Interacțiune rezonantă

În sistemele dinamice neliniare, o interacțiune rezonantă este interacțiunea a trei sau mai multe unde , deseori dar nu întotdeauna de mică amplitudine. Interacțiunile rezonante apar atunci când sunt îndeplinite criteriile care cuplează vectorii de undă și relația de dispersie . Cele mai importante și bine dezvoltate aplicații ale sale apar în studiul undelor gravitaționale , dar multe se găsesc de la astrofizică și biologie la inginerie și medicină. Lucrarea teoretică asupra ecuațiilor diferențiale parțiale oferă informații importante despre teoria haosului . Interacțiunile rezonante permit undelor să efectueze procese elastice de împrăștiere sau difuzie sau să devină instabile . ^[1] Procesele de difuzie sunt responsabile pentru eventuala termalizare a majorității sistemelor neliniare; instabilitățile oferă informații despre haos în sistemele cu un număr mare de grade de libertate și despre turbulențe .

Discuţie

Conceptul de bază este că atunci când energia și impulsul diferitelor moduri vibraționale se adaugă la zero, acestea sunt libere să se amestece împreună prin neliniaritatea sistemului în cauză. Modurile în care energia și impulsul nu se adaugă la zero nu pot interacționa, deoarece acest lucru ar implica o încălcare a conservării energiei sau a impulsului. Elanul unei unde este dat de vectorul său de undă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ și energia ei $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ derivă din relația de dispersie pentru sistem.

De exemplu, pentru trei unde într-un mediu continuu , condiția de rezonanță este scrisă în mod convențional prin impunerea acestui lucru $k_{1}\pm k_{2}\pm k_{3}=0$ ${\ displaystyle k_ {1} \ pm k_ {2} \ pm k_ {3} = 0}$ ${\ displaystyle k_ {1} \ pm k_ {2} \ pm k_ {3} = 0}$ și, de asemenea, că $\omega _{1}\pm \omega _{2}\pm \omega _{3}=0$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} \ pm \ omega _ {2} \ pm \ omega _ {3} = 0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} \ pm \ omega _ {2} \ pm \ omega _ {3} = 0}$ , semnul minus este luat în funcție de modul în care energia este redistribuită printre valuri. Pentru unde în medii discrete, cum ar fi în simulări pe computer pe o rețea sau în sisteme în stare solidă (neliniare), vectorii de undă sunt cuantificați și modurile normale corespund fononilor . Zona Brillouin definește o limită superioară a vectorului de undă și undele pot interacționa atunci când sunt adăugate la multipli întregi ai vectorilor de Brillouin ( împrăștierea Umklapp ).

Deși sistemele cu trei unde oferă cea mai simplă formă de interacțiuni rezonante în unde, nu toate sistemele permit interacțiuni cu trei unde. De exemplu, ecuația undei în apa adâncă (adică unde adâncimea apei este mult mai mare decât lungimea de undă), un sistem într-un mediu continuu, nu posedă o interacțiune cu trei unde. ^[2] Problema Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou , un sistem într-o rețea discretă, nu are o interacțiune cu trei unde. Permite o interacțiune cu patru valuri, dar acest lucru nu este suficient pentru termicizarea sistemului; acest lucru necesită o interacțiune cu șase valuri. ^[3] În consecință, timpul final de termalizare merge ca inversul puterii a opta a constantei de cuplare, în mod clar, un timp foarte lung pentru o cuplare slabă, permițând astfel celebrelor recurențe FPUT să domine pe scări de timp „normale”.

Formulare hamiltoniană

În multe cazuri, sistemul în cauză poate fi ușor exprimat folosind formalismul hamiltonian . Când acest lucru este posibil, este posibil să se aplice o serie de manipulări, având forma transformatelor Fourier generalizate și neliniare. Aceste manipulări sunt strâns legate de metoda transformării de împrăștiere inversă .

Un exemplu destul de simplu poate fi extras din studiul valurilor mării în apele adânci. ^[4] ^[5] În acest caz, dinamica sistemului fizic considerat poate fi descrisă folosind formalismul hamiltonian : pot fi definite două câmpuri conjugate canonic $\phi (x,t)$ ${\ displaystyle \ phi (x, t)}$ ${\ displaystyle \ phi (x, t)}$ Și $\psi (x,t)$ ${\ displaystyle \ psi (x, t)}$ ${\ displaystyle \ psi (x, t)}$ , care va satisface ecuațiile lui Hamilton (pentru simplitate considerăm cazul cu o singură coordonată spațială $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ):

\qquad \qquad {\frac {\partial \phi \left(x,t\right)}{\partial t}}={\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \psi \left(x,t\right)}},\qquad \qquad {\frac {\partial \psi \left(x,t\right)}{\partial t}}=-{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \phi \left(x,t\right)}},

{\ displaystyle \ qquad \ qquad {\ frac {\ partial \ phi \ left (x, t \ right)} {\ partial t}} = {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}}} {\ delta \ psi \ left (x, t \ right)}}, \ qquad \ qquad {\ frac {\ partial \ psi \ left (x, t \ right)} {\ partial t}} = - {\ frac {\ delta { \ mathcal {H}}} {\ delta \ phi \ left (x, t \ right)}},}

{\ displaystyle \ qquad \ qquad {\ frac {\ partial \ phi \ left (x, t \ right)} {\ partial t}} = {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}}} {\ delta \ psi \ left (x, t \ right)}}, \ qquad \ qquad {\ frac {\ partial \ psi \ left (x, t \ right)} {\ partial t}} = - {\ frac {\ delta { \ mathcal {H}}} {\ delta \ phi \ left (x, t \ right)}},}

in care ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal {H}}$ este hamiltonianul sistemului și $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ indică derivata funcțională în raport cu câmpurile $\phi (x,t)$ ${\ displaystyle \ phi (x, t)}$ ${\ displaystyle \ phi (x, t)}$ Și $\psi (x,t)$ ${\ displaystyle \ psi (x, t)}$ ${\ displaystyle \ psi (x, t)}$ . Este convenabil să efectuați o transformată Fourier față de spațiu, exprimând cele două câmpuri în funcție de numărul de undă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ :

$\qquad \qquad {\hat {\phi }}_{k}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-ikx}\phi (x,t)dx,\qquad {\hat {\phi }}_{k}(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-ikx}\phi (x,t)dx.$ ${\ displaystyle \ qquad \ qquad {\ hat {\ phi}} _ {k} (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- ikx} \ phi (x, t) dx, \ qquad {\ hat {\ phi}} _ {k} (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- ikx} \ phi (x, t) dx.}$ ${\ displaystyle \ qquad \ qquad {\ hat {\ phi}} _ {k} (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- ikx} \ phi (x, t) dx, \ qquad {\ hat {\ phi}} _ {k} (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- ikx} \ phi (x, t) dx.}$

În acest moment cele două câmpuri sunt exprimate în termeni de o pereche de câmpuri conjugate complexe noi, numite variabile normale (în care $\omega _{k}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k}}$ este frecvența unghiulară corespunzătoare numărului de undă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , dată de relația de dispersie a sistemului):

$\qquad \qquad {\displaystyle {\hat {\phi }}_{k}(t)={\frac {1}{\sqrt {2\omega _{k}}}}\;\;\left(a_{k}+a_{-k}^{*}\right)},\qquad \qquad {\displaystyle {\hat {\psi }}_{k}(t)=-i{\sqrt {\frac {\omega _{k}}{2}}}\;\;\left(a_{k}-a_{-k}^{*}\right)}$ ${\ displaystyle \ qquad \ qquad {\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {k} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega _ {k}}}} \; \; \ left (a_ {k} + a _ {- k} ^ {*} \ right)}, \ qquad \ qquad {\ displaystyle {\ hat {\ psi}} _ {k} (t) = - i {\ sqrt {\ frac {\ omega _ {k}} {2}}} \; \; \ left (a_ {k} -a _ {- k} ^ {*} \ right)}}$ ${\ displaystyle \ qquad \ qquad {\ displaystyle {\ hat {\ phi}} _ {k} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega _ {k}}}} \; \; \ left (a_ {k} + a _ {- k} ^ {*} \ right)}, \ qquad \ qquad {\ displaystyle {\ hat {\ psi}} _ {k} (t) = - i {\ sqrt {\ frac {\ omega _ {k}} {2}}} \; \; \ left (a_ {k} -a _ {- k} ^ {*} \ right)}}$

Astfel de câmpuri nu sunt altceva decât versiunea clasică a operatorilor de creație și distrugere utilizată în mecanica cuantică . Hamiltonianul sistemului poate fi descompus într-un termen pătratic în variabile normale (care reprezintă teoria liniară a undelor) și într-un termen de ordine superioară (care în schimb descrie interacțiuni neliniare). În acest caz, dacă componenta pătratică este exprimată ca (orice constantă fizică este absorbită în diferitele definiții ale câmpului):

{\mathcal {H}}_{0}={\frac {1}{2}}\int (|{\hat {\psi }}_{k}|^{2}+\omega _{k}^{2}|\phi _{k}|^{2})dk={\frac {1}{2}}\int \omega _{k}|a_{k}|^{2}dk

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0} = {\ frac {1} {2}} \ int (| {\ hat {\ psi}} _ {k} | ^ {2} + \ omega _ {k} ^ {2} | \ phi _ {k} | ^ {2}) dk = {\ frac {1} {2}} \ int \ omega _ {k} | a_ {k} | ^ {2} dk}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0} = {\ frac {1} {2}} \ int (| {\ hat {\ psi}} _ {k} | ^ {2} + \ omega _ {k} ^ {2} | \ phi _ {k} | ^ {2}) dk = {\ frac {1} {2}} \ int \ omega _ {k} | a_ {k} | ^ {2} dk}

,

ecuația care descrie evoluția în timp a variabilelor normale va avea forma:

$i{\frac {\partial a_{k}}{\partial t}}=\omega _{k}a_{k}+{\frac {\delta {\mathcal {H}}_{int}}{\delta a_{k}^{*}}}$ ${\ displaystyle i {\ frac {\ partial a_ {k}} {\ partial t}} = \ omega _ {k} a_ {k} + {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}} _ {int} } {\ delta a_ {k} ^ {*}}}}$ ${\ displaystyle i {\ frac {\ partial a_ {k}} {\ partial t}} = \ omega _ {k} a_ {k} + {\ frac {\ delta {\ mathcal {H}} _ {int} } {\ delta a_ {k} ^ {*}}}}$ .

Prin aplicarea mai multor transformări canonice suplimentare, menite să elimine termenii de interacțiune non-rezonanți în ${\mathcal {H}}_{int}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {int}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {int}}$ , dinamica sistemului va fi dată de o ecuație având forma generică:

$i{\frac {\partial a_{k_{1}}}{\partial t}}=\omega _{k_{1}}a_{k_{1}}+\int T_{1234}a_{k_{2}}^{*}a_{k_{3}}a_{k_{4}}\delta (k_{1}+k_{2}-k_{3}-k_{4})dk_{2}dk_{3}dk_{4}$ ${\ displaystyle i {\ frac {\ partial a_ {k_ {1}}} {\ partial t}} = \ omega _ {k_ {1}} a_ {k_ {1}} + \ int T_ {1234} a_ { k_ {2}} ^ {*} a_ {k_ {3}} a_ {k_ {4}} \ delta (k_ {1} + k_ {2} -k_ {3} -k_ {4}) dk_ {2} dk_ {3} dk_ {4}}$ ${\ displaystyle i {\ frac {\ partial a_ {k_ {1}}} {\ partial t}} = \ omega _ {k_ {1}} a_ {k_ {1}} + \ int T_ {1234} a_ { k_ {2}} ^ {*} a_ {k_ {3}} a_ {k_ {4}} \ delta (k_ {1} + k_ {2} -k_ {3} -k_ {4}) dk_ {2} dk_ {3} dk_ {4}}$ .

$T_{1234}$ ${\ displaystyle T_ {1234}}$ ${\ displaystyle T_ {1234}}$ este coeficientul de interacțiune cu patru unde, în funcție de sistemul fizic considerat (și de numerele de undă $k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}$ ${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, k_ {4}}$ ${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, k_ {4}}$ ). Integrala descrie deci un proces de împrăștiere a două unde în alte două unde, în care trebuie respectată conservarea energiei și a impulsului, reprezentată de condițiile: $\omega _{k_{1}}+\omega _{k_{2}}=\omega _{k_{3}}+\omega _{k_{4}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k_ {1}} + \ omega _ {k_ {2}} = \ omega _ {k_ {3}} + \ omega _ {k_ {4}}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k_ {1}} + \ omega _ {k_ {2}} = \ omega _ {k_ {3}} + \ omega _ {k_ {4}}}$ Și $k_{1}+k_{2}=k_{3}+k_{4}$ ${\ displaystyle k_ {1} + k_ {2} = k_ {3} + k_ {4}}$ ${\ displaystyle k_ {1} + k_ {2} = k_ {3} + k_ {4}}$ .

În cazul valurilor marine, această ecuație se numește ecuația Zakharov , în onoarea lui Vladimir E. Zakharov , care a introdus-o pentru prima dată în 1968. ^[4] Valurile marine sunt un exemplu de sistem care admite interacțiunea în patru direcții unde, în timp ce acele capilare ale interacțiunii cu trei unde (adică fie o undă care se descompune în alte două, fie două unde se unesc într-una singură).

Istorie

Interacțiunile rezonante au fost considerate și descrise pentru prima dată de Henri Poincaré în secolul al XIX-lea, în analiza perturbativă a problemei cu trei corpuri . Termenii de ordinul întâi din seria de perturbații pot fi ordonați pentru a forma o matrice ; valorile proprii ale matricei corespund modurilor fundamentale ale soluției perturbate. Poincaré a observat că în multe cazuri există combinații liniare întregi ale valorilor proprii care se adaugă la zero; aceasta este interacțiunea rezonantă originală. Când este în rezonanță, transferul de energie între moduri poate menține sistemul într-o stare stabilă de blocare a fazelor. Cu toate acestea, trecerea la ordinea a doua este o provocare din diverse motive. Unul este că soluțiile degenerate sunt dificil de diagonalizat (nu există o bază vectorială unică pentru spațiul degenerat). O a doua problemă este că diferențele apar în numitorul termenilor de ordinul doi și superior în seria perturbațiilor; diferențele mici duc la faimoasa problemă a divizorului mic . ^[6] Acestea pot fi interpretate ca fiind corespunzătoare unui comportament haotic. Pentru a rezuma aproximativ, rezonanțele precise conduc la dispersie și amestecare; rezonanțele aspre duc la un comportament haotic.

Aplicații

Interacțiunile rezonante au găsit aplicații largi în multe domenii. Mai jos este o listă selectată manual cu unele dintre acestea, exemplificând marea varietate de domenii cărora le-au fost aplicate aceste idei.

În regimul de apă adâncă, nu există interacțiuni cu trei unde între undele gravitaționale de suprafață; forma relației de dispersie o interzice. Există, totuși, o interacțiune cu patru unde; descrie foarte bine interacțiunea observată experimental a undelor care se mișcă oblic (adică fără a fi nevoie să introduceți parametri sau ajustări libere). ^[7] Formalismul hamiltonian pentru valuri de apă adâncă a fost construit de Zaharov în 1968. ^[4]
Valurile necinstite sunt valuri neobișnuit de mari și neașteptate de la suprafața oceanului; se crede că pot fi implicate fenomene de propagare solitonică și, în special, interacțiunile rezonante dintre trei dintre ele. ^[8]
Valurile Rossby , cunoscute și sub numele de valuri planetare, descriu atât fluxul de jet , cât și valurile oceanului care se deplasează de-a lungul termoclinei . Există interacțiuni rezonante cu trei unde între undele Rossby și, prin urmare, acestea sunt studiate în mod obișnuit ca atare. ^[9]
S-a observat că interacțiunile rezonante ale undelor Rossby au o legătură cu ecuațiile diofantine , considerate în mod normal o temă a teoriei numerelor . ^[10]
În timpul verii, s-a observat că undele sonore de joasă frecvență se propagă anormal în apele de coastă puțin adânci. Anomaliile sunt dependente de timp, sunt anizotrope și pot prezenta o atenuare excepțional de mare. Interacțiunea rezonantă între undele acustice și undele interne ale solitonului a fost propusă ca sursă a acestor anomalii. ^[11]
În astrofizică , interacțiunile rezonante neliniare dintre deformare și oscilații, într-un disc de acumulare relativistă care se rotește în jurul unei găuri negre , au fost propuse ca origine a oscilațiilor cvasi-periodice observate în intervalul kilohertz în binare de raze X. masă mică. ^[12] Non-liniaritatea pe care o oferă cuplajul se datorează relativității generale; discurile de acumulare din gravitația newtoniană, de exemplu inelele lui Saturn , nu au acest tip particular de interacțiune rezonantă (cu toate acestea demonstrează multe alte tipuri de rezonanțe).
În timpul reintrării atmosferice a unei nave spațiale , viteza mare a vehiculului încălzește aerul într-o plasmă roșie. Această plasmă este impenetrabilă la undele radio, provocând o întrerupere a comunicațiilor radio. Interacțiunile rezonante care cuplează mecanic (acustic) nava spațială cu plasmă au fost considerate ca un posibil mijloc de a săpa un „tunel” pentru unde radio, restabilind astfel comunicațiile radio în timpul unei faze de zbor deosebit de critice. ^[13]
Interacțiunile rezonante au fost propuse ca o modalitate de a combina rezoluția spațială ridicată a microscoapelor electronice cu rezoluția temporală ridicată a laserelor , permițând microscopia de precizie atât în spațiu cât și în timp. ^[14] Interacțiunea rezonantă ar fi între electroni liberi și electroni legați de suprafața unui material.
Particulele încărcate pot fi accelerate prin interacțiunea rezonantă cu undele electromagnetice. ^[15] Particulele scalare (atomi neutri) descrise de ecuația Klein-Gordon pot fi accelerate de unde gravitaționale (cum ar fi cele emise de fuziunile găurilor negre). ^[16]
Baza fizică a bioactivității macromoleculare, recunoașterea moleculară , interacțiunea proteină-proteină și interacțiune proteină- ADN este slab înțeleasă. Se știe că aceste interacțiuni sunt electromagnetice (fiind un fenomen chimic), dar sunt altfel slab înțelese (nu sunt „doar legături de hidrogen ”). Modelul de recunoaștere rezonantă (RRM) descrie această legătură moleculară în termeni de interacțiuni rezonante. ^[17] ^[18] Într-o proteină, electronii de valență de pe diferiți aminoacizi sunt delocalizați și au o anumită libertate de mișcare în interiorul proteinei. Comportamentul lor poate fi modelat relativ ușor cu un potențial ioni-electron eficient (EIIP), unul pentru fiecare aminoacid sau nucleotidă distinctă. Rezultatul modelării oferă spectre verificabile experimental, confirmând astfel rezultatele numerice. Mai mult, modelul oferă relația de dispersie necesară din care pot fi deduse interacțiuni rezonante. Interacțiunile rezonante se obțin prin calcularea spectrelor încrucișate. Deoarece interacțiunile rezonante amestecă stări (și astfel modifică entropia ), recunoașterea ar putea continua prin forțe entropice.
Interacțiunea rezonantă dintre câmpurile electromagnetice de înaltă frecvență și celulele canceroase a fost propusă ca metodă pentru tratamentul cancerului. ^[19]

Notă

^ C. Henry McComas și Francis P. Bretherton, Interacțiunea rezonantă a undelor oceanice interne , în Journal of Geophysical Research , vol. 82, nr. 9, 1977, pp. 1397-1412, Bibcode : 1977JGR .... 82.1397M , DOI : 10.1029 / JC082i009p01397 .
^ PAEM Janssen, Despre unele consecințe ale transformării canonice în teoria hamiltoniană a valurilor de apă , în J. Fluid Mech. , vol. 637, 2009, pp. 1-44, Bibcode : 2009JFM ... 637 .... 1J , DOI : 10.1017 / S0022112009008131 .
^ Miguel Onorato, Lara Vozella și Davide Proment, O cale spre termalizare în sistemul α-Fermi - Pasta - Ulam , în Proc. Natl. Acad. Sci. SUA , vol. 112, nr. 14, 2015, pp. 4208-4213, Bibcode : 2015PNAS..112.4208O , DOI : 10.1073 / pnas.1404397112 , PMID 25805822 , arXiv : 1402.1603 .
^ ^a ^b ^c ( EN ) VE Zakharov, Stabilitatea undelor periodice de amplitudine finită pe suprafața unui fluid profund , în Journal of Applied Mechanics and Technical Physics , vol. 9, nr. 2, 1 martie 1968, pp. 190-194, DOI : 10.1007 / BF00913182 . Adus la 17 februarie 2021 .
^ PAEM Janssen, Despre unele consecințe ale transformării canonice în teoria hamiltoniană a valurilor de apă , în J. Fluid Mech. , vol. 637, 2009, pp. 1-44, Bibcode : 2009JFM ... 637 .... 1J , DOI : 10.1017 / S0022112009008131 .
^ (EN) Numitori mici , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
^ F. Bonnefoy, F. Haudin și G. Michel, Observarea interacțiunilor rezonante între undele gravitaționale de suprafață , în J. Fluid Mech. , vol. 805, 2018, pp. R3, DOI : 10.1017 / jfm.2016.576 , arXiv : 1606.09009 .
^ Șablon: Citați arXiv
^ Michael Selwyn Longuet-Higgins și Adrian Edmund Gill, Interacțiuni rezonante între unde planetare , în Proceedings of the Royal Society A , vol. 299, nr. 1456, 1967, pp. 120-144, Bibcode : 1967RSPSA.299..120L , DOI : 10.1098 / rspa.1967.0126 .
^ Nobu Kishimoto și Tsuyoshi Yoneda, O serie de observații teoretice ale unei interacțiuni rezonante a undelor Rossby , în Kodai Mathematical Journal , vol. 40, nr. 1, 2017, pp. 16-20, DOI : 10.2996 / kmj / 1490083220 , arXiv : 1409.1031 .
^ Ji-xun Zhou și Xue-zhen Zhang, Interacțiunea rezonantă a undei sonore cu solitonii interni din zona de coastă , în The Journal of the Acoustical Society of America , vol. 90, n. 4, 1991, pp. 2042-2054, Bibcode : 1991ASAJ ... 90.2042Z , DOI : 10.1121 / 1.401632 .
^ Shoji Kato, Interacțiuni rezonante Wave-Warp în discuri relativiste și QPO-uri kHz , în Publicații ale Societății Astronomice din Japonia , vol. 56, nr. 3, 2004, pp. 599-607, Bibcode : 2004PASJ ... 56..559K , DOI : 10.1093 / pasj / 56.3.599 .
^ AV Bogatskaya, NV Klenov și MV Tereshonok, Interacțiunea rezonantă a undei electromagnetice cu stratul de plasmă și depășirea problemei de întrerupere a radiocomunicațiilor , în Journal of Physics D: Applied Physics , vol. 51, nr. 18, 2018, p. 185602, Bibcode : 2018JPhD ... 51r5602B , DOI : 10.1088 / 1361-6463 / aab756 .
^ Avraham Gover și Amnon Yariv, Free-Electron - Bound-Electron Resonant Interaction , în Physical Review Letters , vol. 124, nr. 6, 2020, p. 064801, Bibcode : 2020PhRvL.124f4801G , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.124.064801 .
^ AA Vasiliev, AV Artemyev și AI Neishtadt, Interacțiunea rezonantă a particulelor încărcate cu unde electromagnetice , în Haos, complexitate și transport , 2012, pp. 16-23, DOI : 10.1142 / 9789814405645_0002 .
^ Felipe A. Asenjo și Swadesh M. Mahajan, Interacțiunea rezonantă între undele gravitaționale dispersive și particulele masive scalare , în Phys. Rev. D , vol. 101, nr. 6, 2020, p. 063010, Bibcode : 2020PhRvD.101f3010A , DOI : 10.1103 / PhysRevD.101.063010 .
^ Irena Cosic, Bioactivitate macromoleculară: este o interacțiune rezonantă între macromolecule? - Teorie și aplicații , în IEEE Trans. Biomed. Eng. , Vol. 41, nr. 12, 1994, pp. 1101-14, DOI : 10.1109 / 10.335859 , PMID 7851912 .
^ Irena Cosic, Modelul de recunoaștere rezonantă a bioactivității macromoleculare , Berlin, Birkhäuser, 1997, ISBN 3-7643-5487-9 .
^ Emanuele Calabrò și Salvatore Magazù, Interacțiunea rezonantă între câmpurile electromagnetice și proteine: un posibil punct de plecare pentru tratamentul cancerului , în Biologia și medicina electromagnetică , vol. 37, n. 2, 2018, pp. 1-14, DOI : 10.1080 / 15368378.2018.1499031 , PMID 30019948 .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] C. Henry McComas și Francis P. Bretherton, Interacțiunea rezonantă a undelor oceanice interne , în Journal of Geophysical Research , vol. 82, nr. 9, 1977, pp. 1397-1412, Bibcode : 1977JGR .... 82.1397M , DOI : 10.1029 / JC082i009p01397 .

[janssen-2] PAEM Janssen, Despre unele consecințe ale transformării canonice în teoria hamiltoniană a valurilor de apă , în J. Fluid Mech. , vol. 637, 2009, pp. 1-44, Bibcode : 2009JFM ... 637 .... 1J , DOI : 10.1017 / S0022112009008131 .

[fput-3] Miguel Onorato, Lara Vozella și Davide Proment, O cale spre termalizare în sistemul α-Fermi - Pasta - Ulam , în Proc. Natl. Acad. Sci. SUA , vol. 112, nr. 14, 2015, pp. 4208-4213, Bibcode : 2015PNAS..112.4208O , DOI : 10.1073 / pnas.1404397112 , PMID 25805822 , arXiv : 1402.1603 .

[:0-4] ( EN ) VE Zakharov, Stabilitatea undelor periodice de amplitudine finită pe suprafața unui fluid profund , în Journal of Applied Mechanics and Technical Physics , vol. 9, nr. 2, 1 martie 1968, pp. 190-194, DOI : 10.1007 / BF00913182 . Adus la 17 februarie 2021 .

[janssen2-5] PAEM Janssen, Despre unele consecințe ale transformării canonice în teoria hamiltoniană a valurilor de apă , în J. Fluid Mech. , vol. 637, 2009, pp. 1-44, Bibcode : 2009JFM ... 637 .... 1J , DOI : 10.1017 / S0022112009008131 .

[6] (EN) Numitori mici , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

[7] F. Bonnefoy, F. Haudin și G. Michel, Observarea interacțiunilor rezonante între undele gravitaționale de suprafață , în J. Fluid Mech. , vol. 805, 2018, pp. R3, DOI : 10.1017 / jfm.2016.576 , arXiv : 1606.09009 .

[8] Șablon: Citați arXiv

[9] Michael Selwyn Longuet-Higgins și Adrian Edmund Gill, Interacțiuni rezonante între unde planetare , în Proceedings of the Royal Society A , vol. 299, nr. 1456, 1967, pp. 120-144, Bibcode : 1967RSPSA.299..120L , DOI : 10.1098 / rspa.1967.0126 .

[10] Nobu Kishimoto și Tsuyoshi Yoneda, O serie de observații teoretice ale unei interacțiuni rezonante a undelor Rossby , în Kodai Mathematical Journal , vol. 40, nr. 1, 2017, pp. 16-20, DOI : 10.2996 / kmj / 1490083220 , arXiv : 1409.1031 .

[11] Ji-xun Zhou și Xue-zhen Zhang, Interacțiunea rezonantă a undei sonore cu solitonii interni din zona de coastă , în The Journal of the Acoustical Society of America , vol. 90, n. 4, 1991, pp. 2042-2054, Bibcode : 1991ASAJ ... 90.2042Z , DOI : 10.1121 / 1.401632 .

[12] Shoji Kato, Interacțiuni rezonante Wave-Warp în discuri relativiste și QPO-uri kHz , în Publicații ale Societății Astronomice din Japonia , vol. 56, nr. 3, 2004, pp. 599-607, Bibcode : 2004PASJ ... 56..559K , DOI : 10.1093 / pasj / 56.3.599 .

[13] AV Bogatskaya, NV Klenov și MV Tereshonok, Interacțiunea rezonantă a undei electromagnetice cu stratul de plasmă și depășirea problemei de întrerupere a radiocomunicațiilor , în Journal of Physics D: Applied Physics , vol. 51, nr. 18, 2018, p. 185602, Bibcode : 2018JPhD ... 51r5602B , DOI : 10.1088 / 1361-6463 / aab756 .

[14] Avraham Gover și Amnon Yariv, Free-Electron - Bound-Electron Resonant Interaction , în Physical Review Letters , vol. 124, nr. 6, 2020, p. 064801, Bibcode : 2020PhRvL.124f4801G , DOI : 10.1103 / PhysRevLett.124.064801 .

[15] AA Vasiliev, AV Artemyev și AI Neishtadt, Interacțiunea rezonantă a particulelor încărcate cu unde electromagnetice , în Haos, complexitate și transport , 2012, pp. 16-23, DOI : 10.1142 / 9789814405645_0002 .

[16] Felipe A. Asenjo și Swadesh M. Mahajan, Interacțiunea rezonantă între undele gravitaționale dispersive și particulele masive scalare , în Phys. Rev. D , vol. 101, nr. 6, 2020, p. 063010, Bibcode : 2020PhRvD.101f3010A , DOI : 10.1103 / PhysRevD.101.063010 .

[17] Irena Cosic, Bioactivitate macromoleculară: este o interacțiune rezonantă între macromolecule? - Teorie și aplicații , în IEEE Trans. Biomed. Eng. , Vol. 41, nr. 12, 1994, pp. 1101-14, DOI : 10.1109 / 10.335859 , PMID 7851912 .

[18] Irena Cosic, Modelul de recunoaștere rezonantă a bioactivității macromoleculare , Berlin, Birkhäuser, 1997, ISBN 3-7643-5487-9 .

[19] Emanuele Calabrò și Salvatore Magazù, Interacțiunea rezonantă între câmpurile electromagnetice și proteine: un posibil punct de plecare pentru tratamentul cancerului , în Biologia și medicina electromagnetică , vol. 37, n. 2, 2018, pp. 1-14, DOI : 10.1080 / 15368378.2018.1499031 , PMID 30019948 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]