Minge (matematică)

În matematică , o minge (sau balon , sau în jurul unui cerc ) este un sinonim pentru o sferă , care este preferată în cazul spațiilor non-tridimensionale și pentru spațiile metrice în general.

Un sinonim pentru minge (în geometrie sau topologie și în orice dimensiune ) este discul ; cu toate acestea, o bilă tridimensională este în general numită sferă, iar o bilă bidimensională (cum ar fi un cerc în plan) este în general numită disc.

Spații metrice

Fie M un spațiu metric . Mingea (deschisă) cu raza r > 0 centrată în punctul p al lui M este definită ca

B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\},

{\ displaystyle B_ {r} (p) = \ {x \ în M \ mid d (x, p) <r \},}

{\ displaystyle B_ {r} (p) = \ {x \ în M \ mid d (x, p) <r \},}

unde d este distanța sau metrica. Dacă simbolul mai mic decât (<) este înlocuit cu simbolul mai mic sau egal (≤), definiția de mai sus devine cea a unei bile închise :

{\bar {B}}_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\}

{\ displaystyle {\ bar {B}} _ {r} (p) = \ {x \ în M \ mid d (x, p) \ leq r \}}

{\ displaystyle {\ bar {B}} _ {r} (p) = \ {x \ în M \ mid d (x, p) \ leq r \}}

.

Cu toate acestea, trebuie acordată atenție faptului că închiderea unei mingi deschise $B_{r}(p)$ ${\ displaystyle B_ {r} (p)}$ ${\ displaystyle B_ {r} (p)}$ în general nu coincide cu bila închisă ${\bar {B}}_{r}(p)$ ${\ displaystyle {\ bar {B}} _ {r} (p)}$ ${\ displaystyle {\ bar {B}} _ {r} (p)}$ , dar este inclus. Pe de altă parte, un element x de $B_{r}(p)$ ${\ displaystyle B_ {r} (p)}$ ${\ displaystyle B_ {r} (p)}$ aparține închiderii sale dacă și numai dacă există o succesiune de elemente ale $B_{r}(p)$ ${\ displaystyle B_ {r} (p)}$ ${\ displaystyle B_ {r} (p)}$ dintre care x este limita. Se poate ca. $d(x,p)\leq r$ ${\ displaystyle d (x, p) \ leq r}$ ${\ displaystyle d (x, p) \ leq r}$ dar nu există deasupra unei succesiuni.

Rețineți în special că o minge (deschisă sau închisă) include întotdeauna p în sine, deoarece r > 0. O minge unitară (deschisă sau închisă) este o minge de rază 1.

În spațiul euclidian n- dimensional cu metrica euclidiană obișnuită, dacă spațiul este linia, bila este un interval , iar dacă spațiul este planul, bila este discul din interiorul unui cerc . Obiectele de patru dimensiuni sau mai mari se numesc hiperball și hipersferă . A se vedea din urmă pentru „volum” și „zonă”.

Cu alte valori, forma unei mingi poate fi diferită, de exemplu:

în 2 dimensiuni:
- cu norma 1 (adică în geometria Manhattan ) o bilă este un pătrat cu diagonale paralele cu axele de coordonate
- cu distanța Chebyshev o minge este un pătrat cu laturile paralele cu axele de coordonate

în 3 dimensiuni:
- cu norma 1 o minge este un octaedru regulat cu diagonale interne paralele cu axele de coordonate
- cu distanța lui Chebyshev o minge este un cub cu marginile sale paralele cu axele de coordonate

Rețineți că, în multe cazuri, bilele rotite nu sunt bilele.

Noțiuni conexe

Bilele deschise, în raport cu un d metric , formează o bază pentru topologia indusă de d (prin definiție). Aceasta înseamnă, printre altele, că toate seturile deschise într-un spațiu metric pot fi scrise ca o uniune de bile deschise.

Un subset al unui spațiu metric este delimitat dacă este conținut într-o minge. Un set este total limitat dacă, având în vedere orice rază, este acoperită de un număr finit de bile de acea rază.

Spații topologice

Într-un spațiu topologic , o minge (deschisă sau închisă) este un subset homeomorf al mingii euclidiene (deschisă sau închisă) descris mai sus, dar uneori lipsit de metrica sa. O minge este cunoscută pentru dimensiunea sa: o minge n- dimensională se numește n- minge și se notează cu $B^{n}$ ${\ displaystyle B ^ {n}}$ ${\ displaystyle B ^ {n}}$ sau $D^{n}$ ${\ displaystyle D ^ {n}}$ $D ^ {n}$ . Pentru n și m distincte, o bilă n- nu este homeomorfă pentru o bilă m- . O minge poate să nu fie netedă ; dacă este netedă, nu trebuie să fie diferită de o bilă euclidiană.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe minge

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică