Interferență (fizică)

O interferență , în fizică , este un fenomen datorat suprapunerii, într-un punct al spațiului , a două sau mai multe unde . Ceea ce se observă este că intensitatea (sau amplitudinea) undei rezultate în acel punct poate fi diferită în raport cu suma intensităților asociate cu fiecare undă de pornire unică; în special, poate varia între un minim, în corespondență cu care nu se observă niciun fenomen de undă, și un maxim care, în general, nu coincide cu suma intensităților.

Termenul este de obicei folosit pentru a vorbi de interferență între două unde coerente , care provin de obicei din aceeași sursă. Fenomenele de interferență care sunt observate zilnic pot fi, de exemplu, cele referitoare la undele care se formează pe un corp de apă (a se vedea figura din dreapta) sau bătăile dintre undele sonore .

Interferența a două unde sinusoidale la suprafața unui lichid

fundal

Același subiect în detaliu: teoria undelor luminii .

Isaac Newton , din observarea umbrelor create de obiectele lovite de lumină , a emis ipoteza că era compus din corpusculi care erau blocați de suprafața iluminată a acelor corpuri. Conjectura lui Newton a rezistat o vreme până când Thomas Young a demonstrat în celebrul său experiment din 1801 , primul în care s-a evidențiat fenomenul interferenței luminii, natura undelor luminii, subminând astfel teoria corpusculară care, totuși, deja la vremea lui Newton. , începea să fie falsificat (însuși fizicianul englez, de exemplu, nu a putut explica fenomenul inelelor lui Newton , care nu poate fi înțeles decât recurgând la modele de unde). Natura dublă a „undei” și „cuantului” luminii a fost ulterior constatată prin studii asupra corpului negru , asupra efectului Compton , asupra efectului fotoelectric și asupra absorbției radiației de către materie.

Experimentul lui Young a fost repetat în 1961 , de data aceasta folosind nu radiații electromagnetice ci fascicule de electroni ; de asemenea, în acel caz a fost observat fenomenul de interferență, confirmând formalismul acum testat al mecanicii cuantice și în special al așa-numitei ipoteze a dualismului undă-particulă .

Descriere generala

În general, se spune că interferența este constructivă atunci când intensitatea rezultată este mai mare decât cea a oricărei intensități originale și distructivă în caz contrar.

Interferența este un efect care implică exclusiv fenomene de undă: cele referitoare la transportul materiei, cum ar fi conducerea unui fluid în interiorul unei conducte, nu sunt afectate de interferență. În acest context, de fapt, intensitatea este definită de fluxul de materie printr-o suprafață dată și, după cum se știe, cantitățile de materie transportate de două fluxuri de particule care se întâlnesc sunt adăugate împreună (de exemplu, fluxul unui râu este egală cu suma fluxurilor tuturor afluenților săi care sunt în amonte, plus cea a sursei).

Interferențe constructive și distructive

Diferența de fază definită ${\textstyle \delta ={\frac {2\pi }{\lambda }}d\sin {\theta }}$ ${\ textstyle \ delta = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} d \ sin {\ theta}}$ ${\ textstyle \ delta = {\ frac {2 \ pi} {\ lambda}} d \ sin {\ theta}}$ , cu ${\textstyle d}$ ${\ textstyle d}$ ${\ textstyle d}$ distanța dintre surse e ${\textstyle \lambda }$ ${\ textstyle \ lambda}$ ${\ textstyle \ lambda}$ lungimea de undă, interferența este total constructivă dacă se produce ${\textstyle {\frac {\delta }{2}}=m\pi }$ ${\ textstyle {\ frac {\ delta} {2}} = m \ pi}$ ${\ textstyle {\ frac {\ delta} {2}} = m \ pi}$ , acesta este ${\textstyle d\sin {\theta }={\frac {2m\lambda }{2}}}$ ${\ textstyle d \ sin {\ theta} = {\ frac {2m \ lambda} {2}}}$ ${\ textstyle d \ sin {\ theta} = {\ frac {2m \ lambda} {2}}}$ (un număr par de ori jumătate de lungime de undă), în timp ce este total distructiv dacă se întâmplă asta ${\textstyle {\frac {\delta }{2}}={\frac {(2m+1)\pi }{2}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ delta} {2}} = {\ frac {(2m + 1) \ pi} {2}}}$ ${\ textstyle {\ frac {\ delta} {2}} = {\ frac {(2m + 1) \ pi} {2}}}$ , acesta este ${\textstyle d\sin {\theta }={\frac {(2m+1)\lambda }{2}}}$ ${\ textstyle d \ sin {\ theta} = {\ frac {(2m + 1) \ lambda} {2}}}$ ${\ textstyle d \ sin {\ theta} = {\ frac {(2m + 1) \ lambda} {2}}}$ (un număr impar de ori jumătate de lungime de undă).

Interferența de difracție

Același subiect în detaliu: Difracție (fizică) .

Figura arată o metodă utilizată pentru a produce unde de lumină care interferează între ele. Este un plan pe care au fost realizate două fante: o undă plană, care lovește suprafața, este parțial protejată. Conform principiului lui Huygens, cele două fante, dacă sunt de dimensiuni suficiente, mici în comparație cu lungimea de undă a radiației incidente, la o distanță mare de ecran se comportă ca surse punctuale de lumină coerentă, adică în fază una cu cealaltă.

Undele sferice emise de fante vor interfera: dacă punem o placă fotografică dincolo de ecran, vom observa pe ea o serie alternativă de benzi iluminate și întunecate, numite franjuri de interferență , corespunzătoare interferenței maxime și minime.

Discursul poate fi extins la cazul general în care există mai multe deschideri, dar mai întâi să discutăm cel special.

Calculul matematic

Valurile și împrejurimile

Figura de interferență produsă de două surse punctuale coerente. Rețineți alternanța franjurilor deschise și întunecate

Două unde generate de surse cu frecvențe diferite nu dau naștere la interferențe, deoarece oscilațiile cu perioade diferite sunt decuplate în putere . Să luăm apoi în considerare cazul a două unde suprapuse cu aceeași lungime de undă .

Cazurile extreme sunt reprezentate în figură: în prima, undele sunt în acord de fază, adică se suprapun exact dând naștere unei unde de amplitudine egală cu suma amplitudinilor unice, în timp ce în a doua sunt în opoziție de fază și prin urmare, anulați-vă reciproc. Vorbim apoi de interferență total constructivă și de interferență total distructivă, în funcție de defazarea (zero în prima, $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ In secunda). În general, se întâmplă cu ușurință că suprapunerea a două unde de amplitudine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și defazat de $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ generează o nouă undă de amplitudine egală cu

2A\cos {\frac {\delta }{2}}

{\ displaystyle 2A \ cos {\ frac {\ delta} {2}}}

{\ displaystyle 2A \ cos {\ frac {\ delta} {2}}}

În funcție de relațiile dintre undele interferente, este totuși posibil ca deplasările de fază să depindă de coordonatele spațiale. Prin urmare, va fi posibil să se observe regiunile în care interferența este total constructivă (numită interferență maximă , corespunzătoare franjurilor luminoase luminoase) alternând cu altele în care interferența este total distructivă (numită interferență minimă , corespunzătoare franjurilor negre închise).

Amplitudinea acestor regiuni este legată atât de dispunerea geometrică a surselor, cât și de lungimea de undă; este ușor de înțeles că cu cât lungimea de undă este mai mică, cu atât vor fi mai mici și mai ritmice aceste franjuri. Acesta este unul dintre motivele pentru care nu este posibil să se observe zilnic fenomene de interferență a luminii, dar nu este singurul; cealaltă este legată de decoerența surselor. De fapt, cele mai frecvente surse de lumină ( soarele , becurile incandescente și așa mai departe) emit diferite pachete de radiații care se suprapun într-o manieră complet aleatorie, în funcție de momentul în care sunt generate: într-o astfel de situație, prin urmare, distribuția franjurilor va varia atât de rapid încât nu poate fi urmată de ochiul uman (datorită persistenței imaginilor pe retină ), care, prin urmare, va observa doar o distribuție regulată a luminozității. Singura modalitate de a observa aceste fenomene este de a avea două sau mai multe surse coerente, de exemplu prin exploatarea fenomenului difracției, așa cum a făcut Young în experimentul său cu dublă fantă.

Experiența celor două fante

Interferență cu două fante

În această secțiune luăm în considerare cazul a două fante; pentru simplitate, problema va fi tratată în mod limitat la o secțiune plană ortogonală a ecranului și care trece prin cele două deschideri (a se vedea figura de la sfârșitul paragrafului).

Ceea ce este interesant în scopul discuției este modul în care intensitatea luminii este distribuită pe placă și, prin urmare, înțelegeți modul în care aceasta variază între maxime și minime. Condiția câmpului îndepărtat , necesară pentru a putea trata cele două fante ca punctiforme, ne permite să afirmăm că vectorii $\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r_ {1}}, \ mathbf {r_ {2}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r_ {1}}, \ mathbf {r_ {2}}}$ unirea celor două deschideri cu punctul P al plăcii în care urmează să fie evaluată intensitatea poate fi considerată paralelă în apropierea fantelor. Diferența de cale optică, adică lungimea suplimentară pe care o parcurge prima undă față de a doua înainte de a ajunge la P , poate fi, prin urmare, aproximată după cum urmează:

|r_{1}-r_{2}|=d\,\sin \alpha

{\ displaystyle | r_ {1} -r_ {2} | = d \, \ sin \ alpha}

{\ displaystyle | r_ {1} -r_ {2} | = d \, \ sin \ alpha}

,

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este unghiul dintre cei doi vectori și normalul de pe ecran e $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ distanța dintre deschideri. Luând acum în considerare legile care descriu tendința, de exemplu a câmpului electric , pentru cele două unde care pleacă din fante avem:

E_{1}=E_{0}\cos(kr_{1}-\omega t)\qquad E_{2}=E_{0}\cos(kr_{2}-\omega t)

{\ displaystyle E_ {1} = E_ {0} \ cos (kr_ {1} - \ omega t) \ qquad E_ {2} = E_ {0} \ cos (kr_ {2} - \ omega t)}

{\ displaystyle E_ {1} = E_ {0} \ cos (kr_ {1} - \ omega t) \ qquad E_ {2} = E_ {0} \ cos (kr_ {2} - \ omega t)}

,

fiind $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {k}$ numărul de undă , $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ pulsația e $E_{0}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$ lățimea câmpului care afectează ecranul. Interferența celor două perturbații în P , de exemplu în $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ , se deduce imediat din formulele de prostafereză :

E=E_{1}+E_{2}=2E_{0}\cos {\frac {k(r_{1}+r_{2})}{2}}\cos {\frac {k(r_{1}-r_{2})}{2}}\approx 2E_{0}\cos {\frac {k(r_{1}+r_{2})}{2}}\cos {\frac {kd\,\sin \alpha }{2}}

{\ displaystyle E = E_ {1} + E_ {2} = 2E_ {0} \ cos {\ frac {k (r_ {1} + r_ {2})} {2}} \ cos {\ frac {k ( r_ {1} -r_ {2})} {2}} \ approx 2E_ {0} \ cos {\ frac {k (r_ {1} + r_ {2})} {2}} \ cos {\ frac { kd \, \ sin \ alpha} {2}}}

{\ displaystyle E = E_ {1} + E_ {2} = 2E_ {0} \ cos {\ frac {k (r_ {1} + r_ {2})} {2}} \ cos {\ frac {k ( r_ {1} -r_ {2})} {2}} \ approx 2E_ {0} \ cos {\ frac {k (r_ {1} + r_ {2})} {2}} \ cos {\ frac { kd \, \ sin \ alpha} {2}}}

.

Din moment ce poate fi pus cu siguranță $r_{1}+r_{2}\approx 2r_{1}$ ${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2} \ approx 2r_ {1}}$ ${\ displaystyle r_ {1} + r_ {2} \ approx 2r_ {1}}$ , veți avea în cele din urmă:

E=2E_{1}\cos {\frac {kd\,\sin \alpha }{2}}

{\ displaystyle E = 2E_ {1} \ cos {\ frac {kd \, \ sin \ alpha} {2}}}

{\ displaystyle E = 2E_ {1} \ cos {\ frac {kd \, \ sin \ alpha} {2}}}

.

Modelul de interferență este legat de intensitatea câmpului incident pe placă, care este direct proporțională cu pătratul amplitudinii câmpului electric. Prin urmare

I_{1}\propto E_{1}^{2}\,,\,I\propto E^{2}\quad \Rightarrow \quad I=4I_{1}\cos ^{2}{\frac {kd\sin \alpha }{2}}

{\ displaystyle I_ {1} \ propto E_ {1} ^ {2} \ ,, \, I \ propto E ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad I = 4I_ {1} \ cos ^ {2} {\ frac {kd \ sin \ alpha} {2}}}

{\ displaystyle I_ {1} \ propto E_ {1} ^ {2} \ ,, \, I \ propto E ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad I = 4I_ {1} \ cos ^ {2} {\ frac {kd \ sin \ alpha} {2}}}

relația exprimă intensitatea în funcție de unghi (sau, dacă preferați, în funcție de diferența de cale optică) și intensitatea undei care afectează ecranul. Evident, când diferența de cale optică este egală cu un multiplu întreg al lungimii de undă $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$

\sin \alpha ={\frac {n\lambda }{d}}\qquad n=0,\pm 1,\pm 2,...

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {n \ lambda} {d}} \ qquad n = 0, \ pm 1, \ pm 2, ...}

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {n \ lambda} {d}} \ qquad n = 0, \ pm 1, \ pm 2, ...}

cele două câmpuri interferează în fază, interferența este constructivă și se observă un maxim în figura de interferență; invers, atunci când această diferență coincide cu un multiplu impar de jumătate de lungime de undă.

Schema simplificată a aparatelor cu fanta dublă și diferența de cale optică între cele două căi

\sin \alpha ={\frac {n\lambda }{2d}}\qquad n=\pm 1,\pm 3,...

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {n \ lambda} {2d}} \ qquad n = \ pm 1, \ pm 3, ...}

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {n \ lambda} {2d}} \ qquad n = \ pm 1, \ pm 3, ...}

perturbările interferează în contrafază, interferența este distructivă și se observă o intensitate zero. În ceea ce privește coordonata $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ pe placă, calculată din centru, considerând că, cel puțin pentru unghiuri mici

x=L\tan \alpha \approx L\sin \alpha

{\ displaystyle x = L \ tan \ alpha \ approx L \ sin \ alpha}

{\ displaystyle x = L \ tan \ alpha \ approx L \ sin \ alpha}

unde este $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este distanța dintre ecran și placă, prin urmare se poate afirma că distanța dintre două maxime consecutive (sau minime) este dată de:

\Delta x\approx L{\frac {\lambda }{d}}

{\ displaystyle \ Delta x \ approx L {\ frac {\ lambda} {d}}}

{\ displaystyle \ Delta x \ approx L {\ frac {\ lambda} {d}}}

În concluzie, distribuția intensității pe ecran nu este uniformă, ci se manifestă prin alternarea benzilor luminoase și întunecate. Această redistribuire a intensității respectă principiul conservării energiei , în sensul că puterea incidentă de pe placă coincide exact cu cea care trece prin cele două fante. Grosimea benzilor, în acest caz aceeași pentru toate (întotdeauna pentru unghiurile mici), va fi egală cu jumătate din $\Delta x$ ${\ displaystyle \ Delta x}$ $\ Delta x$ ; evident, o anumită nuanță va fi observată și la marginile aceleiași.

Extensie la un număr generic de sloturi

Acum, să presupunem că aveți o grilă obișnuită formată dintr-un număr foarte mare $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ de fante, întotdeauna distanțate una de cealaltă de $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ . Metoda pe care o vom adopta aici este cea a fazorilor , mai convenabilă de utilizat atunci când vine vorba de adăugarea contribuțiilor a mai mult de două surse; în acest context, fazorul asociat este un vector cu un modul egal cu cel al câmpului electric și o fază egală cu componenta spațială $k r$ ${\ displaystyle kr}$ ${\ displaystyle kr}$ . Suma câmpurilor electrice este reprezentată după cum urmează:

E_{0}{\mbox{e}}^{ikr_{1}}+E_{0}{\mbox{e}}^{ikr_{2}}+\ldots +E_{0}{\mbox{e}}^{ikr_{N}}=

{\ displaystyle E_ {0} {\ mbox {e}} ^ {ikr_ {1}} + E_ {0} {\ mbox {e}} ^ {ikr_ {2}} + \ ldots + E_ {0} {\ mbox {e}} ^ {ikr_ {N}} =}

{\ displaystyle E_ {0} {\ mbox {e}} ^ {ikr_ {1}} + E_ {0} {\ mbox {e}} ^ {ikr_ {2}} + \ ldots + E_ {0} {\ mbox {e}} ^ {ikr_ {N}} =}

=E_{0}{\mbox{e}}^{ikr_{1}}(1+{e}^{ikd\sin \alpha }+\ldots +{\mbox{e}}^{ik(N-1)d\sin \alpha })\approx E_{1}\int _{0}^{N}{e}^{iknd\sin \alpha }{\mbox{d}}n

{\ displaystyle = E_ {0} {\ mbox {e}} ^ {ikr_ {1}} (1+ {e} ^ {ikd \ sin \ alpha} + \ ldots + {\ mbox {e}} ^ {ik (N-1) d \ sin \ alpha}) \ approx E_ {1} \ int _ {0} ^ {N} {e} ^ {iknd \ sin \ alpha} {\ mbox {d}} n}

{\ displaystyle = E_ {0} {\ mbox {e}} ^ {ikr_ {1}} (1+ {e} ^ {ikd \ sin \ alpha} + \ ldots + {\ mbox {e}} ^ {ik (N-1) d \ sin \ alpha}) \ approx E_ {1} \ int _ {0} ^ {N} {e} ^ {iknd \ sin \ alpha} {\ mbox {d}} n}

[1]

presupunând că distanța $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este foarte mic în comparație cu lungimea de undă, atât de mult încât diferența de cale optică a $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ - al treilea fazor față de primul, $nd\sin \alpha$ ${\ displaystyle nd \ sin \ alpha}$ ${\ displaystyle nd \ sin \ alpha}$ , ca variabilă continuă. Rezultatul integrării este:

E=E_{1}\,{\frac {{e}^{ikNd\sin \alpha }-1}{ikd\sin \alpha }}=E_{1}\,{\frac {{e}^{\frac {ikNd\sin \alpha }{2}}}{\frac {kd\sin \alpha }{2}}}{\frac {{e}^{\frac {ikNd\sin \alpha }{2}}-{e}^{-{\frac {ikNd\sin \alpha }{2}}}}{2i}}

{\ displaystyle E = E_ {1} \, {\ frac {{e} ^ {ikNd \ sin \ alpha} -1} {ikd \ sin \ alpha}} = E_ {1} \, {\ frac {{e } ^ {\ frac {ikNd \ sin \ alpha} {2}}} {\ frac {kd \ sin \ alpha} {2}}} {\ frac {{e} ^ {\ frac {ikNd \ sin \ alpha} {2}} - {e} ^ {- {\ frac {ikNd \ sin \ alpha} {2}}}} {2i}}}

{\ displaystyle E = E_ {1} \, {\ frac {{e} ^ {ikNd \ sin \ alpha} -1} {ikd \ sin \ alpha}} = E_ {1} \, {\ frac {{e } ^ {\ frac {ikNd \ sin \ alpha} {2}}} {\ frac {kd \ sin \ alpha} {2}}} {\ frac {{e} ^ {\ frac {ikNd \ sin \ alpha} {2}} - {e} ^ {- {\ frac {ikNd \ sin \ alpha} {2}}}} {2i}}}

.

Folosind formula lui Euler obținem:

Model de interferență cu două fante

Interferență produsă de o rețea de surse, pentru lungimi de undă mici. Maximele principale și secundare sunt clar vizibile

E=E_{1}\,{\frac {{e}^{\frac {ikNd\sin \alpha }{2}}}{\frac {kd\sin \alpha }{2}}}\sin \left({\frac {kNd\sin \alpha }{2}}\right)

{\ displaystyle E = E_ {1} \, {\ frac {{e} ^ {\ frac {ikNd \ sin \ alpha} {2}}} {\ frac {kd \ sin \ alpha} {2}}} \ sin \ left ({\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}} \ right)}

{\ displaystyle E = E_ {1} \, {\ frac {{e} ^ {\ frac {ikNd \ sin \ alpha} {2}}} {\ frac {kd \ sin \ alpha} {2}}} \ sin \ left ({\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}} \ right)}

și în cele din urmă, deoarece intensitatea este pur și simplu proporțională cu modulul pătrat al fazorului

I=I_{1}N^{2}\,{\left[{\frac {\sin \left({\frac {kNd\sin \alpha }{2}}\right)}{\frac {kNd\sin \alpha }{2}}}\right]}^{2}

{\ displaystyle I = I_ {1} N ^ {2} \, {\ left [{\ frac {\ sin \ left ({\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}} \ right)} {\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}}} \ right]} ^ {2}}

{\ displaystyle I = I_ {1} N ^ {2} \, {\ left [{\ frac {\ sin \ left ({\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}} \ right)} {\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}}} \ right]} ^ {2}}

.

Prin urmare, modelul de difracție coincide cu pătratul unui sinus cardinal în funcție de variabilă ${\frac {Nd\sin \alpha }{\lambda }}$ ${\ displaystyle {\ frac {Nd \ sin \ alpha} {\ lambda}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {Nd \ sin \ alpha} {\ lambda}}}$ .

Nulele de intensitate corespund valorilor $\sin \alpha$ ${\ displaystyle \ sin \ alpha}$ ${\ displaystyle \ sin \ alpha}$ pentru care această cantitate este un număr întreg $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ nu nul, adică

\sin \alpha =m{\frac {\lambda }{Nd}}\;,\quad m=\pm 1,\pm 2\ldots

{\ displaystyle \ sin \ alpha = m {\ frac {\ lambda} {Nd}} \ ;, \ quad m = \ pm 1, \ pm 2 \ ldots}

{\ displaystyle \ sin \ alpha = m {\ frac {\ lambda} {Nd}} \ ;, \ quad m = \ pm 1, \ pm 2 \ ldots}

,

în timp ce maximele sunt intercalate între diferitele minime într-un fel; vârful intensității este evident situat în centru, adică pentru $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ nulă.

Extinderea la cazul tridimensional este evidentă, necesită doar observarea faptului că diferența de cale optică este dată de proiecția vectorului $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf {x}$ care alătură prima deschidere cu a doua pe versor $\mathbf {\hat {u}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {u}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {u}}}$ care identifică poziția lui P ; prin urmare, în general:

E=E_{1}\int _{S}{e}^{i\mathbf {kx} }{\mbox{d}}\mathbf {x}

{\ displaystyle E = E_ {1} \ int _ {S} {e} ^ {i \ mathbf {kx}} {\ mbox {d}} \ mathbf {x}}

{\ displaystyle E = E_ {1} \ int _ {S} {e} ^ {i \ mathbf {kx}} {\ mbox {d}} \ mathbf {x}}

,

unde S este suprafața ocupată de grila e $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {k}$ vectorul $k\mathbf {\hat {u}}$ ${\ displaystyle k \ mathbf {\ hat {u}}}$ ${\ displaystyle k \ mathbf {\ hat {u}}}$ . Prin urmare, prezența rețelei nu face altceva decât să efectueze transformarea Fourier trece-jos a desenului (în funcție de $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {k}$ ), cu „frecvență de tăiere” dependentă de lungimea de undă.

Analiza lungimii de undă

O analiză mai precisă, valabilă pentru orice număr de fante și în special pentru o lungime de undă generică, implică utilizarea seriei geometrice pentru a exprima [1]:

E=E_{1}{\frac {1-{e}^{ikNd\sin \alpha }}{1-{e}^{ikd\sin \alpha }}}=E_{1}\,{\frac {{e}^{\frac {ikNd\sin \alpha }{2}}}{{e}^{\frac {ikd\sin \alpha }{2}}}}{\frac {\sin \left({\frac {kNd\sin \alpha }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {kd\sin \alpha }{2}}\right)}}

{\ displaystyle E = E_ {1} {\ frac {1- {e} ^ {ikNd \ sin \ alpha}} {1- {e} ^ {ikd \ sin \ alpha}}} = E_ {1} \, {\ frac {{e} ^ {\ frac {ikNd \ sin \ alpha} {2}}} {{e} ^ {\ frac {ikd \ sin \ alpha} {2}}}} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}} \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {kd \ sin \ alpha} {2}} \ right)}}}

{\ displaystyle E = E_ {1} {\ frac {1- {e} ^ {ikNd \ sin \ alpha}} {1- {e} ^ {ikd \ sin \ alpha}}} = E_ {1} \, {\ frac {{e} ^ {\ frac {ikNd \ sin \ alpha} {2}}} {{e} ^ {\ frac {ikd \ sin \ alpha} {2}}}} {\ frac {\ sin \ left ({\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}} \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {kd \ sin \ alpha} {2}} \ right)}}}

.

Prin această relație, se obține o estimare mai bună pentru figura de interferență:

I=I_{1}N^{2}\,{\left[{\frac {\sin \left({\frac {kNd\sin \alpha }{2}}\right)}{N\sin \left({\frac {kd\sin \alpha }{2}}\right)}}\right]}^{2}

{\ displaystyle I = I_ {1} N ^ {2} \, {\ left [{\ frac {\ sin \ left ({\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}} \ right)} {N \ sin \ left ({\ frac {kd \ sin \ alpha} {2}} \ right)}} \ right]} ^ {2}}

{\ displaystyle I = I_ {1} N ^ {2} \, {\ left [{\ frac {\ sin \ left ({\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}} \ right)} {N \ sin \ left ({\ frac {kd \ sin \ alpha} {2}} \ right)}} \ right]} ^ {2}}

,

care se reduce la precedenta pentru lungimi de unda mari; lungimile de undă mici au, prin urmare, efectul de a crea ondulații în învelișul modelului , care nu va mai avea o tendință strict descrescătoare, dar de fapt va scădea prin oscilare.

Condiția pentru principalele maxime de intensitate, care coincid cu maximele locale ale plicului, este aceea pentru care ambii sâni se anulează reciproc.

{\frac {kd\sin \alpha }{2}}=m\pi \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha =m{\frac {\lambda }{d}}\;,\quad m\in Z

{\ displaystyle {\ frac {kd \ sin \ alpha} {2}} = m \ pi \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin \ alpha = m {\ frac {\ lambda} {d}} \ ;, \ quad m \ în Z}

{\ displaystyle {\ frac {kd \ sin \ alpha} {2}} = m \ pi \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin \ alpha = m {\ frac {\ lambda} {d}} \ ;, \ quad m \ în Z}

(rețineți că condiția este independentă de numărul de fante), în timp ce celelalte maxime, numite secundare, sunt obținute în punctele în care sinusul de frecvență multiplă, în numărător, este maxim în modul și cel din numitor este non -zero:

{\frac {kNd\sin \alpha }{2}}=m\pi \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha ={\frac {m}{N}}{\frac {\lambda }{d}},\quad m\in Z

{\ displaystyle {\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}} = m \ pi \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin \ alpha = {\ frac {m} {N}} {\ frac {\ lambda} { d}}, \ quad m \ în Z}

{\ displaystyle {\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}} = m \ pi \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin \ alpha = {\ frac {m} {N}} {\ frac {\ lambda} { d}}, \ quad m \ în Z}

excluzând punctele în care

m

{\ displaystyle m}

m

este multiplu de

Nu.

{\ displaystyle N}

Nu.

să nu includă maxime majore.

În cele din urmă, pentru minime este necesar să alegeți anularea numărătorului, cu excepția punctelor corespunzătoare condiției maxime principale

{\frac {kNd\sin \alpha }{2}}=\left(m+{\frac {1}{2}}\right)\pi \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha ={\frac {(m+{\frac {1}{2}})}{N}}{\frac {\lambda }{d}},\quad \ m\in Z

{\ displaystyle {\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}} = \ left (m + {\ frac {1} {2}} \ right) \ pi \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin \ alpha = { \ frac {(m + {\ frac {1} {2}})} {N}} {\ frac {\ lambda} {d}}, \ quad \ m \ în Z}

{\ displaystyle {\ frac {kNd \ sin \ alpha} {2}} = \ left (m + {\ frac {1} {2}} \ right) \ pi \ quad \ Rightarrow \ quad \ sin \ alpha = { \ frac {(m + {\ frac {1} {2}})} {N}} {\ frac {\ lambda} {d}}, \ quad \ m \ în Z}

.

Extinderea la cazul multidimensional este analogă cu cea dezvoltată mai sus.

Efectele difracției

Același subiect în detaliu: Difracția și principiul Huygens-Fresnel .

Conform principiului lui Huygens, difracția poate fi, de asemenea, referită la o problemă de interferență. Aproximările făcute mai sus tratează fante ca surse punctuale, dar în realitate extensia lor influențează modelul într-un fel, în special pentru lungimi de undă mici; în esență, efectului de interferență datorat interacțiunii reciproce între o fantă și celelalte, este necesar să adăugați cel indus de fiecare fantă.

Starea intensității maxime pentru două fante adiacente, la distanță $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , Și:

\sin \alpha ={\frac {m\lambda }{d}}\;,\quad m=0,\pm 1,\pm 2\ldots

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {m \ lambda} {d}} \ ;, \ quad m = 0, \ pm 1, \ pm 2 \ ldots}

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {m \ lambda} {d}} \ ;, \ quad m = 0, \ pm 1, \ pm 2 \ ldots}

,

în timp ce condiția de interferență distructivă pentru fanta unică este dată de:

\sin \alpha ={\frac {m\lambda }{a}}\;,\quad m=\pm 1,\pm 2\ldots

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {m \ lambda} {a}} \ ;, \ quad m = \ pm 1, \ pm 2 \ ldots}

{\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {m \ lambda} {a}} \ ;, \ quad m = \ pm 1, \ pm 2 \ ldots}

,

unde, în cazul unidimensional, $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este lățimea fantei: de fapt, minimul apare dacă și numai dacă la fiecare punct al fantei există altul care produce o undă în contrafază cu cea produsă de cea anterioară (cu o diferență de cale optică egală cu jumătate lungimea undei, deci) și, evident, acest lucru este posibil dacă și numai dacă distanța dintre aceste două puncte coincide cu jumătate din lățimea fantei. Maximele absente, de exemplu, pot fi deduse prin combinarea celor două formule:

\sin \alpha ^{*}={\frac {m_{1}\lambda }{d}}={\frac {m_{2}\lambda }{a}}\;\Leftrightarrow \;\sin \alpha ^{*}={\frac {m\lambda }{a}}\;,\quad m=\pm 1,\pm 2\ldots

{\ displaystyle \ sin \ alpha ^ {*} = {\ frac {m_ {1} \ lambda} {d}} = {\ frac {m_ {2} \ lambda} {a}} \; \ Leftrightarrow \; \ sin \ alpha ^ {*} = {\ frac {m \ lambda} {a}} \ ;, \ quad m = \ pm 1, \ pm 2 \ ldots}

{\ displaystyle \ sin \ alpha ^ {*} = {\ frac {m_ {1} \ lambda} {d}} = {\ frac {m_ {2} \ lambda} {a}} \; \ Leftrightarrow \; \ sin \ alpha ^ {*} = {\ frac {m \ lambda} {a}} \ ;, \ quad m = \ pm 1, \ pm 2 \ ldots}

.

Pentru lungimi de undă foarte mari comparativ cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , primul maxim absent se găsește la infinit, așa cum era de așteptat, deoarece efectele de interferență internă ale fantelor simple sunt neglijabile.

Cazul multidimensional este mai complex de tratat; un exemplu este cel al discului Airy , care reprezintă modelul de difracție produs de o deschidere circulară lovită de o radiație cu o lungime de undă comparabilă cu diametrul fantei sau mai mică.

Bibliografie

Claudio Oleari, Andrea Peri. Carduri optice . 2006

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „interferență ”
Wikiversitatea conține resurse privind interferențele
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre interferențe

linkuri externe

( EN ) Interference , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 30806

Portalul de fizică

Portal de știință și tehnologie

V · D · M Mecanica cuantică
Formalismul matematic	Notație Bra-KET · Hilbert Space · postulate ale mecanicii cuantice · utilizator comun · perturbațiilor (fizică)
Fundamente și principii	Heisenberg Principiul incertitudinii · Complementaritatea Principiul · Funcția de undă · colapsul funcției de undă · Copenhaga Interpretare · Spin · Teoria cuantică veche · Interpretarea Bohm
Operatori	Pulsul Operator · Poziția operatorului · Operatorul Hamiltoniene · Operator momentului cinetic · densitatea operatorului
Formulări	Mecanica Wave · Mecanica matricelor · Integral pe căile
Ecuații	Ecuația Dirac · ecuația Klein-Gordon · ecuația Pauli · ecuația Schrödinger
Paradoxuri	Schroedinger Cat · EPR paradox · cuantice Suicide