Hipercub

Reprezentarea tridimensională a unui hipercub în patru dimensiuni.

Studiul unui hipercub în patru dimensiuni construit în perspectivă.

Proiecții ortogonale ale tuturor hipercuburilor de la bidimensional ( pătrat ) la decadimensional ( decheratto ).

Hipercubul (sau n-cub ) este o formă geometrică regulată cufundată într-un spațiu de patru sau mai multe dimensiuni .

Hipercubul este un politop ( analogul multidimensional al poligoanelor și poliedrelor ), care generalizează în dimensiune superioară conceptele de punct , segment , pătrat și cub , aparținând respectiv dimensiunilor 0, 1, 2 și 3.

Prefixul „hiper”, folosit pentru a indica o generalizare în dimensiuni mai mari de 3, este folosit și pentru alte figuri geometrice, cum ar fi hipersfera și hiperplanul . În unele texte prefixul este înlocuit cu dimensiunea și, prin urmare, vorbim de n -cub sau n- sferă: un pătrat, de exemplu, este un 2-cub, în timp ce un cub este un 3-cub.

În dimensiunea 4, hipercubul este numit tesseratto (din grecescul τέσσερις ακτίνες, sau „patru raze”, cu referire la cele patru margini care se ramifică de la fiecare vârf al figurii): este format din 24 de fețe bidimensionale pătrate și 8 fețe 3 -cubice dimensionale.

Cea mai mare diagonală a unui hipercub $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -unitatea dimensională este egală cu ${\sqrt {n}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$ . În schimb a spus $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ lungimea muchiei, diagonala mai mare decât una $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -cub va avea lungimea d egală cu $d=l{\sqrt {n}}$ ${\ displaystyle d = l {\ sqrt {n}}}$ ${\ displaystyle d = l {\ sqrt {n}}}$ .

Definiție

Hipercubul de dimensiunea n este politopul $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ conținut în spațiul euclidian n- dimensional $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , definit de

C=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ |x_{i}|\leqslant 1\ \forall i=1,\ldots ,n\}.

{\ displaystyle C = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ | \ | x_ {i} | \ leqslant 1 \ \ forall i = 1, \ ldots, n \}.}

C = \ {(x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ | \ | x_ {i} | \ leqslant 1 \ \ forall i = 1, \ ldots, n \}.

Este deci mulțimea formată din toate punctele având coordonate între -1 și 1. Originea $(0,\ldots ,0)$ ${\ displaystyle (0, \ ldots, 0)}$ $(0, \ ldots, 0)$ aparține hipercubului și este centrul său.

Fețele $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -hipercubul dimensional sunt intersecțiile ne-goale ale $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ cu $n-k$ ${\ displaystyle nk}$ $n-k$ hiperplane distincte ale ecuației de tip

x_{i}=\pm 1.

{\ displaystyle x_ {i} = \ pm 1.}

x_ {i} = \ pm 1.

Pentru $k=0,1$ ${\ displaystyle k = 0,1}$ $k = 0,1$ o singură față $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -dimensional se numește vârf și respectiv margine .

Caracteristici

Fețe

A $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ --Fata unui hipercub $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este el însuși un hipercub, de dimensiune $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

Vârfuri

Hipercubul n- dimensional $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ are $2^{n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ $2 ^ {n}$ vârfuri: acestea sunt toate punctele care au $+1$ ${\ displaystyle +1}$ $+1$ sau $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ în fiecare coordonată. De exemplu, cubul tridimensional are 8 vârfuri, date de

(1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1)

{\ displaystyle (1,1,1), (1,1, -1), (1, -1,1), (1, -1, -1), (- 1,1,1), (- 1,1, -1), (- 1, -1,1), (- 1, -1, -1)}

(1,1,1), (1,1, -1), (1, -1,1), (1, -1, -1), (- 1,1,1), (- 1,1 , -1), (- 1, -1,1), (- 1, -1, -1)

iar cardul are $16$ ${\ displaystyle 16}$ $16$ vârfuri.

Margini

Hipercubul n-dimensional $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ are $n2^{n}/2$ ${\ displaystyle n2 ^ {n} / 2}$ $n2 ^ {n} / 2$ margini. Deținătorul cardului, de exemplu, are $32$ ${\ displaystyle 32}$ $32$ margini.

