Hiperboloid

Suprafața hiperboloidă matematică a unei foi

În geometrie, un hiperboloid este un quadric , adică un tip de suprafață în spațiul tridimensional reprezentat de o ecuație polinomială de ordinul doi în cele trei variabile spațiale.

Reprezentarea analitică

Ecuația canonică (adică referindu-se la axele sale principale) a hiperboloidului este de forma ^[1]

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1

{\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1}

{x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1

, hiperboloid monostrat (hiperboloid hiperbolic),

sau a formei

-{x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1

{\ displaystyle - {x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1 }

- {x ^ {2} \ over a ^ {2}} - {y ^ {2} \ over b ^ {2}} + {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 1

, hiperboloid de două ori (hiperboloid eliptic).

Hiperboloidul cu un singur pas este definit și ca hiperboloid hiperbolic, deoarece toate punctele sale sunt de tip hiperbolic. Se spune că un punct al unui cvadric este hiperbolic atunci când planul tangent la suprafață în acel punct intersectează aceeași suprafață în două linii reale și distincte.

Hiperboloidul cu două pasuri este, de asemenea, definit ca hiperboloid eliptic, deoarece toate punctele sale sunt eliptice. Se spune că un punct al unui cvadric este eliptic atunci când planul tangent la suprafață în acel punct intersectează aceeași suprafață în două linii imaginare conjugate.

În cazul hiperboloidului cu două pasuri, în planul z = 0 nu există soluții reale, în timp ce există infinite în cazul hiperboloidului cu un pas și corespund punctelor unei curbe închise (elipse) .

În figuri z este axa verticală.

hiperboloid cu clapă.

hiperboloid cu două clape.

Cand $a=b$ ${\ displaystyle a = b}$ $a = b$ avem un hiperboloid de rotație în jurul axei z. Rotația unei hiperbole în jurul axei sale focale generează un hiperboloid de două ori; rotația în jurul axei perpendiculare pe axa focală generează un hiperboloid cu clapetă.

De asemenea, este posibil să se definească un hiperboloid cu două clape de rotație, a cărui axă trece prin două puncte fixe pe care le numim A și B, ca locus al punctelor P astfel încât diferența de distanță | AP-BP | să fie constantă. Punctele A și B sunt numite focarele hiperboloidului.

Un hiperboloid cu un singur pas este o suprafață reglată ; dacă în special este un hiperboloid de revoluție, suprafața poate fi obținută și prin rotirea unei linii drepte în jurul unei linii drepte în raport cu cea anterioară. Turnurile de răcire din beton armat au forma unui hiperboloid cu un singur pas, deoarece geometria lor permite o disipare eficientă a căldurii ^[2] .

Se spune că o suprafață a formei degenerează hiperboloidul :

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0

{\ displaystyle {x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 0}

{x ^ {2} \ over a ^ {2}} + {y ^ {2} \ over b ^ {2}} - {z ^ {2} \ over c ^ {2}} = 0

;

dacă a = b avem un con ; altfel avem un con eliptic .

Notă

^ Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin , Bollati Boringhieri , 1994, p. 226, ISBN 978-88-339-5548-3 .
^ În plus, această geometrie permite optimizarea structurală: natura nervurată a suprafeței oferă avantaje considerabile, atât din punct de vedere al cofrajului pentru piesele turnate, cât și pentru dispunerea armăturilor.

Bibliografie

Giuseppe Vaccaro , Lecții de geometrie, vol. Eu , Roma , Veschi, 1975.
Edoardo Sernesi, Geometrie 2, Torino , Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe Hyperboloid

linkuri externe

( EN ) Hyperboloid , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin , Bollati Boringhieri , 1994, p. 226, ISBN 978-88-339-5548-3 .

[2] În plus, această geometrie permite optimizarea structurală: natura nervurată a suprafeței oferă avantaje considerabile, atât din punct de vedere al cofrajului pentru piesele turnate, cât și pentru dispunerea armăturilor.

[1]

[2]