Hipersfera

Proiecția stereografică a paralelelor (roșu), meridianelor (albastru) și hipermeridianelor (verde) ale unei hipersfere. Datorită proprietății conformale a proiecției stereografice, cele trei tipuri de curbe se intersectează într-un mod ortogonal (în punctele galbene), așa cum se întâmplă în 4 dimensiuni. Toate curbele menționate anterior sunt cercuri: cele care trec prin centrul de proiecție <0,0,0,1> au o rază infinită (sunt linii drepte).

În matematică și în special în geometrie , o hipersferă este analogul unei sfere în mai mult de trei dimensiuni. O hipersferă de raze $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ în spațiul euclidian $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional constă din toate punctele care au distanță $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ dintr-un punct fix dat $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , numit centrul hipersferei

S_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|=r\right\}

{\ displaystyle S_ {n} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ left \ | xP \ right \ | = r \ right \}}

{\ displaystyle S_ {n} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ left \ | x-P \ right \ | = r \ right \}}

și, prin urmare, reprezintă o suprafață, adică o varietate $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ -dimensional scufundat în spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional. Din acest motiv, pe unele texte, în special în topologie , este indicat cu $S_{n-1}$ ${\ displaystyle S_ {n-1}}$ ${\ displaystyle S_ {n-1}}$ in loc de $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ . În acest articol, acesta va fi indicat cu $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ , pentru a clarifica unele relații matematice. Cu toate acestea, vom menționa notația utilizată în topologie în ultimul paragraf.

În spațiul euclidian, hipersfera $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ este frontiera mingii $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional închis, care este ansamblul tuturor punctelor care au o distanță mai mică sau egală cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ dintr-un punct dat $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$

{\overline {V}}_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|\leqslant r\right\},

{\ displaystyle {\ overline {V}} _ {n} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ left \ | xP \ right \ | \ leqslant r \ right \},}

{\ displaystyle {\ overline {V}} _ {n} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ left \ | x-P \ right \ | \ leqslant r \ right \},}

și închide mingea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional deschis, care este ansamblul tuturor punctelor care au o distanță mai mică de $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ dintr-un punct dat $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$

V_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|<r\right\}.

{\ displaystyle V_ {n} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ left \ | xP \ right \ | <r \ right \}.}

{\ displaystyle V_ {n} = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: \ left \ | x-P \ right \ | <r \ right \}.}

De exemplu:

în spațiul euclidian unidimensional, adică linia , $S_{1}$ ${\ displaystyle S_ {1}}$ $S_1$ este o pereche de puncte care delimitează $V_{1}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ $V_ {1}$ care este un segment ;
în spațiul euclidian bidimensional, adică planul , $S_{2}$ ${\ displaystyle S_ {2}}$ $S_2$ este o circumferință care delimitează $V_{2}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ care este un cerc ;
în spațiul euclidian tridimensional, $S_{3}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ $S_ {3}$ este o suprafață sferică obișnuită care delimitează $V_{3}$ ${\ displaystyle V_ {3}}$ ${\ displaystyle V_ {3}}$ care este interiorul sferei .

Reprezentarea unei hipersfere

În coordonate carteziene $\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$ ${\ displaystyle \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n} \ right)}$ , ecuația

\left\|x-P\right\|=r

{\ displaystyle \ left \ | xP \ right \ | = r}

{\ displaystyle \ left \ | x-P \ right \ | = r}

a unei hipersfere centrale $P=\left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}\right)$ ${\ displaystyle P = \ left (p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle P = \ left (p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n} \ right)}$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ tu o scrii

(x_{1}-p_{1})^{2}+(x_{2}-p_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-p_{n})^{2}=r^{2}

{\ displaystyle (x_ {1} -p_ {1}) ^ {2} + (x_ {2} -p_ {2}) ^ {2} + \ cdots + (x_ {n} -p_ {n}) ^ {2} = r ^ {2}}

{\ displaystyle (x_ {1} -p_ {1}) ^ {2} + (x_ {2} -p_ {2}) ^ {2} + \ cdots + (x_ {n} -p_ {n}) ^ {2} = r ^ {2}}

O hipersferă de raze $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și centru $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ poate fi reprezentat și în formă parametrică prin următoarele ecuații:

{\begin{aligned}x_{1}&=p_{1}+r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=p_{2}+r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=p_{3}+r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\\vdots \\x_{n-1}&=p_{n-1}+r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=p_{n}+r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} & = p_ {1} + r \ cos (\ phi _ {1}) \\ x_ {2} & = p_ {2} + r \ sin (\ phi _ {1}) \ cos (\ phi _ {2}) \\ x_ {3} & = p_ {3} + r \ sin (\ phi _ {1}) \ sin (\ phi _ {2}) \ cos (\ phi _ {3}) \\\ vdots \\ x_ {n-1} & = p_ {n-1} + r \ sin (\ phi _ {1}) \ cdots \ sin (\ phi _ { n-2}) \ cos (\ phi _ {n-1}) \\ x_ {n} & = p_ {n} + r \ sin (\ phi _ {1}) \ cdots \ sin (\ phi _ { n-2}) \ sin (\ phi _ {n-1}) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} & = p_ {1} + r \ cos (\ phi _ {1}) \\ x_ {2} & = p_ {2} + r \ sin (\ phi _ {1}) \ cos (\ phi _ {2}) \\ x_ {3} & = p_ {3} + r \ sin (\ phi _ {1}) \ sin (\ phi _ {2}) \ cos (\ phi _ {3}) \\\ vdots \\ x_ {n-1} & = p_ {n-1} + r \ sin (\ phi _ {1}) \ cdots \ sin (\ phi _ { n-2}) \ cos (\ phi _ {n-1}) \\ x_ {n} & = p_ {n} + r \ sin (\ phi _ {1}) \ cdots \ sin (\ phi _ { n-2}) \ sin (\ phi _ {n-1}) \ end {align}}}

unde ultima variabilă unghiulară $\phi _{n-1}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n-1}}$ $\ phi _ {{n-1}}$ variază pe o gamă de amplitudine $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ în timp ce celelalte variază un interval de amplitudine $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .

Coordonate hipersferice

Strâns legată de reprezentarea parametrică a unei hipersfere este definiția coordonatelor hipersferei.

Într-un spațiu euclidian $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, pe lângă coordonatele carteziene, putem defini un sistem de coordonate analog sistemului de coordonate sferice definit pentru spațiul euclidian $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ -dimensional, în care coordonatele constau dintr-o coordonată radială $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , și $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ coordonate unghiulare $\phi _{1},\phi _{2},\ldots ,\phi _{n-1}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ phi _ {n-1}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ ldots, \ phi _ {n-1}}$ . De sine $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ sunt coordonatele carteziene, atunci putem defini

{\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\\vdots \\x_{i}&=r\prod _{t=1}^{i-1}\sin(\phi _{t})\cos(\phi _{i})\quad {\text{con}}\quad 2\leq i\leq n-1\\\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})=r\prod _{t=1}^{n-1}\sin(\phi _{t})\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} & = r \ cos (\ phi _ {1}) \\ x_ {2} & = r \ sin (\ phi _ {1}) \ cos (\ phi _ {2}) \\ x_ {3} & = r \ sin (\ phi _ {1}) \ sin (\ phi _ {2}) \ cos (\ phi _ {3}) \\\ vdots \\ x_ {i} & = r \ prod _ {t = 1} ^ {i-1} \ sin (\ phi _ {t}) \ cos (\ phi _ {i}) \ quad {\ text {con}} \ quad 2 \ leq i \ leq n-1 \\\ vdots \\ x_ {n-1} & = r \ sin (\ phi _ {1}) \ cdots \ sin (\ phi _ {n-2}) \ cos (\ phi _ {n-1}) \\ x_ {n} & = r \ sin (\ phi _ {1}) \ cdots \ sin (\ phi _ {n-2}) \ sin (\ phi _ {n-1}) = r \ prod _ {t = 1} ^ {n-1} \ sin (\ phi _ {t}) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} & = r \ cos (\ phi _ {1}) \\ x_ {2} & = r \ sin (\ phi _ {1}) \ cos (\ phi _ {2}) \\ x_ {3} & = r \ sin (\ phi _ {1}) \ sin (\ phi _ {2}) \ cos (\ phi _ {3}) \\\ vdots \\ x_ {i} & = r \ prod _ {t = 1} ^ {i-1} \ sin (\ phi _ {t}) \ cos (\ phi _ {i}) \ quad {\ text {con}} \ quad 2 \ leq i \ leq n-1 \\\ vdots \\ x_ {n-1} & = r \ sin (\ phi _ {1}) \ cdots \ sin (\ phi _ {n-2}) \ cos (\ phi _ {n-1}) \\ x_ {n} & = r \ sin (\ phi _ {1}) \ cdots \ sin (\ phi _ {n-2}) \ sin (\ phi _ {n-1}) = r \ prod _ {t = 1} ^ {n-1} \ sin (\ phi _ {t}) \ end {align}}}

După cum am văzut mai devreme, aceste ecuații oferă, de asemenea, reprezentarea parametrică a unei hipersfere, dacă fixăm coordonata radială $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ care va corespunde razei hipersferei reprezentate, presupunând că este centrată la origine.

Din acestea se pot obține următoarele transformări inverse:

{\begin{aligned}\tan(\phi _{n-1})&={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}\\\tan(\phi _{n-2})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}\\\vdots \\\tan(\phi _{1})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tan (\ phi _ {n-1}) & = {\ frac {x_ {n}} {x_ {n-1}}} \\\ tan (\ phi _ { n-2}) & = {\ frac {\ sqrt {{x_ {n}} ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2}}} {x_ {n-2}}} \\ \ vdots \\\ tan (\ phi _ {1}) & = {\ frac {\ sqrt {{x_ {n}} ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2} + \ cdots + {x_ {2}} ^ {2}}} {x_ {1}}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tan (\ phi _ {n-1}) & = {\ frac {x_ {n}} {x_ {n-1}}} \\\ tan (\ phi _ { n-2}) & = {\ frac {\ sqrt {{x_ {n}} ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2}}} {x_ {n-2}}} \\ \ vdots \\\ tan (\ phi _ {1}) & = {\ frac {\ sqrt {{x_ {n}} ^ {2} + {x_ {n-1}} ^ {2} + \ cdots + {x_ {2}} ^ {2}}} {x_ {1}}} \ end {align}}}

Rețineți că ultimul colț $\phi _{n-1}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n-1}}$ $\ phi _ {{n-1}}$ variază pe o gamă de amplitudine $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ în timp ce celelalte unghiuri variază într-un interval de amplitudine $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . Această gamă acoperă întreaga hipersferă.

Elementul hipervolum în spațiul euclidian $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional se obține din Jacobianul transformării:

{\begin{aligned}d_{\mathbb {R} ^{n}}V_{n}&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} d _ {\ mathbb {R} ^ {n}} V_ {n} & = \ left | \ det {\ frac {\ partial (x_ {i})} {\ partial ( r, \ phi _ {j})}} \ right | dr \, d \ phi _ {1} \, d \ phi _ {2} \ ldots d \ phi _ {n-1} \\ & = r ^ {n-1} \ sin ^ {n-2} (\ phi _ {1}) \ sin ^ {n-3} (\ phi _ {2}) \ cdots \ sin (\ phi _ {n-2} ) \, dr \, d \ phi _ {1} \, d \ phi _ {2} \ cdots d \ phi _ {n-1} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} d _ {\ mathbb {R} ^ {n}} V_ {n} & = \ left | \ det {\ frac {\ partial (x_ {i})} {\ partial ( r, \ phi _ {j})}} \ right | dr \, d \ phi _ {1} \, d \ phi _ {2} \ ldots d \ phi _ {n-1} \\ & = r ^ {n-1} \ sin ^ {n-2} (\ phi _ {1}) \ sin ^ {n-3} (\ phi _ {2}) \ cdots \ sin (\ phi _ {n-2} ) \, dr \, d \ phi _ {1} \, d \ phi _ {2} \ cdots d \ phi _ {n-1} \ end {align}}}

iar ecuația pentru hipervolumul hipersferei poate fi obținută prin următoarea integrare:

V_{n}=\int _{r=0}^{R}\int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }d_{\mathbb {R} ^{n}}V_{n}.

{\ displaystyle V_ {n} = \ int _ {r = 0} ^ {R} \ int _ {\ phi _ {1} = 0} ^ {\ pi} \ cdots \ int _ {\ phi _ {n- 2} = 0} ^ {\ pi} \ int _ {\ phi _ {n-1} = 0} ^ {2 \ pi} d _ {\ mathbb {R} ^ {n}} V_ {n}.}

{\ displaystyle V_ {n} = \ int _ {r = 0} ^ {R} \ int _ {\ phi _ {1} = 0} ^ {\ pi} \ cdots \ int _ {\ phi _ {n- 2} = 0} ^ {\ pi} \ int _ {\ phi _ {n-1} = 0} ^ {2 \ pi} d _ {\ mathbb {R} ^ {n}} V_ {n}.}

Elementul hipersuprafață $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ -dimensională a hipersferei, care generalizează elementul de zonă al suprafeței sferice $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ -dimensional în spațiu $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ -dimensional, este dat de:

d_{S_{n}}V_{n-1}=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\ldots d\phi _{n-1}

{\ displaystyle d_ {S_ {n}} V_ {n-1} = r ^ {n-1} \ sin ^ {n-2} (\ phi _ {1}) \ sin ^ {n-3} (\ phi _ {2}) \ cdots \ sin (\ phi _ {n-2}) \, d \ phi _ {1} \, d \ phi _ {2} \ ldots d \ phi _ {n-1}}

{\ displaystyle d_ {S_ {n}} V_ {n-1} = r ^ {n-1} \ sin ^ {n-2} (\ phi _ {1}) \ sin ^ {n-3} (\ phi _ {2}) \ cdots \ sin (\ phi _ {n-2}) \, d \ phi _ {1} \, d \ phi _ {2} \ ldots d \ phi _ {n-1}}

si tu ai

d_{\mathbb {R} ^{n}}V_{n}=dr\ d_{S_{n}}V_{n-1}.

{\ displaystyle d _ {\ mathbb {R} ^ {n}} V_ {n} = dr \ d_ {S_ {n}} V_ {n-1}.}

{\ displaystyle d _ {\ mathbb {R} ^ {n}} V_ {n} = dr \ d_ {S_ {n}} V_ {n-1}.}

Hipervolum și hipersuprafață

Când vorbim de „volum” , sau mai adecvat de hipervolum , de o hipersferă $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ , de fapt se referă la măsură $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensională a mingii corespunzătoare $V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$ $V_ {n}$ . Pe de altă parte, atunci când vorbim de „suprafață” , sau mai adecvat de măsurare hipersuprafață , de o hipersferă $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ , ne referim la dimensiunea sa $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ -dimensional. Măsura Lebesgue este de obicei considerată ca o măsură .

După ce am clarificat acest lucru, se arată că hipervolumul hipersferei este dat de:

V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n},

{\ displaystyle V_ {n} (r) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}} + 1)}} r ^ {n},}

{\ displaystyle V_ {n} (r) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}} + 1)}} r ^ {n},}

unde este $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ denotă funcția Gamma .

În schimb, măsura hipersuprafeței hipersferei este dată de:

S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n-1}.

{\ displaystyle S_ {n} (r) = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} r ^ { n-1}.}

{\ displaystyle S_ {n} (r) = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} r ^ { n-1}.}

Demonstrație

Calculul măsurării hipersuprafeței

Observăm că se dovedește

\int _{R^{n}}e^{-{x_{1}}^{2}-{x_{2}}^{2}-\cdots -{x_{n}}^{2}}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{x_{1}}^{2}}dx_{1}\right)\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{x_{2}}^{2}}dx_{2}\right)\cdots \left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{x_{n}}^{2}}dx_{n}\right)=\pi ^{\frac {n}{2}}

{\ displaystyle \ int _ {R ^ {n}} e ^ {- {x_ {1}} ^ {2} - {x_ {2}} ^ {2} - \ cdots - {x_ {n}} ^ { 2}} dx_ {1} dx_ {2} \ cdots dx_ {n} = \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- {x_ {1}} ^ {2}} dx_ {1} \ right) \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- {x_ {2}} ^ {2}} dx_ {2} \ right) \ cdots \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- {x_ {n}} ^ {2}} dx_ {n} \ right) = \ pi ^ {\ frac {n} {2} }}

{\ displaystyle \ int _ {R ^ {n}} e ^ {- {x_ {1}} ^ {2} - {x_ {2}} ^ {2} - \ cdots - {x_ {n}} ^ { 2}} dx_ {1} dx_ {2} \ cdots dx_ {n} = \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- {x_ {1}} ^ {2}} dx_ {1} \ right) \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- {x_ {2}} ^ {2}} dx_ {2} \ right) \ cdots \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- {x_ {n}} ^ {2}} dx_ {n} \ right) = \ pi ^ {\ frac {n} {2} }}

întrucât este produsul n integrale gaussiene .

Pe de altă parte, amintindu-ne de ecuația hipersferei în coordonate carteziene, dacă hipersfera este centrată la origine, raza acesteia este dată de

r={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}}}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {{x_ {1}} ^ {2} + {x_ {2}} ^ {2} + \ cdots + {x_ {n}} ^ {2}}}}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {{x_ {1}} ^ {2} + {x_ {2}} ^ {2} + \ cdots + {x_ {n}} ^ {2}}}}

și, mai mult, integrala extinsă la întregul spațiu $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ poate fi scris ca integral obținut prin adăugarea tuturor contribuțiilor care apar în coroanele hipersferice cu grosime infinitesimală $d r$ ${\ displaystyle dr}$ ${\ displaystyle dr}$ centrat în origine, adică

\int _{R^{n}}e^{-{x_{1}}^{2}-{x_{2}}^{2}-\cdots -{x_{n}}^{2}}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}S_{n}(r)dr

{\ displaystyle \ int _ {R ^ {n}} e ^ {- {x_ {1}} ^ {2} - {x_ {2}} ^ {2} - \ cdots - {x_ {n}} ^ { 2}} dx_ {1} dx_ {2} \ cdots dx_ {n} = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- r ^ {2}} S_ {n} (r) dr}

{\ displaystyle \ int _ {R ^ {n}} e ^ {- {x_ {1}} ^ {2} - {x_ {2}} ^ {2} - \ cdots - {x_ {n}} ^ { 2}} dx_ {1} dx_ {2} \ cdots dx_ {n} = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- r ^ {2}} S_ {n} (r) dr}

Din cele două identități, obținem

\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}S_{n}(r)dr=\pi ^{\frac {n}{2}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- r ^ {2}} S_ {n} (r) dr = \ pi ^ {\ frac {n} {2}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- r ^ {2}} S_ {n} (r) dr = \ pi ^ {\ frac {n} {2}}}

Acum observăm că măsura hipersuprafeței unei hipersfere cu raza r este legată de măsura hipersuprafeței unei hipersfere cu rază unitară în felul următor:

S_{n}(r)=S_{n}(1)r^{n-1}

{\ displaystyle S_ {n} (r) = S_ {n} (1) r ^ {n-1}}

{\ displaystyle S_ {n} (r) = S_ {n} (1) r ^ {n-1}}

Apoi, din identitatea anterioară pe care o avem

\pi ^{\frac {n}{2}}=S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-r^{2}}r^{n-1}dr

{\ displaystyle \ pi ^ {\ frac {n} {2}} = S_ {n} (1) \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- r ^ {2}} r ^ {n -1} dr}

{\ displaystyle \ pi ^ {\ frac {n} {2}} = S_ {n} (1) \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- r ^ {2}} r ^ {n -1} dr}

În această integrală, operăm substituția

r={\sqrt {t}}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {t}}}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {t}}}

de la care

dr={\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}dt

{\ displaystyle dr = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {t}}}} dt}

{\ displaystyle dr = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {t}}}} dt}

Procedând astfel, obținem

\pi ^{\frac {n}{2}}=S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-t}\left({\sqrt {t}}\right)^{n-1}{\frac {1}{2{\sqrt {t}}}}dt={\frac {1}{2}}S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-t}\left({\sqrt {t}}\right)^{n-2}dt={\frac {1}{2}}S_{n}(1)\int _{0}^{+\infty }e^{-t}t^{{\frac {n}{2}}-1}dt

{\ displaystyle \ pi ^ {\ frac {n} {2}} = S_ {n} (1) \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- t} \ left ({\ sqrt {t }} \ right) ^ {n-1} {\ frac {1} {2 {\ sqrt {t}}}} dt = {\ frac {1} {2}} S_ {n} (1) \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- t} \ left ({\ sqrt {t}} \ right) ^ {n-2} dt = {\ frac {1} {2}} S_ {n} (1) \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- t} t ^ {{\ frac {n} {2}} - 1} dt}

{\ displaystyle \ pi ^ {\ frac {n} {2}} = S_ {n} (1) \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- t} \ left ({\ sqrt {t }} \ right) ^ {n-1} {\ frac {1} {2 {\ sqrt {t}}}} dt = {\ frac {1} {2}} S_ {n} (1) \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- t} \ left ({\ sqrt {t}} \ right) ^ {n-2} dt = {\ frac {1} {2}} S_ {n} (1) \ int _ {0} ^ {+ \ infty} e ^ {- t} t ^ {{\ frac {n} {2}} - 1} dt}

În ultima integrală, definiția funcției Gamma este ușor de recunoscut, așa că avem

\pi ^{\frac {n}{2}}={\frac {1}{2}}S_{n}(1)\cdot \Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)

{\ displaystyle \ pi ^ {\ frac {n} {2}} = {\ frac {1} {2}} S_ {n} (1) \ cdot \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2} } \ dreapta)}

{\ displaystyle \ pi ^ {\ frac {n} {2}} = {\ frac {1} {2}} S_ {n} (1) \ cdot \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2} } \ dreapta)}

sau

S_{n}(1)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}

{\ displaystyle S_ {n} (1) = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}

{\ displaystyle S_ {n} (1) = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}

de la care

S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n-1}.

{\ displaystyle S_ {n} (r) = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} r ^ { n-1}.}

{\ displaystyle S_ {n} (r) = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} r ^ { n-1}.}

Relația dintre măsurarea hipervolumului și a suprafeței

Este ușor de înțeles că hipervolumul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensională a unei hipersfere, ca funcție $V_{n}(r)$ ${\ displaystyle V_ {n} (r)}$ ${\ displaystyle V_ {n} (r)}$ a razei $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , este o primitivă a măsurii $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ -dimensional $S_{n}(r)$ ${\ displaystyle S_ {n} (r)}$ ${\ displaystyle S_ {n} (r)}$ a suprafeței. De fapt, hipervolumul poate fi scris ca integral obținut prin adăugarea tuturor contribuțiilor date de hipervolumele coroanelor hipersferice cu grosime infinitesimală $d r$ ${\ displaystyle dr}$ ${\ displaystyle dr}$ centrat în origine, adică

V_{n}(r)=\int _{V_{n}}dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}=\int _{0}^{r}S_{n}(r')dr'

{\ displaystyle V_ {n} (r) = \ int _ {V_ {n}} dx_ {1} dx_ {2} \ cdots dx_ {n} = \ int _ {0} ^ {r} S_ {n} ( r ') dr'}

{\ displaystyle V_ {n} (r) = \ int _ {V_ {n}} dx_ {1} dx_ {2} \ cdots dx_ {n} = \ int _ {0} ^ {r} S_ {n} ( r ') dr'}

Alternativ, acest lucru se obține și din formula Minkowski-Steiner , în virtutea căreia rezultă

S_{n}(r)={\frac {d}{dr}}V_{n}(r)

{\ displaystyle S_ {n} (r) = {\ frac {d} {dr}} V_ {n} (r)}

{\ displaystyle S_ {n} (r) = {\ frac {d} {dr}} V_ {n} (r)}

Asa de

V_{n}(r)=\int _{0}^{r}{\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}{\left(r'\right)}^{n-1}dr'={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{n\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\frac {n}{2}}\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n}.

{\ displaystyle V_ {n} (r) = \ int _ {0} ^ {r} {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} {\ left (r '\ right)} ^ {n-1} dr' = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {n \ Gamma ( {\ frac {n} {2}})}} r ^ {n} = {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {{\ frac {n} {2}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} r ^ {n} = {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2 }} + 1)}} r ^ {n}.}

{\ displaystyle V_ {n} (r) = \ int _ {0} ^ {r} {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} {\ left (r '\ right)} ^ {n-1} dr' = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {n \ Gamma ( {\ frac {n} {2}})}} r ^ {n} = {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {{\ frac {n} {2}} \ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} r ^ {n} = {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2 }} + 1)}} r ^ {n}.}

Tabelul de valori, pe măsură ce numărul de dimensiuni variază

Numărul de dimensiuni n	Hipervolum $V_{n}(r)$ ${\ displaystyle V_ {n} (r)}$ ${\ displaystyle V_ {n} (r)}$	Măsurarea hipersuprafeței $S_{n}(r)$ ${\ displaystyle S_ {n} (r)}$ ${\ displaystyle S_ {n} (r)}$	Valoare numerica $V_{n}(1)$ ${\ displaystyle V_ {n} (1)}$ ${\ displaystyle V_ {n} (1)}$	Valoare numerica $S_{n}(1)$ ${\ displaystyle S_ {n} (1)}$ ${\ displaystyle S_ {n} (1)}$
1	$2r$ ${\ displaystyle 2r}$ ${\ displaystyle 2r}$	...	2.000.000.000	...
2	$\pi r^{2}$ ${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$	$2\pi r$ ${\ displaystyle 2 \ pi r}$ ${\ displaystyle 2 \ pi r}$	3.141.592.654	6.283.185.307
3	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ ${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$	$4\pi r^{2}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$	4.188.790.205	12.566.370.614
4	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2} r ^ {4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2} r ^ {4}}$	$2\pi ^{2}r^{3}$ ${\ displaystyle 2 \ pi ^ {2} r ^ {3}}$ ${\ displaystyle 2 \ pi ^ {2} r ^ {3}}$	4.934.802.201	19.739.208.802
5	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}$ ${\ displaystyle {\ frac {8} {15}} \ pi ^ {2} r ^ {5}}$ ${\ displaystyle {\ frac {8} {15}} \ pi ^ {2} r ^ {5}}$	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}$ ${\ displaystyle {\ frac {8} {3}} \ pi ^ {2} r ^ {4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {8} {3}} \ pi ^ {2} r ^ {4}}$	5.263.789.014	26.318.945.070
6	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ pi ^ {3} r ^ {6}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ pi ^ {3} r ^ {6}}$	$\pi ^{3}r^{5}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {3} r ^ {5}}$ ${\ displaystyle \ pi ^ {3} r ^ {5}}$	5.167.712.780	31.006.276.680
7	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}r^{7}$ ${\ displaystyle {\ frac {16} {105}} \ pi ^ {3} r ^ {7}}$ ${\ displaystyle {\ frac {16} {105}} \ pi ^ {3} r ^ {7}}$	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}r^{6}$ ${\ displaystyle {\ frac {16} {15}} \ pi ^ {3} r ^ {6}}$ ${\ displaystyle {\ frac {16} {15}} \ pi ^ {3} r ^ {6}}$	4.724.765.970	33.073.361.792
8	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}r^{8}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {24}} \ pi ^ {4} r ^ {8}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {24}} \ pi ^ {4} r ^ {8}}$	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}r^{7}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi ^ {4} r ^ {7}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi ^ {4} r ^ {7}}$	4.058.712.126	32.469.697.011
9	${\frac {32}{945}}\pi ^{4}r^{9}$ ${\ displaystyle {\ frac {32} {945}} \ pi ^ {4} r ^ {9}}$ ${\ displaystyle {\ frac {32} {945}} \ pi ^ {4} r ^ {9}}$	${\frac {32}{105}}\pi ^{4}r^{8}$ ${\ displaystyle {\ frac {32} {105}} \ pi ^ {4} r ^ {8}}$ ${\ displaystyle {\ frac {32} {105}} \ pi ^ {4} r ^ {8}}$	3.298.508.903	29.686.580.125
10	${\frac {1}{120}}\pi ^{5}r^{10}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {120}} \ pi ^ {5} r ^ {10}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {120}} \ pi ^ {5} r ^ {10}}$	${\frac {1}{12}}\pi ^{5}r^{9}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {12}} \ pi ^ {5} r ^ {9}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {12}} \ pi ^ {5} r ^ {9}}$	2.550.164.040	25.501.640.399
11	${\frac {64}{10.395}}\pi ^{5}r^{11}$ ${\ displaystyle {\ frac {64} {10.395}} \ pi ^ {5} r ^ {11}}$ ${\ displaystyle {\ frac {64} {10.395}} \ pi ^ {5} r ^ {11}}$	${\frac {64}{945}}\pi ^{5}r^{10}$ ${\ displaystyle {\ frac {64} {945}} \ pi ^ {5} r ^ {10}}$ ${\ displaystyle {\ frac {64} {945}} \ pi ^ {5} r ^ {10}}$	1.884.103.879	20.725.142.673
12	${\frac {1}{720}}\pi ^{6}r^{12}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {720}} \ pi ^ {6} r ^ {12}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {720}} \ pi ^ {6} r ^ {12}}$	${\frac {1}{60}}\pi ^{6}r^{11}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {60}} \ pi ^ {6} r ^ {11}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {60}} \ pi ^ {6} r ^ {11}}$	1.335.262.769	16.023.153.226
13	${\frac {128}{135.135}}\pi ^{6}r^{13}$ ${\ displaystyle {\ frac {128} {135.135}} \ pi ^ {6} r ^ {13}}$ ${\ displaystyle {\ frac {128} {135.135}} \ pi ^ {6} r ^ {13}}$	${\frac {128}{10.395}}\pi ^{6}r^{12}$ ${\ displaystyle {\ frac {128} {10.395}} \ pi ^ {6} r ^ {12}}$ ${\ displaystyle {\ frac {128} {10.395}} \ pi ^ {6} r ^ {12}}$	0.910.628.755	11,838,173,812
14	${\frac {1}{5.040}}\pi ^{7}r^{14}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {5.040}} \ pi ^ {7} r ^ {14}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {5.040}} \ pi ^ {7} r ^ {14}}$	${\frac {1}{360}}\pi ^{7}r^{13}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {360}} \ pi ^ {7} r ^ {13}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {360}} \ pi ^ {7} r ^ {13}}$	0.599.264.529	8.389.703.410
15	${\frac {256}{2.027.025}}\pi ^{7}r^{15}$ ${\ displaystyle {\ frac {256} {2.027.025}} \ pi ^ {7} r ^ {15}}$ ${\ displaystyle {\ frac {256} {2.027.025}} \ pi ^ {7} r ^ {15}}$	${\frac {256}{135.135}}\pi ^{7}r^{14}$ ${\ displaystyle {\ frac {256} {135.135}} \ pi ^ {7} r ^ {14}}$ ${\ displaystyle {\ frac {256} {135.135}} \ pi ^ {7} r ^ {14}}$	0.381.443.281	5.721.649.212
16	${\frac {1}{40.320}}\pi ^{8}r^{16}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {40.320}} \ pi ^ {8} r ^ {16}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {40.320}} \ pi ^ {8} r ^ {16}}$	${\frac {1}{2.520}}\pi ^{8}r^{15}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2.520}} \ pi ^ {8} r ^ {15}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2.520}} \ pi ^ {8} r ^ {15}}$	0.235.330.630	3.765.290.086
17	${\frac {512}{34.459.425}}\pi ^{8}r^{17}$ ${\ displaystyle {\ frac {512} {34.459.425}} \ pi ^ {8} r ^ {17}}$ ${\ displaystyle {\ frac {512} {34.459.425}} \ pi ^ {8} r ^ {17}}$	${\frac {512}{2.027.025}}\pi ^{8}r^{16}$ ${\ displaystyle {\ frac {512} {2.027.025}} \ pi ^ {8} r ^ {16}}$ ${\ displaystyle {\ frac {512} {2.027.025}} \ pi ^ {8} r ^ {16}}$	0.140.981.107	2.396.678.818
18	${\frac {1}{362.880}}\pi ^{9}r^{18}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {362.880}} \ pi ^ {9} r ^ {18}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {362.880}} \ pi ^ {9} r ^ {18}}$	${\frac {1}{20.160}}\pi ^{9}r^{17}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {20.160}} \ pi ^ {9} r ^ {17}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {20.160}} \ pi ^ {9} r ^ {17}}$	0.082.145.887	1.478.625.959
19	${\frac {1.024}{654.729.075}}\pi ^{9}r^{19}$ ${\ displaystyle {\ frac {1.024} {654.729.075}} \ pi ^ {9} r ^ {19}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1.024} {654.729.075}} \ pi ^ {9} r ^ {19}}$	${\frac {1.024}{34.459.425}}\pi ^{9}r^{18}$ ${\ displaystyle {\ frac {1.024} {34.459.425}} \ pi ^ {9} r ^ {18}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1.024} {34.459.425}} \ pi ^ {9} r ^ {18}}$	0.046.621.601	0,885,810,420
20	${\frac {1}{3.628.800}}\pi ^{10}r^{20}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3.628.800}} \ pi ^ {10} r ^ {20}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3.628.800}} \ pi ^ {10} r ^ {20}}$	${\frac {1}{181.440}}\pi ^{10}r^{19}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {181.440}} \ pi ^ {10} r ^ {19}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {181.440}} \ pi ^ {10} r ^ {19}}$	0,025,806,891	0.516.137.828