Fețe de dimensiune generică k

Fețele de dimensiuni maxime $k=n-1$ ${\ displaystyle k = n-1}$ $k = n-1$ formă $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ subhipercuburi de dimensiune $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ , dat de intersecțiile dintre $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ cu i $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ hiperplane de ecuație $x_{i}=\pm 1$ ${\ displaystyle x_ {i} = \ pm 1}$ $x_ {i} = \ pm 1$ , dupa cum $i=1,\ldots ,n$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ $i = 1, \ ldots, n$ și a semnului $\pm 1$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ . De exemplu, pătratul are 4 „fețe” (marginile), cubul are 6 fețe (pătrate), iar teseratto are 8: aceste 8 fețe sunt cuburi tridimensionale.

Se poate arăta că numărul fețelor k-dimensionale ale unui hipercub n-dimensional este egal cu ${n-k{\mbox{ numeri}}} \atop {\overbrace {\frac {2n\cdot 2(n-1)\cdot ...\cdot 2(k+1)}{(n-k)!}} }$ ${\ displaystyle {nk {\ mbox {numbers}}} \ atop {\ overbrace {\ frac {2n \ cdot 2 (n-1) \ cdot ... \ cdot 2 (k + 1)} {(nk)! }}}}$ ${{nk {\ mbox {numbers}}} \ atop {\ overbrace {\ frac {2n \ cdot 2 (n-1) \ cdot ... \ cdot 2 (k + 1)} {(nk)!}} }}$

Colectarea $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , noi obținem: ${\frac {2^{n-k}\cdot n(n-1)\cdot ...\cdot (k+1)}{(n-k)!}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {nk} \ cdot n (n-1) \ cdot ... \ cdot (k + 1)} {(nk)!}}}$ ${\ frac {2 ^ {n-k} \ cdot n (n-1) \ cdot ... \ cdot (k + 1)} {(n-k)!}}$ .

Termenii $n(n-1)\cdot ...\cdot (k+1)$ ${\ displaystyle n (n-1) \ cdot ... \ cdot (k + 1)}$ $n (n-1) \ cdot ... \ cdot (k + 1)$ poate fi rescris ca: ${\frac {n!}{k!}}$ ${\ displaystyle {\ frac {n!} {k!}}}$ ${\ frac {n!} {k!}}$ , astfel formula devine:

${\frac {2^{n-k}n!}{k!(n-k)!}}=2^{n-k}{n \choose k}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {nk} n!} {k! (nk)!}} = 2 ^ {nk} {n \ alege k}}$ ${\ frac {2 ^ {n-k} n!} {k! (n-k)!}} = 2 ^ {n-k} {n \ alege k}$ .

În practică, dezvoltarea puterii binomului $(2+1)^{n}$ ${\ displaystyle (2 + 1) ^ {n}}$ $(2 + 1) ^ {n}$ conform schemei generice $(a+b)^{n}$ ${\ displaystyle (a + b) ^ {n}}$ $(a + b) ^ {n}$ (ordonate prin puteri descrescătoare ale „a”) avem, în ordine, numărul fețelor cu dimensiunea 0,1,2, ..., n a hipercubului n-dimensional; de exemplu, pentru titularul cardului:

$(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}=>(2+1)^{4}=16+32+24+8+1$ ${\ displaystyle (a + b) ^ {4} = a ^ {4} + 4a ^ {3} b + 6a ^ {2} b ^ {2} + 4ab ^ {3} + b ^ {4} => (2 + 1) ^ {4} = 16 + 32 + 24 + 8 + 1}$ $(a + b) ^ {4} = a ^ {4} + 4a ^ {3} b + 6a ^ {2} b ^ {2} + 4ab ^ {3} + b ^ {4} => (2+ 1) ^ {4} = 16 + 32 + 24 + 8 + 1$

adică 16 vârfuri, 32 de muchii, 24 de fețe, 8 celule, (1 hipercub 4-dimensional).

Mai mult, într-un hipercub n-dimensional, suma numărului de elemente ale sale de diferite dimensiuni (vârfuri, margini, fețe, celule etc.) este egală cu $3^{n}$ ${\ displaystyle 3 ^ {n}}$ $3 ^ {n}$ .

Grup de simetrie

Un hipercub n-dimensional are un grup de simetrie de cardinalitate $n!2^{n}$ ${\ displaystyle n! 2 ^ {n}}$ ${\ displaystyle n! 2 ^ {n}}$ . Acest lucru se obține considerând că odată ce vârfurile unei fețe (n-1) sunt fixate, toate celelalte vârfuri sunt obligatorii. Apoi, indicând cu $G_{n}$ ${\ displaystyle G_ {n}}$ $G_ {n}$ cardinalitatea grupului de simetrie al n-cubului (și amintind că n-cubul are 2n (n-1) „fețe” -dimensionale) rezultă că $G_{n}=(2n)G_{n-1}$ ${\ displaystyle G_ {n} = (2n) G_ {n-1}}$ ${\ displaystyle G_ {n} = (2n) G_ {n-1}}$ că, împreună cu condiția evidentă $G_{0}=1$ ${\ displaystyle G_ {0} = 1}$ ${\ displaystyle G_ {0} = 1}$ face să încheiem $G_{n}=n!2^{n}$ ${\ displaystyle G_ {n} = n! 2 ^ {n}}$ ${\ displaystyle G_ {n} = n! 2 ^ {n}}$ .

