Întreg acoperă-mă

În matematică , în numere întregi a și b sunt numite prime între ele (fie prim - unul cu altul sau relativ prim) , dacă și numai dacă acestea nu au nici o comună împărțitor , cu excepția 1 și -1 sau, echivalent, în cazul lor cea mai mare divizor comun este 1.

De exemplu, 6 și 35 sunt coprimă, dar 6 și 27 nu, deoarece ambele sunt, de asemenea, divizibile cu 3. 1 este coprimă cu orice număr întreg; 0 este acoperit doar la 1 și -1.

O metodă eficientă pentru a determina dacă două numere sunt coprimă este furnizată de algoritmul lui Euclid .

Proprietate

Același subiect în detaliu: identitatea Bézout .

Numerele a și b sunt coprimă dacă și numai dacă există numere întregi x și y astfel încât ax + cu = 1. În mod echivalent, b are un modul invers multiplicativ a : există un număr întreg y astfel încât prin ≡ 1 (mod a ).

Dacă a și b sunt coprimă și a împarte un produs bc , atunci a împarte c .

Dacă a și b sunt coprimă și bx ≡ de ( mod a ), atunci x ≡ y (mod a ). Cu alte cuvinte: b produce o unitate în inelul Z _A din numerele întregi modulo a.

Cele două numere întregi a și b sunt coprimă dacă și numai dacă punctul cu coordonatele ( a , b ) dintr-un sistem de axe cartesiene este „vizibil” de la origine (0,0), în sensul că nu există nici un punct de număr întreg coordonatele dintre origine și punctul ( a , b ).

Probabilitatea ca două numere întregi alese aleatoriu să fie prime unele de altele este ${\frac {6}{\pi ^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}}}$ ${\ frac {6} {\ pi ^ {2}}}$

Dacă două numere naturale a și b sunt coprimă, numerele 2 ^a - 1 și 2 ^b - 1 sunt coprimă.

Generalizare

Două idealuri A și B în inelul comutativ R sunt numite coprimă dacă A + B = R. Acest lucru face posibilă generalizarea identității lui Bézout . Dacă A și B sunt coprimă, atunci AB = A ∩ B ; mai mult, dacă C este un al treilea ideal astfel încât A conține BC , atunci A conține C.

Cu această definiție, două idealuri principale ( a ) și ( b ) în inelul numerelor întregi Z sunt coprimă dacă și numai dacă a și b sunt coprimă.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe întregime coprimă

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică