Interpolare

În matematică și în special în analiza numerică , prin interpolare se înțelege o metodă de identificare a punctelor noi ale planului cartezian pornind de la un set finit de puncte de date, presupunând că toate punctele se pot referi la o funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ a unei familii date de funcții a unei variabile reale.

În activitățile științifice și tehnologice și, în general, în studiile cantitative ale oricărui fenomen, se întâmplă foarte des să existe un anumit număr de puncte ale planului obținut cu eșantionare sau cu echipamente de măsurare și să se considere adecvat identificarea unei funcții care trece pentru toate datele puncte sau cel puțin în vecinătatea lor (vezi montarea curbei ).

Definirea problemei

Dat fiind o succesiune de n numere reale distincte $\,x_{k}$ ${\ displaystyle \, x_ {k}}$ $\, x_k$ numite noduri și pentru fiecare dintre acestea $\,x_{k}$ ${\ displaystyle \, x_ {k}}$ $\, x_k$ se dă un al doilea număr $\,y_{k}$ ${\ displaystyle \, y_ {k}}$ $\, y_k$ . Ne propunem să identificăm o funcție $\,f$ ${\ displaystyle \, f}$ $\, f$ a unei anumite familii astfel încât să fie

f(x_{k})=y_{k}~~{\mbox{per}}~k=1,\ldots ,n

{\ displaystyle f (x_ {k}) = y_ {k} ~~ {\ mbox {per}} ~ k = 1, \ ldots, n}

f (x_k) = y_k ~~ \ mbox {for} ~ k = 1, \ ldots, n

.

O pereche $\,(x_{k},y_{k})$ ${\ displaystyle \, (x_ {k}, y_ {k})}$ $\, (x_k, y_k)$ se numește punct dat și $\,f$ ${\ displaystyle \, f}$ $\, f$ se numește funcție de interpolare , sau pur și simplu interpolare , pentru punctele de date.

Uneori valorile $\,y_{k}$ ${\ displaystyle \, y_ {k}}$ $\, y_k$ , atunci când sunt destinate să se refere la o funcție destul de definită, sunt scrise $\,f_{k}$ ${\ displaystyle \, f_ {k}}$ $\, f_k$ .

Vorbim de interpolare când: cunoscute câteva perechi de date (x; y), care pot fi interpretate ca puncte pe un plan, ne propunem să construim o funcție, numită funcție de interpolare, care este capabilă să descrie relația dintre setul valorile x și setul de valori y

Exemplu

Să presupunem că aveți următorul tabel, care oferă câteva valori ale unei funcții $\,f(x)$ ${\ displaystyle \, f (x)}$ $\, f (x)$ care poate fi considerat cunoscut în altă parte.

Diagrama punctelor de date.

$X$ ${\ displaystyle x}$ $X$	$f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$
0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0.1411
4	-0,33
5	-0.9589
6	-0.2794

Ne întrebăm: cât de mult valorează funcția de exemplu, în ${\overline {x}}=2{,}5$ ${\ displaystyle {\ overline {x}} = 2 {,} 5}$ $\ overline {x} = 2 {,} 5$ ? Interpolația rezolvă astfel de probleme.

Există multe metode diferite de interpolare; în acest articol vom schița doar cele mai relevante pentru înțelegerea problemei.

Pentru a înțelege dacă metoda aleasă și funcția de interpolare găsită sunt potrivite, trebuie să se răspundă la patru cereri generale :

Cât de precisă este metoda?
Cât de scump este?
Cât de bună este funcția de interpolare?
Câte puncte de date sunt necesare pentru a continua?

Interpolare liniară

Același subiect în detaliu: interpolare liniară .

Una dintre cele mai simple metode este interpolare liniară . Luați în considerare exemplul de mai sus pentru a determina $\,f(2.5)$ ${\ displaystyle \, f (2.5)}$ $\, f (2,5)$ . Deoarece 2.5 este punctul de mijloc între 2 și 3, este rezonabil să atribuiți un $\,f(2.5)$ ${\ displaystyle \, f (2.5)}$ $\, f (2,5)$ ca valoare medie între $\,f(2)=0.9093$ ${\ displaystyle \, f (2) = 0.9093}$ $\, f (2) = 0,9093$ Și $\,f(3)=0.1411$ ${\ displaystyle \, f (3) = 0.1411}$ $\, f (3) = 0.1411$ : în acest fel obținem $\,f(2.5)=0.5252$ ${\ displaystyle \, f (2.5) = 0.5252}$ $\, f (2,5) = 0,5252$ .

În general, interpolare liniară pentru orice pereche de puncte de date consecutive, să le denotăm $\,(x_{a},y_{a})$ ${\ displaystyle \, (x_ {a}, y_ {a})}$ $\, (x_a, y_a)$ Și $\,(x_{b},y_{b})$ ${\ displaystyle \, (x_ {b}, y_ {b})}$ $\, (x_b, y_b)$ , definește ca funcție de interpolare în interval $\,[x_{a},x_{b}]$ ${\ displaystyle \, [x_ {a}, x_ {b}]}$ $\, [x_a, x_b]$ Acolo

f(x)={\frac {x-x_{b}}{x_{a}-x_{b}}}y_{a}-{\frac {x-x_{a}}{x_{a}-x_{b}}}y_{b}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {x-x_ {b}} {x_ {a} -x_ {b}}} y_ {a} - {\ frac {x-x_ {a}} {x_ { a} -x_ {b}}} y_ {b}}

f (x) = \ frac {x-x_b} {x_a-x_b} y_a - \ frac {x-x_a} {x_a-x_b} y_b

.

Această formulă poate fi interpretată ca o evaluare a mediei ponderate .

Interpolarea liniară este rapidă și ușoară, dar nu este foarte precisă. Un alt dezavantaj este că interpolatorul nu poate fi diferențiat în puncte $\,x_{k}$ ${\ displaystyle \, x_ {k}}$ $\, x_k$ .

Următoarea estimare a erorii indică faptul că interpolare liniară nu este foarte precisă. Indicăm cu $\,g(x)$ ${\ displaystyle \, g (x)}$ $\, g (x)$ funcția de interpolare și să presupunem că $\,x$ ${\ displaystyle \, x}$ $\, X$ este între $\,x_{a}$ ${\ displaystyle \, x_ {a}}$ $\, x_a$ Și $\,x_{b}$ ${\ displaystyle \, x_ {b}}$ $\, x_b$ este asta $\,g(x)$ ${\ displaystyle \, g (x)}$ $\, g (x)$ să fie de două ori diferențiat. Atunci eroarea de interpolare liniară este

|f(x)-g(x)|\leq C(x_{b}-x_{a})^{2}\quad {\mbox{dove}}\quad C={\frac {1}{8}}~\max _{y\in [x_{a},x_{b}]}~g''(y)

{\ displaystyle | f (x) -g (x) | \ leq C (x_ {b} -x_ {a}) ^ {2} \ quad {\ mbox {where}} \ quad C = {\ frac {1 } {8}} ~ \ max _ {y \ in [x_ {a}, x_ {b}]} ~ g '' (y)}

| f (x) -g (x) | \ le C (x_b-x_a) ^ 2 \ quad \ mbox {unde} \ quad C = \ frac18 ~ \ max_ {y \ in [x_a, x_b]} ~ g '' (y)

.

Prin urmare, eroarea este proporțională cu pătratul distanței dintre punctele de date. Erorile unor alte metode, inclusiv interpolare polinomială și interpolare spline descrise mai jos, sunt proporționale cu puterile mai mari ale distanței dintre punctele de date și, prin urmare, sunt de preferat. Aceste metode produc, de asemenea, funcții de interpolare mai fine.

Interpolare polinomială

Același subiect în detaliu: interpolare polinomială .

Interpolarea polinomială poate fi considerată, aproximativ, o generalizare a interpolării liniare. În timp ce interpolatorul liniar este o secvență de funcții liniare, în interpolarea polinomială se caută un singur polinom de grad adecvat ca interpolator.

Pentru problema de mai sus, constatăm că următorul polinom de gradul șase trece prin toate cele șapte puncte:

$\,f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x$ ${\ displaystyle \, f (x) = - 0.0001521x ^ {6} -0.003130x ^ {5} + 0.07321x ^ {4} -0.3577x ^ {3} + 0.2255x ^ {2} + 0.9038x}$ $\, f (x) = -0.0001521 x ^ 6 - 0.003130 x ^ 5 + 0.07321 x ^ 4 - 0.3577 x ^ 3 + 0.2255 x ^ 2 + 0.9038 x$ . Prin atribuire $\,x=2.5$ ${\ displaystyle \, x = 2.5}$ $\, x = 2,5$ , constatăm că $\,f(2.5)=0.5965$ ${\ displaystyle \, f (2.5) = 0.5965}$ $\, f (2,5) = 0,5965$ .

În general, dacă avem n puncte date, există exact un polinom de grad n -1 care trece prin toate aceste puncte. Eroarea de interpolare este proporțională cu distanța dintre punctele de date ridicate la a n-a putere. Mai mult, interpolatorul, ca polinom, este diferențiat pe termen nelimitat. Prin urmare, interpolarea polinomială evită toate dificultățile întâmpinate de interpolare liniară.

Cu toate acestea, dacă ne întoarcem la cele 4 cerințe generale, vedem că interpolarea polinomială are unele dezavantaje. Calculul polinomului de interpolare este foarte „scump” (în ceea ce privește operațiunile cerute de computer, adică există un timp de calcul scump). Mai mult, interpolarea polinomială nu este foarte exactă în întregul domeniu al funcției; în special în punctele extreme ale intervalului are loc așa-numitul fenomen Runge . Aceste dezavantaje pot fi evitate prin utilizarea altor interpolații și în special a interpolării spline.

Interpolare rațională

Același subiect în detaliu: interpolare rațională .

Interpolația rațională, similară cu polinomul, folosește în schimb funcții raționale ${R}(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$ ${\ displaystyle {R} (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$ ${R} (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)}$ .
Cele mai cunoscute metode de interpolare rațională sunt

Bulirsch - Stoer, nu trebuie confundat cu cel pentru ecuații diferențiale ^[1] .
Berrut, o îmbunătățire față de cea anterioară ^[2]
Hormann - Floater ^[3]

Dintre cele trei, ultima nu are niciodată asimptote și garantează o eroare modestă chiar și cu intervale mici, chiar și cu funcții de tip Runge. Avantajul aproximării raționale este că, de exemplu, în funcție $f(x)=\ln(x)$ ${\ displaystyle f (x) = \ ln (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = \ ln (x)}$ , interpolarea polinomială determină oscilații puternice, în special în afara valorilor tabelului (extrapolare), în timp ce raționalul are mai puține oscilații. De asemenea, implică mai puține calcule decât interpolare spline, fiind în general implementat în $O(n^{2})$ ${\ displaystyle O (n ^ {2})}$ $O (n ^ {2})$ pentru calcularea greutăților, care se face o dată pentru valorile tabelate, e $O(n)$ ${\ displaystyle O (n)}$ $Pe)$ pentru interpolare.

Interpolare spline

Același subiect în detaliu: interpolare spline .

În timp ce interpolare liniară utilizează o funcție liniară pentru fiecare dintre intervale $\,[x_{k},y_{k}]$ ${\ displaystyle \, [x_ {k}, y_ {k}]}$ $\, [x_k, y_k]$ , interpolare spline utilizează polinoame de grad mic în intervalele menționate mai sus, alegându-le astfel încât două polinoame succesive să se sudeze fără probleme. Funcția obținută cu o procedură de acest fel se numește funcție spline .

De exemplu, splina cubică naturală este cubică în bucăți și de două ori diferențiată. De asemenea, a doua sa derivată este zero la punctele finale. Astfel se definește splina naturală cubică care interpolează punctele din tabelul de mai sus

f(x)=\left\{{\begin{matrix}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\mbox{se }}x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\mbox{se }}x\in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\mbox{se }}x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\mbox{se }}x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&{\mbox{se }}x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,&{\mbox{se }}x\in [5,6].\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} -0.1522x ^ {3} + 0.9937x, & {\ mbox {se}} x \ in [0,1], \\ - 0.01258 x ^ {3} -0.4189x ^ {2} + 1.4126x-0.1396 și {\ mbox {se}} x \ în [1,2], \\ 0.1403x ^ {3} -1.3359x ^ {2} + 3.2467x-1.3623, & {\ mbox {se}} x \ in [2,3], \\ 0.1579x ^ {3} -1.4945x ^ {2} + 3.7225x-1.8381, & {\ mbox {dacă }} x \ in [3,4], \\ 0.05375x ^ {3} -0.2450x ^ {2} -1.2756x + 4.8259, și {\ mbox {se}} x \ in [4,5], \ \ -0.1871x ^ {3} + 3.3673x ^ {2} -19.3370x + 34.9282, și {\ mbox {se}} x \ în [5,6]. \\\ end {matrix}} \ right.}

f (x) = \ left \ {\ begin {matrix} -0.1522 x ^ 3 + 0.9937 x, & \ mbox {se} x \ in [0,1], \\ -0.01258 x ^ 3 - 0.4189 x ^ 2 + 1.4126 x - 0.1396, & \ mbox {if} x \ in [1,2], \\ 0.1403 x ^ 3 - 1.3359 x ^ 2 + 3.2467 x - 1.3623, & \ mbox {if} x \ in [2, 3], \\ 0,1579 x ^ 3 - 1,4945 x ^ 2 + 3,7225 x - 1,8381, & \ mbox {se} x \ in [3,4], \\ 0,05375 x ^ 3 -0,2450 x ^ 2 - 1,2756 x + 4.8259, & \ mbox {se} x \ in [4,5], \\ -0.1871 x ^ 3 + 3.3673 x ^ 2 - 19.3370 x + 34.9282, & \ mbox {se} x \ in [5,6]. \\ \ end {matrix} \ right.

Funcția de interpolare obținută cu interpolare spline, cum ar fi cea obținută cu interpolare polinomială, are erori mai mici și este mai netedă decât funcția de interpolare obținută cu interpolare liniară. Interpolația splinei este mai ușor de evaluat decât polinoamele de grad înalt cerute de interpolația polinomială. De asemenea, nu suferă de fenomenul lui Runge .

Alte forme de interpolare

Alte proceduri de interpolare sunt identificate folosind diferite familii de interpolare. Prin urmare, studiem, de exemplu, interpolare rațională , adică interpolare prin funcții raționale și interpolare trigonometrică folosind polinoame trigonometrice . Transformata Fourier discretă este un caz special de interpolare trigonometrică. O altă posibilitate interesantă este de a utiliza așa-numitele wavelets sau undines

Când aveți un set nelimitat de puncte de date, puteți utiliza formula de interpolare Nyquist-Shannon .

Este de asemenea studiată interpolare multivariată , o activitate de interpolare referitoare la funcțiile mai multor variabile reale. Metodele sale includ interpolare biliniară și interpolare bicubică în două dimensiuni și interpolare triliniară în trei dimensiuni.

În unele domenii de aplicare se poate întâmpla să avem nu numai unele valori ale funcției pe care dorim să le interpolăm, ci și valorile derivatei sale. În aceste cazuri sunt tratate așa-numitele probleme de interpolare Hermite .

Noțiuni conexe

Termenul de extrapolare este utilizat pentru activitatea care vizează găsirea valorilor unei funcții reale $\,f(x)$ ${\ displaystyle \, f (x)}$ $\, f (x)$ pentru valorile $\,x$ ${\ displaystyle \, x}$ $\, X$ care se află în afara ariei reale care conține punctele $\,x_{k}$ ${\ displaystyle \, x_ {k}}$ $\, x_k$ în care sunt cunoscute valorile pe care și le asumă.