Posibilitatea abstractizării

Se știe că un cub poate fi obținut prin translatarea unui pătrat perpendicular pe sine în afara planului care îl conține, la fel cum un pătrat este translația unui segment de -a lungul unei direcții perpendiculare pe acesta. În mod similar, un hipercub în patru dimensiuni este obținut prin traducerea unui cub perpendicular pe sine. Pentru a realiza imposibilitatea vizualizării unui hipercub în patru dimensiuni de către o ființă umană, „născută și crescută” într-un spațiu tridimensional, ne putem concentra asupra acestui ultim exemplu, și în special asupra condiției, imposibilă pentru noi de a concepe, perpendicular pe un solid tridimensional.

Dacă o ființă ipotetică bidimensională (neglijând în mod evident faptul că, nefiind înzestrată cu materie, nici nu ar putea exista) care a trăit pentru simplitate pe o foaie de hârtie, pe care este desenat un pătrat, ar încerca să-și imagineze un cub dimensional încercând să vizualizeze mental direcția de-a lungul căreia acest pătrat ar trebui să fie tradus pentru a obține cubul, nu ar putea concepe niciodată o direcție care iese din foaie și ortogonală în pătrat, deoarece nu aparține universului său spațial . În schimb, el s-ar putea concentra doar pe direcțiile infinite situate pe foaie, dar nu pe cea care generează cubul.

De asemenea, este complet imposibil pentru noi să ne imaginăm o direcție din spațiul nostru tridimensional, de-a lungul căruia un cub trebuie să fie tradus pentru a genera un hipercub. Dacă am încerca să ne imaginăm această direcție posibilă, am continua să o căutăm fără succes printre liniile infinite care trec prin spațiu, la fel cum ființa bidimensională de mai sus ar fi capabilă să-și imagineze doar liniile infinite care trec de-a lungul planului pe care trăiește.

Cu toate acestea, este interesant de observat că, deși nu este posibil să vizualizăm și să concepem acest tip de solide, este totuși posibil să le studiem proprietățile matematice și geometrice, exact ca ființa bidimensională din exemplul anterior, chiar dacă este absolut imposibil să concepem un cub tridimensional, îl putem studia ca un obiect matematic la egalitate cu ceea ce putem face cu hipercubul.

Hipercuburi principale

Segment
(unidimensional)
Pătrat
(bidimensional)
cub
(tridimensional)
Tesseratto
(cu patru dimensiuni)
Penteract
(în cinci dimensiuni)
Eseratto
(hexadimensional)
Etteratto
(heptadimensional)
Am înțeles
(octadimensional)
Enneratto
(ennadimensional)
Decheratto
(decadimensional)
Endecheratto
(endecadimensional)
Dodecheratto
(cu douăsprezece dimensiuni)

Hipercubul în cultura de masă

Arhitectură

Monumentalul Arco de La Défense din Paris , inaugurat în 1989, este un hipercub aproape perfect golit în centru (înălțime 110 m , lățime 112, adâncime 108 m ).

Sculptură

„L'ipercubo” de Attilio Pierelli este o realizare artistică situată în afara Departamentului de Matematică al Universității din Roma Tor Vergata .

Pictura

Corpus Hypercubus , pictată de Salvador Dalí , îl reprezintă pe Hristos răstignit pe dezvoltarea tridimensională a unui tesseratto.

Literatură

O casă de cărți este protagonistul poveștii matematice a lui Robert Heinlein Casa nouă . În această poveste plină de umor , arhitectului și proprietarilor săi le este greu să se miște prin camere și să se deplaseze între interiorul și exteriorul casei inovatoare. În special, casa este un hipercub dezvoltat în spațiu, deci este alcătuită din patru camere cubice dispuse una peste alta (patru etaje) și patru camere dispuse ca balcoane în jurul camerei de la primul etaj. Problema este că această casă este construită lângă Faglia di Sant'Andrea și, în timp ce vizitatorii sunt cu toții în interiorul unui cutremur „închide” casa pe ea însăși (în a patra dimensiune), astfel încât nimeni să nu poată ieși.
În romanul The Transhumans al lui Robert J. Sawyer (titlul original Factoring Humanity ), un profesor de la Universitatea din Toronto este angajat în provocarea de a descifra un enigmatic mesaj extraterestru.
Charles Howard Hinton și-a dedicat cea mai mare parte a operei sale literare explorării celei de-a patra dimensiuni.
În Flatland , de Edwin Abbott Abbott , figurile plane nu sunt capabile să concepă existența solidelor, deoarece sunt incapabile să înțeleagă o linie dreaptă ortogonală cu planul de care aparțin. Cei care cred în existența unei a treia dimensiuni sunt considerați nebuni și arestați. În același mod, sferele nu sunt capabile să înțeleagă existența hipersferelor și nici a cuburilor pe cea a hipercuburilor.

Muzică

Trupa djent britanică Tesseract își ia numele de la „ hipercub dimensional .
Este menționat în piesa Non Finerà de I Cani . ^[1]
Into my Hypercube este o melodie din 1989, trupa thrash canadian Voivod . Cu un text foarte evocator ^[2], pasajul descrie a patra dimensiune , care poate fi accesată printr-un portal-hipercub. ^[3]

Cinema

Cubul 2 - Hypercube (2002) are loc într-o închisoare construită cu o structură de hipercub.
Evangelion: 1.0 You Are (Not) Alone (2007), al cincilea înger Ramiel își schimbă corpul într-o formă care amintește de dezvoltarea tridimensională a unui hipercub.
Flatland ( 2007 ) este un film de animație al regizorului Jeffrey Travis , bazat pe cartea cu același nume a lui Edwin Abbott Abbott .
S. Darko (2009) în film cad niște meteoriți pe Pământ care se numesc tesseratti.
În Captain America - The First Avenger (2011), nazistul Johann Schmidt ( Red Skull ) numește Tesseract Cubul Cosmic , un artefact cubic albastru foarte puternic găsit în Norvegia și capabil să furnizeze energie nelimitată, care, potrivit lui Schmidt, făcea parte din colecția de Odin .
În filmul The Avengers (2012), Loki , fratele vitreg al lui Thor , folosește Tesseractul deja văzut în filmul Captain America - The First Avenger pentru a deschide un pod spațial , putând astfel să-i conducă pe Chitauri pe Pământ , declarând război aceasta.
În filmul Interstellar (2014) Cooper, protagonistul, intră într-o gaură neagră și, ajunsă la singularitate, se află de fapt într-un artefact în formă de carte.
Evangelion: 3.0 You Can (Not) Redo (2012), sicriul care conține unitatea Evangelion 01, în spațiu, amintește de dezvoltarea unui hipercub.

Cărți de benzi desenate

În Dylan Dog numărul 63 intitulat Maelstrom! , adunarea vrăjitoarelor trebuie să aibă loc într-o casă care se dovedește a fi un tesseratto .

Notă

^ https://www.youtube.com/watch?v=Ar7F4A9JuKs
^ Voivod - Into My Hypercube Versuri | MetroLyrics , la www.metrolyrics.com . Accesat la 5 octombrie 2016 .
^ hurr, Voivod - Into My Hypercube , 30 noiembrie 2009. Adus pe 5 octombrie 2016 .

Bibliografie

Charles Howard Hinton , Care este a patra dimensiune? , 1884.
Edwin A. Abbott , Flatland - A Romance of Many Dimensions, 1884 (trad. It. Flatland - Fantastic Tale of Many Dimensions, Adelphi , Milano, 1993)
( FR ) Gaston de Pawlowski , Voyage au pays de la quatrième dimension , 1st ed. 1912, ed. Images Modernes, 2004, ISBN 978-2-913355-24-8 , ISBN 2-913355-24-2
Henry Martin Cundy și AP Rollett, Modelele matematice , Milano, Feltrinelli, 1974.
Maria Dedò, Forme, simetrie și topologie , Bologna, Decibel și Zanichelli, 1999, ISBN 88-08-09615-7 .
L. Berzolari, G. Vivanti, D. Gigli (editat de), Enciclopedia matematicii elementare , Milano, Ulrico Hoepli, 1979, ISBN 88-203-0265-9 .
Robert Heinlein, Noua casă din Claudio Bartocci (editat de), Povești matematice , Torino, Einaudi, 2006, ISBN 88-06-18321-4
Rudy Rucker , A patra dimensiune. O călătorie ghidată în universurile unui ordin superior , Milano, Adelphi, 1994, ISBN 88-459-1075-X .