Număr întreg

Simbolul setului de numere întregi

Numerele întregi (sau numere întregi relative sau, pur și simplu, numere relative ) corespund mulțimii obținute prin unirea numerelor naturale (0, 1, 2, ...) și a numerelor întregi negative (−1, −2, −3, ...) ), adică cele obținute prin plasarea unui semn „-” în fața naturilor. Acest set în matematică este notat cu Z o $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , deoarece este litera inițială a lui „ Zahl ” care în germană înseamnă număr (inițial „a număra”, de fapt expresia implică utilizarea numerelor negative).

Întregii sunt apoi definiți exact ca mulțimea numerelor care sunt rezultatul scăderii numerelor naturale . Numerele întregi pot fi adăugate, scăzute și înmulțite, iar rezultatul rămâne întreg. Cu toate acestea, inversul unui întreg nu este un întreg în general, ci un număr rațional ; formal acest fapt se exprimă spunând că $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ este un inel comutativ , dar nu un câmp .

Proprietăți algebrice

Ca și numerele naturale, $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ este închis cu privire la operațiile de adunare și multiplicare , adică suma sau produsul a două numere întregi este un număr întreg. Mai mult, cu includerea numerelor naturale negative și zero, $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ (spre deosebire de numerele naturale) este închis și în raport cu operația de scădere : dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt și ele întregi $a-b$ ${\ displaystyle ab}$ $a-b$ este. In orice caz, $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ nu este închis sub operația de divizare , deoarece coeficientul a două numere întregi (de exemplu $1/2$ ${\ displaystyle 1/2}$ $1/2$ ) nu este neapărat un număr întreg.

Următorul tabel listează câteva dintre proprietățile de bază ale adunării și multiplicării pentru fiecare număr întreg $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .

	plus	multiplicare
închidere :	a + b este un număr întreg	a × b este un număr întreg
proprietate asociativă :	a + ( b + c ) = ( a + b ) + c	a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
proprietate comutativă :	a + b = b + a	a × b = b × a
existența elementului neutru :	a + 0 = a	a × 1 = a
existența elementului opus :	a + (- a ) = 0
proprietate distributivă :	a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

grup

În limbajul algebrei abstracte , primele cinci proprietăți enumerate mai sus pentru adăugare spun că $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ este un grup abelian cu operația sumă . În special, $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ este un grup ciclic , deoarece orice număr întreg diferit de zero poate fi scris adăugând un anumit număr de ori $1+1+\ldots +1$ ${\ displaystyle 1 + 1 + \ ldots +1}$ ${\ displaystyle 1 + 1 + \ ldots +1}$ sau $(-1)+(-1)+\ldots +(-1)$ ${\ displaystyle (-1) + (- 1) + \ ldots + (- 1)}$ ${\ displaystyle (-1) + (- 1) + \ ldots + (- 1)}$ . Grupul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ este singurul grup ciclic infinit, în sensul că orice alt grup ciclic infinit este izomorf pentru $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ .

Inel

Primele patru proprietăți enumerate mai sus pentru multiplicare spun că $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ cu funcționarea produsului formează un monoid comutativ. Cu toate acestea, observăm că nu toți numerele întregi au inversul înmulțirii; de exemplu, nu există un număr întreg $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât $2x=1$ ${\ displaystyle 2x = 1}$ ${\ displaystyle 2x = 1}$ . Prin urmare $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ nu este un grup atunci când este luat în considerare cu operațiunea produsului .

Toate proprietățile din tabel luate împreună spun asta $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ cu adunare și multiplicare este un inel comutativ cu unitate . În mod eficient $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ este principalul motiv pentru definirea acestei structuri. Lipsa inversului cu privire la multiplicare se traduce prin faptul că $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ nu este un câmp .

Inelul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ este, de asemenea, un domeniu al integrității , deoarece nu conține divizori ai zero . Fiecare domeniu de integritate este conținut într-un câmp, iar cel mai mic câmp care conține numerele întregi este câmpul $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ a numerelor raționale .

Algoritmul lui Euclid

Același subiect în detaliu: Algoritmul lui Euclid și Teorema fundamentală a aritmeticii .

Chiar dacă diviziunea obișnuită nu este definită pe $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , este posibil să se utilizeze algoritmul lui Euclid pentru a efectua o diviziune cu rest: dat doi numere întregi $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ cu $b\neq 0$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ , există două numere întregi și sunt unice $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ Și $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ astfel încât

a=q\times b+r\ {\mbox{con}}\ 0\leq r<|b|,

{\ displaystyle a = q \ times b + r \ {\ mbox {con}} \ 0 \ leq r <| b |,}

a = q \ times b + r \ {\ mbox {cu}} \ 0 \ leq r <| b |,

unde este $|b|$ ${\ displaystyle | b |}$ ${\ displaystyle | b |}$ este valoarea absolută a $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Întregul $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ se numește coeficientul e $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ se numește restul , rezultat din împărțirea lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

Algoritmul lui Euclid arată cum două numere întregi au întotdeauna cel mai mare factor comun și cel mai mic multiplu comun . Mai mult, prin teorema fundamentală a aritmeticii, fiecare număr întreg are o descompunere unică ca produs al numerelor prime . Existența algoritmului lui Euclid face din $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ un inel euclidian .

Cardinalitatea

Cardinalitatea unui set de numere întregi este echivalentă cu $\aleph _{0}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ $\ aleph _ {0}$ ( aleph-zero ). Acest lucru poate fi demonstrat prin construirea unei corespondențe unu-la-unu (adică o funcție injectivă și surjectivă ) între $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ Și $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ . Luand in considerare $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {0,1,2, \ ldots \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} = \ {0,1,2, \ ldots \}}$ , o astfel de corespondență este funcția $f\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {N}}$ astfel încât:

f(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{se }}x<0\\0,&{\mbox{se }}x=0\\2x-1,&{\mbox{se }}x>0.\end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 2 | x |, & {\ mbox {se}} x <0 \\ 0, & {\ mbox {se}} x = 0 \\ 2x-1 , & {\ mbox {se}} x> 0. \ end {cases}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} 2 | x |, & {\ mbox {se}} x <0 \\ 0, & {\ mbox {se}} x = 0 \\ 2x-1 , & {\ mbox {se}} x> 0. \ end {cases}}}

În timp ce luați în considerare $\mathbb {N} ^{+}=\{1,2,3,\ldots \}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+} = \ {1,2,3, \ ldots \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+} = \ {1,2,3, \ ldots \}}$ este funcția $g\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} ^{+}$ ${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {N} ^ {+}}$ ${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {N} ^ {+}}$ astfel încât:

g(x)={\begin{cases}2|x|,&{\mbox{se }}x<0\\2x+1,&{\mbox{se }}x\geq 0.\end{cases}}

{\ displaystyle g (x) = {\ begin {cases} 2 | x |, & {\ mbox {se}} x <0 \\ 2x + 1, & {\ mbox {se}} x \ geq 0. \ sfârșit {cazuri}}}

{\ displaystyle g (x) = {\ begin {cases} 2 | x |, & {\ mbox {se}} x <0 \\ 2x + 1, & {\ mbox {se}} x \ geq 0. \ sfârșit {cazuri}}}

Fiecare membru al $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ va avea un singur membru corespunzător în $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ N$ (sau $\mathbb {N} ^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {+}}$ ), prin urmare cele două mulțimi au aceeași cardinalitate.

Triere

Întregul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ este un set complet ordonat, fără limite superioare sau inferioare. Ordinea $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ este dat de

\ldots <-2<-1<0<1<2<\ldots

{\ displaystyle \ ldots <-2 <-1 <0 <1 <2 <\ ldots}

{\ displaystyle \ ldots <-2 <-1 <0 <1 <2 <\ ldots}

Un număr întreg este pozitiv dacă este mai mare decât zero și negativ dacă este mai mic decât zero; zero nu este considerat un număr pozitiv sau negativ.

Următoarea ordine este compatibilă cu regulile algebrei:

de sine $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ Și $c<d$ ${\ displaystyle c <d}$ ${\ displaystyle c <d}$ , asa de $a+c<b+d$ ${\ displaystyle a + c <b + d}$ ${\ displaystyle a + c <b + d}$ ;
de sine $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ Și $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ , asa de $ac<bc$ ${\ displaystyle ac <bc}$ ${\ displaystyle ac <bc}$ .

