008 (archiviato dall' url originale il 5 dicembre 2008) .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 11 .
^ Electric field in "Electricity and Magnetism", R Nave .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 41 .
^ Jackson , Pag. 3 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 257 .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 458 .
^ Jackson , Pag. 241 .
^ Kirk T. McDonald , The relation between expressions for time-dependent electromagnetic fields given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips , in American Journal of Physics , vol. 65, n. 11, 1997, pp. 1074–1076, Bibcode : 1997AmJPh..65.1074M , DOI : 10.1119/1.18723 . and pdf link ( PDF ), su hep.princeton.edu . URL consultato il 1º giugno 2010 .
^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics , 3rd, Prentice Hall, 1998, p. 557, ISBN 0-13-805326-X .
^ Mencuccini, Silvestrini , Pag. 506 .
^ Jackson , Pag. 246 .
^ Jackson , Pag. 247 .
^ Quantum Electrodynamics, Mathworld .

Bibliografia

Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini , Fisica II , Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
Lev Davidovič Landau , Evgenij Lifšic , Fisica teorica 2 - Teoria dei campi , Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8 .
( EN ) John D Jackson, Classical Electrodynamics , 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
( EN ) Evgenij Lifšic, Lev Davidovič Landau, Lev Petrovich Pitaevskii (1993): Electrodynamics of Continuous Media. Course of Theoretical Physics volume 8 , 2nd ed., Elsevier, ISBN 0-7506-2634-8
( EN ) Joseph Edminister (1994): Schaum's Outline of Electromagnetics , 2nd ed., McGraw-Hill, ISBN 0-07-021234-1 , pp. 256
( EN ) David J. Griffiths (1998): Introduction to Electrodynamics , 3rd ed., Prentice Hall, ISBN 0-13-805326-X , pp. 576
( EN ) DA Bromley (1998): Classical Electrodynamics , Springer, ISBN 0-387-94799-X , pp. 555

Voci correlate

Altri progetti

Wikizionario contiene il lemma di dizionario « elettromagnetismo »
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su elettromagnetismo

Collegamenti esterni

Direttiva 89/336/CEE sui disturbi di radiofrequenza ( PDF ), su italtec.it .
( EN ) James Clerk Maxwell , A treatise on electricity and magnetism (t.1) (Clarendon Press, Oxford, 1881)
( EN ) James Clerk Maxwell , A treatise on electricity and magnetism (t.2) (Clarendon Press, Oxford, 1881)
( EN ) O. Heaviside , Electromagnetic Theory (t. 1) (The Electrician printing company, London, 1894-1912)
( EN ) O. Heaviside , Electromagnetic Theory (t. 2) (The Electrician printing company, London, 1894-1912)
( EN ) O. Heaviside , Electromagnetic Theory (t. 3) (The Electrician printing company, London, 1894-1912)
( EN ) Harry Bateman The mathematical analysis of electrical and optical wave-motion on the basis of Maxwell's equations (Cambridge University Press, 1915)
( EN ) Leigh Page An introduction to electrodynamics from the staindpoint of the electron theory (Ginn & co., Boston, 1922)
( EN ) Max Mason e Warren Weaver The Electromagnetic Field (University of Chicago Press, 1929)
( EN ) JA Stratton Electromagnetic Theory (McGrawHill, New York, 1941)
( EN , IT ) Radionistics.com Fisica delle onde radio ed ingegneria radioelettronica.
( EN , IT ) La Legge di Lenz all'opera .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 12423 · GND ( DE ) 4014300-4

Portale Elettromagnetismo

Portale Fisica

[1] Sandro Stringari, Romagnosi fisico , in Unitn , n. 30, marzo 2001. URL consultato il 28 novembre 2008 (archiviato dall' url originale il 5 dicembre 2008) .

[2] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 11 .

[hyperphysics.phy-astr.gsu.edu-3] Electric field in "Electricity and Magnetism", R Nave .

[4] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 41 .

[5] Jackson , Pag. 3 .

[6] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 257 .

[7] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 458 .

[8] Jackson , Pag. 241 .

[mcdonald-9] Kirk T. McDonald , The relation between expressions for time-dependent electromagnetic fields given by Jefimenko and by Panofsky and Phillips , in American Journal of Physics , vol. 65, n. 11, 1997, pp. 1074–1076, Bibcode : 1997AmJPh..65.1074M , DOI : 10.1119/1.18723 . and pdf link ( PDF ), su hep.princeton.edu . URL consultato il 1º giugno 2010 .

[10] Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics , 3rd, Prentice Hall, 1998, p. 557, ISBN 0-13-805326-X .

[pot-11] Mencuccini, Silvestrini , Pag. 506 .

[12] Jackson , Pag. 246 .

[13] Jackson , Pag. 247 .

[14] Quantum Electrodynamics, Mathworld .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12] a

[13]

[14]