Ce probleme de regresie sau de ajustare a curbei ( ajustarea curbei) abandonează constrângerea care necesită funcția de interpolare să treacă exact prin punctele de date și necesită doar o curbă care se apropie cel mai bine de punctele de date.

O problemă diferită de interpolare, dar strâns legată de aceasta, este aproximarea unei funcții complicate prin intermediul uneia mai simple și care prezintă o tendință similară. Să presupunem că știm funcția de pornire $\,f(x)$ ${\ displaystyle \, f (x)}$ $\, f (x)$ , dar că acest lucru este atât de complex încât nu poate fi evaluat eficient. Putem apoi să luăm în considerare un anumit set de puncte ale sale și să încercăm să le interpolăm pentru a identifica o funcție $\,a(x)$ ${\ displaystyle \, a (x)}$ $\, a (x)$ Mai ușor. Desigur, când folosim funcția aproximantă pentru a calcula noi valori $\,a({\overline {x}})$ ${\ displaystyle \, a ({\ overline {x}})}$ $\, a (\ overline {x})$ veți avea rezultate diferite din $\,f({\overline {x}})$ ${\ displaystyle \, f ({\ overline {x}})}$ $\, f (\ overline {x})$ se poate obține dacă am calculat funcția originală; cu toate acestea, în anumite domenii de aplicare și în urma adoptării metodelor de interpolare adecvate, avantajul unei simplități mai mari și, prin urmare, a unei manevrabilități mai mari poate face ca eroarea să fie nesemnificativă.

Teoria aproximării studiază modul de a găsi cea mai bună aproximare a unei funcții $\,f(x)$ ${\ displaystyle \, f (x)}$ $\, f (x)$ cu o funcție aparținând unei clase predeterminate și cât de bună este o astfel de funcție aproximativă. Desigur, există limitări în ceea ce privește cât de mult un interpolator poate aproxima funcția originală.

Notă

^ Rețete numerice în ediția C, II, (1992) §3.2 Interpolare funcțională rațională și extrapolare ( PDF ), pe nrbook.com .
^ Jean - Paul Berrut, Richard Baltensperger, Hans D. Mittelmannin, Recent development in barycentric rational interpolation ( PDF ), pe plato.asu.edu , 2005. Accesat la 03.06.2008 .
^ Michael S. Floater, Kai Hormann, interpolare rațională baricentrică fără poli și rate mari de aproximare ( PDF ), cg.in.tu-clausthal.de . Accesat la 03.06.2008 (arhivat din original la 16 noiembrie 2010) .

Bibliografie

Rice, Herbert Louis (1899) Teoria și practica interpolației; inclusiv cuadratura mecanică și alte probleme importante legate de valorile tabulare ale funcțiilor .
Gibb, David (1915): Un curs de interpolare și integrare numerică pentru laboratorul de matematică .
Whittaker, Edmund Taylor; Robinson G (1923): Un curs scurt de interpolare .
Whittaker, Edmund Taylor; Robinson G (1924): Calculul observațiilor , Blackie & Sons. (capitolele 1-4 pentru interpolare polinomială și capitolul 10 pentru interpolare cu seria Fourier ).
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene (1972): Manual de funcții matematice , Dover. p.877 (Capitolul 25).
Comincioli, Valeriano (1990): Analiză numerică. metode, modele, aplicații , Capitolul 3, McGraw-Hill Italia. ISBN 88-386-0646-3
H. Dym, B. Fritzsche, V. Katsnelson, B. Kirstein eds. (1997): Topics in Interpolation Theory , Birkhäuser, ISBN 3-7643-5723-1
Kincaid, David; Cheney, Ward (2002): Analiză numerică (ediția a treia), capitolul 6, Brooks / Cole. ISBN 0-534-38905-8
Schatzman, Michelle (2002): Analiza numerică: o introducere matematică , capitolele 4 și 6. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-850279-6 .
George M. Phillips (2003): Interpolarea și aproximarea de către polinoame , Springer, ISBN 0-387-00215-4 , pp. 328