Definiție formală

Mai simplu: dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt două numere relative pe care le spune $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este mai mare decât $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , iar tu scrii $m>n$ ${\ displaystyle m> n}$ $m> n$ , dacă există un număr natural $p\neq 0$ ${\ displaystyle p \ neq 0}$ ${\ displaystyle p \ neq 0}$ astfel încât $m=n+p$ ${\ displaystyle m = n + p}$ ${\ displaystyle m = n + p}$ . Întregul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ poate fi definit din set $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ N$ a numerelor naturale prin conceptul de set de coeficiente . Luați în considerare produsul cartezian $\mathbb {N} ^{2}=\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {2} = \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {2} = \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}$ , adică ansamblul tuturor perechilor ordonate de numere naturale $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . Luați în considerare următoarea relație $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$

(a,b)\sim (a',b')\Leftrightarrow a+b'=a'+b.

{\ displaystyle (a, b) \ sim (a ', b') \ Leftrightarrow a + b '= a' + b.}

{\ displaystyle (a, b) \ sim (a ', b') \ Leftrightarrow a + b '= a' + b.}

Aceasta este o relație de echivalență , de fapt este:

reflectiv : $(a,b)\sim (a,b)$ ${\ displaystyle (a, b) \ sim (a, b)}$ $(a, b) \ sim (a, b)$ , intr-adevar $a+b=a+b$ ${\ displaystyle a + b = a + b}$ $a + b = a + b$
simetric : dacă $(a,b)\sim (a',b')$ ${\ displaystyle (a, b) \ sim (a ', b')}$ $(a, b) \ sim (a ', b')$ cu $a+b'=a'+b$ ${\ displaystyle a + b '= a' + b}$ $a + b '= a' + b$ , asa de $a'+b=a+b'$ ${\ displaystyle a '+ b = a + b'}$ $a '+ b = a + b'$ prin urmare $(a',b')\sim (a,b)$ ${\ displaystyle (a ', b') \ sim (a, b)}$ $(a ', b') \ sim (a, b)$
tranzitiv : dacă $(a,b)\sim (a',b')$ ${\ displaystyle (a, b) \ sim (a ', b')}$ $(a, b) \ sim (a ', b')$ Și $(a',b')\sim (a'',b'')$ ${\ displaystyle (a ', b') \ sim (a '', b '')}$ $(a ', b') \ sim (a '', b '')$ , asa de

a+b'=a'+b

{\ displaystyle a + b '= a' + b}

a + b '= a' + b

,

a'+b''=a''+b'

{\ displaystyle a '+ b' '= a' '+ b'}

a '+ b' = a '' + b '

, adăugând

a+b'+a'+b''=a'+b+a''+b'

{\ displaystyle a + b '+ a' + b '' = a '+ b + a' '+ b'}

a + b '+ a' + b '' = a '+ b + a' '+ b'

, simplificând

a+b''=a''+b

{\ displaystyle a + b '' = a '' + b}

a + b '' = a '' + b

, asa de

(a,b)\sim (a'',b'')

{\ displaystyle (a, b) \ sim (a '', b '')}

(a, b) \ sim (a '', b '')

Se definește pe sine $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ ca coeficient setat al $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}}$ cu relatia $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ :

\mathbb {Z} =(\mathbb {N} \times \mathbb {N} )/\sim

{\ displaystyle \ mathbb {Z} = (\ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}) / \ sim}

{\ displaystyle \ mathbb {Z} = (\ mathbb {N} \ times \ mathbb {N}) / \ sim}

În acest moment este ușor de demonstrat că fiecare clasă de echivalență $[(a,b)]$ ${\ displaystyle [(a, b)]}$ $[(a, b)]$ conține un singur element în formular $(a',b')$ ${\ displaystyle (a ', b')}$ $(a ', b')$ cu $a'=0$ ${\ displaystyle a '= 0}$ $a '= 0$ sau $b'=0$ ${\ displaystyle b '= 0}$ $b '= 0$ . În acest fel putem introduce notația mai familiară pentru numere întregi după cum urmează:

$a=+a=[(a,0)]$ ${\ displaystyle a = + a = [(a, 0)]}$ $a = + a = [(a, 0)]$
$-a=[(0,a)]$ ${\ displaystyle -a = [(0, a)]}$ $-a = [(0, a)]$
$0=-0=[(0,0)]$ ${\ displaystyle 0 = -0 = [(0,0)]}$ $0 = -0 = [(0,0)]$

Se arată ușor că există un izomorfism între mulțimea numerelor naturale și subsetul de $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ format din elemente de tip $[(a,0)]$ ${\ displaystyle [(a, 0)]}$ $[(a, 0)]$ . În acest sens se poate spune că numerele naturale sunt un subset de numere întregi.

Operațiuni

Suma și operațiunile produsului pot fi definite după cum urmează:

(n_{1},n_{2})+(m_{1},m_{2})=(n_{1}+m_{1},n_{2}+m_{2})

{\ displaystyle (n_ {1}, n_ {2}) + (m_ {1}, m_ {2}) = (n_ {1} + m_ {1}, n_ {2} + m_ {2})}

(n_ {1}, n_ {2}) + (m_ {1}, m_ {2}) = (n_ {1} + m_ {1}, n_ {2} + m_ {2})

(n_{1},n_{2})\times (m_{1},m_{2})=(n_{1}m_{1}+n_{2}m_{2},n_{1}m_{2}+m_{1}n_{2})

{\ displaystyle (n_ {1}, n_ {2}) \ times (m_ {1}, m_ {2}) = (n_ {1} m_ {1} + n_ {2} m_ {2}, n_ {1 } m_ {2} + m_ {1} n_ {2})}

(n_ {1}, n_ {2}) \ times (m_ {1}, m_ {2}) = (n_ {1} m_ {1} + n_ {2} m_ {2}, n_ {1} m_ { 2} + m_ {1} n_ {2})

Se verifică dacă operațiile sunt compatibile cu relația de echivalență și că sunt traduse în operațiile normale de adunare și produs ale numerelor întregi prin notația care tocmai a fost introdusă. De exemplu:

a\times (-b)=[(a,0)\times (0,b)]=[(0,ab)]=-ab.

{\ displaystyle a \ times (-b) = [(a, 0) \ times (0, b)] = [(0, ab)] = - ab.}

a \ times (-b) = [(a, 0) \ times (0, b)] = [(0, ab)] = - ab.

De asemenea, se poate arăta direct că setul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ cu aceste operații este un inel comutativ .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu număr întreg

linkuri externe

( EN ) Integer , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 23876 · GND (DE) 4134668-3 · NDL (RO, JA) 00570428

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Teoria numerelor
Cele mai utilizate numere	Natural · Întreg · Par și impar
Principii generale	Principiul inducției · Principiul unei bune ordonări · Relația de echivalență
Secvențe de numere întregi	Factorial · Fibonacci · Număr de catalană · Număr Perrin · Număr de Euler · Secvență Mian-Chowla · Succesiunea lui Thue-Morse
Caracteristicile numerelor prime	Primul număr · lema lui Euclid · Teorema infinitate de numere prime · ciurul Eratostene · teste primality · Teorema fundamentală a aritmeticii · Total acoperire mine · Bézout Identitate · MCD · mcm · algoritmul lui Euclid · Teorema de Prime Numbers
Funcții aritmetice	Funcție multiplicativă · funcție aditivă · convoluție Dirichlet · funcția Euler Euler · funcția Möbius · funcția tau pe pozitiv · funcția sigmoidă · funcția Liouville · funcția Mertens
Aritmetica modulară	Teorema a restului chinez · teorema lui Fermat mici · teorema lui Euler · Criterii de divizibilitate · teorema lui Fermat pe sume de două pătrate · Wilson Teorema · reciprocitatea pătratică
Conjecturi	Conjectura lui Goldbach · Conjectura Polignac · Guess abc · conjectura primelor gemene · Conjectura lui Legendre · Noua conjectură Mersenne · Conjectura Collatz · Ipoteza Riemann
Alte	Problema lui Waring
Principalii teoreticieni	Fibonacci · Fermat · Gauss · Euler · Legendre · Riemann · Dirichlet
Disciplinele conexe	Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor · Criptografie · Teoria computațională a numerelor