Interval (matematică)

În matematică , un interval este un subset de numere reale format din toate punctele liniei reale care sunt incluse între două extreme $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . Extremele pot (dar nu trebuie neapărat) să aparțină domeniului și pot fi infinite.

Definiție

În mod formal, un subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ numere reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sau un alt set ordonat este un s și interval pentru fiecare pereche de elemente $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , orice alt element $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ astfel încât $x<z<y$ ${\ displaystyle x <z <y}$ ${\ displaystyle x <z <y}$ este, de asemenea, în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . În $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ intervalele corespund seturilor convexe .

Intervalele de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sunt, prin urmare, următoarele seturi (unde $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt două numere reale astfel încât $a<b$ ${\ displaystyle a <b}$ $a <b$ ): ^[1]

$(a,b)=\{x|a<x<b\}$ ${\ displaystyle (a, b) = \ {x | a <x <b \}}$ ${\ displaystyle (a, b) = \ {x | a <x <b \}}$ (gama deschisă)
$[a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}$ ${\ displaystyle [a, b] = \ {x | a \ leq x \ leq b \}}$ ${\ displaystyle [a, b] = \ {x | a \ leq x \ leq b \}}$ (interval închis)
$[a,b)=\{x|a\leq x<b\}$ ${\ displaystyle [a, b) = \ {x | a \ leq x <b \}}$ ${\ displaystyle [a, b) = \ {x | a \ leq x <b \}}$ (interval închis în stânga)
$(a,b]=\{x|a<x\leq b\}$ ${\ displaystyle (a, b] = \ {x | a <x \ leq b \}}$ ${\ displaystyle (a, b] = \ {x | a <x \ leq b \}}$ (interval închis în dreapta)
$(a,+\infty )=\{x|x>a\}$ ${\ displaystyle (a, + \ infty) = \ {x | x> a \}}$ ${\ displaystyle (a, + \ infty) = \ {x | x> a \}}$ (interval deschis infinit dreapta)
$[a,+\infty )=\{x|x\geq a\}$ ${\ displaystyle [a, + \ infty) = \ {x | x \ geq a \}}$ ${\ displaystyle [a, + \ infty) = \ {x | x \ geq a \}}$ (interval închis infinit dreapta)
$(-\infty ,b)=\{x|x<b\}$ ${\ displaystyle (- \ infty, b) = \ {x | x <b \}}$ ${\ displaystyle (- \ infty, b) = \ {x | x <b \}}$ (raza infinită deschisă la stânga)
$(-\infty ,b]=\{x|x\leq b\}$ ${\ displaystyle (- \ infty, b] = \ {x | x \ leq b \}}$ ${\ displaystyle (- \ infty, b] = \ {x | x \ leq b \}}$ (raza infinită închisă la stânga)
$(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ ${\ displaystyle (- \ infty, + \ infty) = \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle (- \ infty, + \ infty) = \ mathbb {R}}$ (toate linia reală)
$[a,a]=\{a\}$ ${\ displaystyle [a, a] = \ {a \}}$ ${\ displaystyle [a, a] = \ {a \}}$ (un punct)
setul gol

Punctele $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt extremele intervalului. Deci o paranteză pătrată $[$ ${\ displaystyle [}$ ${\ displaystyle [}$ $]$ ${\ displaystyle]}$ ${\ displaystyle]}$ indică faptul că extrema aparține intervalului, în timp ce o paranteză rotundă $($ ${\ displaystyle (}$ ${\ displaystyle (}$ $)$ ${\ displaystyle)}$ ${\ displaystyle)}$ indică faptul că nu vă aparține. O notare alternativă folosește $]$ ${\ displaystyle]}$ ${\ displaystyle]}$ Și $[$ ${\ displaystyle [}$ ${\ displaystyle [}$ respectiv în loc de $($ ${\ displaystyle (}$ ${\ displaystyle (}$ Și $)$ ${\ displaystyle)}$ ${\ displaystyle)}$ . Ambele notații fac parte din standardul ISO 31-11 și ulterior ISO 80000-2 ^[2] ca echivalent, deși notația care utilizează paranteze rotunde pentru a indica intervalele deschise este de departe cea mai utilizată.

Primele patru intervale au lungime $b-a$ ${\ displaystyle ba}$ $b-a$ , următoarele cinci au lungime infinită , punctul și setul gol au lungime.

Intervalul unitar este intervalul închis $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ .

Proprietate

Unirea și intersecția a două intervale care au intersecție non-goală este un interval.
Imaginea unui interval folosind o funcție continuă de la $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ este tot un interval.
Un subset al liniei reale este un interval dacă și numai dacă este conectat .
Un interval este compact dacă și numai dacă este de tipul $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ .
Fiecare interval (chiar infinit) este homeomorf la unul, și numai unul, dintre aceste cinci intervale: un punct, $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ , $[0,1)$ ${\ displaystyle [0,1)}$ $[0,1)$ , $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ sau setul gol .

Notatii alternative

Rar în matematică, dar adesea în inginerie, simbolul ÷, numit obelus , este folosit în Italia pentru a indica un interval numeric. De exemplu 3 ÷ 7 înseamnă „de la trei la șapte”, inclusiv extreme.

Notă

^ Manetti, M. , p. 10 .
^ ise.ncsu.edu , http://www.ise.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf .

Bibliografie

Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .

Elemente conexe

Intervale în orice set comandat
Numere reale

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Manetti, M. , p. 10 .

[2] se.ncsu.edu , http://www.ise.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf .

[1]

[2]