Tendința hipervolumului $V_{n}(1)$ ${\ displaystyle V_ {n} (1)}$ ${\ displaystyle V_ {n} (1)}$ relativ la hipersfera unitară pe măsură ce numărul se schimbă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ de dimensiuni, având în vedere și extrapolarea funcției $V_{x}(1)$ ${\ displaystyle V_ {x} (1)}$ ${\ displaystyle V_ {x} (1)}$ după numere $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ nu întreg.	Tendința măsurării hipersuprafeței $S_{n}(1)$ ${\ displaystyle S_ {n} (1)}$ ${\ displaystyle S_ {n} (1)}$ relativ la hipersfera unitară, deoarece numărul variază $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ de dimensiuni, având în vedere și extrapolarea funcției $S_{x}(1)$ ${\ displaystyle S_ {x} (1)}$ ${\ displaystyle S_ {x} (1)}$ după numere $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ nu întreg.

(Tabelul văzut mai sus trebuie modificat dacă se folosește notația utilizată în topologie, vezi mai jos .)

Considerații

În primul rând, din proprietățile funcției Gamma , este clar că

V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}r^{n}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\\{\frac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot n}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\end{cases}}

{\ displaystyle V_ {n} (r) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}} + 1)}} r ^ {n} = { \ begin {cases} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} r ^ {n}} {\ left ({\ frac {n} {2}} \ right)!}} și {\ mbox {per}} n {\ text {even}} \\ {\ frac {2 ^ {\ frac {n + 1} {2}} \ pi ^ {\ frac {n-1} {2}} r ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot n}} și {\ mbox {for}} n {\ text {odd}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle V_ {n} (r) = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}} + 1)}} r ^ {n} = { \ begin {cases} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} r ^ {n}} {\ left ({\ frac {n} {2}} \ right)!}} și {\ mbox {per}} n {\ text {even}} \\ {\ frac {2 ^ {\ frac {n + 1} {2}} \ pi ^ {\ frac {n-1} {2}} r ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot n}} și {\ mbox {per}} n {\ text {odd}} \ end {cases}}}

S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}r^{n-1}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n-1}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n}{2}}-1\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\\{\frac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}r^{n-1}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-2)}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\end{cases}}

{\ displaystyle S_ {n} (r) = {\ frac {2 \ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} r ^ {n-1} = {\ begin {cases} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} r ^ {n-1}} {{\ frac {1} {2}} \ cdot \ left ({\ frac {n} {2}} - 1 \ right)!}} și {\ mbox {per}} n {\ text {even}} \\ {\ frac {2 ^ {\ frac {n + 1} {2 }} \ pi ^ {\ frac {n-1} {2}} r ^ {n-1}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot (n-2)}} și {\ mbox {pentru }} n {\ text {odd}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle S_ {n} (r) = {\ frac {2 \ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}} r ^ {n-1} = {\ begin {cases} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} r ^ {n-1}} {{\ frac {1} {2}} \ cdot \ left ({\ frac {n} {2}} - 1 \ right)!}} și {\ mbox {per}} n {\ text {even}} \\ {\ frac {2 ^ {\ frac {n + 1} {2 }} \ pi ^ {\ frac {n-1} {2}} r ^ {n-1}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot (n-2)}} și {\ mbox {pentru }} n {\ text {odd}} \ end {cases}}}

(Ultima formulă trebuie modificată dacă se folosește notația utilizată în topologie, a se vedea mai jos .)

În consecință, în ambele expresii, exponentul lui $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ crește cu unul de fiecare dată când numărul de dimensiuni crește cu două, trecând la următorul număr par.

Este, de asemenea, interesant de observat cum, întrucât numărul dimensiunilor tinde spre infinit, hipervolumul și măsurarea suprafeței tind spre zero, indiferent de rază:

\lim _{n\rightarrow +\infty }V_{n}(r)=\lim _{n\rightarrow +\infty }S_{n}(r)=0{\text{ , }}\forall r>0

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} V_ {n} (r) = \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} S_ {n} (r) = 0 {\ text {,}} \ forall r> 0}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} V_ {n} (r) = \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} S_ {n} (r) = 0 {\ text {,}} \ forall r> 0}

Notă : Acest lucru nu trebuie interpretat considerând că, pe măsură ce numărul crește $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ca mărime, hipersfera tinde să nu ocupe hipervolumul, ci trebuie pur și simplu interpretat spunând că relația dintre hipervolumul său și cea a hipercubului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensionala laturii unitare tinde la zero. Explicația geometrică este că, fixată raza unei hipersfere și fixată lungimea laturii unui hipercub, pe măsură ce numărul dimensiunilor crește, în timp ce diametrul hipersferei rămâne constant, diagonala hipercubului crește proporțional cu ${\sqrt {n}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n}}}$ .

Deci, am fixat raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , funcții $V_{n}(r)$ ${\ displaystyle V_ {n} (r)}$ ${\ displaystyle V_ {n} (r)}$ și $S_{n}(r)$ ${\ displaystyle S_ {n} (r)}$ ${\ displaystyle S_ {n} (r)}$ , pe măsură ce numărul crește $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ca dimensiune, acestea ating mai întâi o valoare maximă și apoi scad la infinit. În special, în cazul hipersferei de rază unitară $r=1$ ${\ displaystyle r = 1}$ $r = 1$ ,

hipervolumul $V_{n}(1)$ ${\ displaystyle V_ {n} (1)}$ ${\ displaystyle V_ {n} (1)}$ atinge valoarea maximă pentru $n=5$ ${\ displaystyle n = 5}$ ${\ displaystyle n = 5}$ dimensiunea, în timp ce
măsura hipersuprafeței $S_{n}(1)$ ${\ displaystyle S_ {n} (1)}$ ${\ displaystyle S_ {n} (1)}$ atinge valoarea maximă pentru $n=7$ ${\ displaystyle n = 7}$ ${\ displaystyle n = 7}$ dimensiuni, caz în care hipersuprafața este o varietate $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ -dimensional.

O altă considerație specială este următoarea: considerăm două hipersfere în spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, dintre care unul de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ iar cealaltă cu rază mai mică $(1-\varepsilon )r$ ${\ displaystyle (1- \ varepsilon) r}$ ${\ displaystyle (1- \ varepsilon) r}$ , fiind $0<\varepsilon <1$ ${\ displaystyle 0 <\ varepsilon <1}$ ${\ displaystyle 0 <\ varepsilon <1}$ . Relația dintre cele două hipervolume

{\frac {V_{n}((1-\varepsilon )r)}{V_{n}(r)}}=(1-\varepsilon )^{n},

{\ displaystyle {\ frac {V_ {n} ((1- \ varepsilon) r)} {V_ {n} (r)}} = (1- \ varepsilon) ^ {n},}

{\ displaystyle {\ frac {V_ {n} ((1- \ varepsilon) r)} {V_ {n} (r)}} = (1- \ varepsilon) ^ {n},}

fix $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ totuși, tinde să crească, pe măsură ce numărul crește $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ca mărime, indiferent de valoarea (chiar foarte mică) pentru care alegeți $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , atâta timp cât $1-\varepsilon <1$ ${\ displaystyle 1- \ varepsilon <1}$ ${\ displaystyle 1- \ varepsilon <1}$ . Acest lucru se interpretează spunând că, pe măsură ce numărul dimensiunilor crește, cea mai mare parte a hipervolumului închis în hipersferă tinde să se concentreze lângă hipersuprafață. Aceeași considerație se aplică și altor figuri geometrice $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional.

În cele din urmă, observăm că relația dintre hipervolum și măsurarea hipersuprafeței poate fi, de asemenea, rescrisă în felul următor:

V_{n}(r)=\int _{0}^{r}S_{n}(r')dr'=S_{n}(r)\cdot {\frac {r}{n}}

{\ displaystyle V_ {n} (r) = \ int _ {0} ^ {r} S_ {n} (r ') dr' = S_ {n} (r) \ cdot {\ frac {r} {n} }}

{\ displaystyle V_ {n} (r) = \ int _ {0} ^ {r} S_ {n} (r ') dr' = S_ {n} (r) \ cdot {\ frac {r} {n} }}

Această identitate poate fi interpretată ca o generalizare a întâmplării $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -demonstrație dimensională prin intermediul infinitesimale care se aplică volumului sferei obișnuite, considerând hipersfera ca fiind uniunea hiperpiramidelor infinite $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - dimensiuni infinitezimale fiecare având vârful în centrul hipersferei și baza $(n-1)$ ${\ displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ -dimensional care se sprijină pe suprafață; aceste hiperpiramide elementare infinite umple totul și numai hipervolumul hipersferei și hipervolumul fiecărei hiperpiramide este:

{\frac {{\mbox{misura ipersuperficiale di base}}\cdot {\mbox{altezza}}}{n}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mbox {măsură de bază pentru suprafață}} \ cdot {\ mbox {înălțime}}} {n}}}

{\ displaystyle {\ frac {{\ mbox {măsură de bază pentru suprafață}} \ cdot {\ mbox {înălțime}}} {n}}}

Paradoxurile hipersferei

Așa-numitele paradoxuri ale hipersferei , definite în mod necorespunzător ca atare, sunt, în realitate, doar proprietăți geometrice particulare ale spațiilor euclidiene cu un număr mare de dimensiuni , în special, cu un număr de dimensiuni mai mare decât $9$ ${\ displaystyle 9}$ $9$ ; apelativul „paradoxurilor” se datorează caracterului aparent anti-intuitiv al acestor proprietăți geometrice, dacă se compară cu ceea ce se întâmplă în spațiu $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ - dimensional obișnuit. Pe unele texte sunt denumiți paradoxurile lui Moser ^[1] , fiind probabil descoperite de matematicianul austriac naturalizat canadian Leo Moser ^[2] .

Primul paradox

În plan, adică în spațiul euclidian a $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ dimensiuni, $2^{2}=4$ ${\ displaystyle 2 ^ {2} = 4}$ ${\ displaystyle 2 ^ {2} = 4}$ cercuri de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ pot fi așezate într-un pătrat lateral $4r$ ${\ displaystyle 4r}$ $4r$ , in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti ai lati del quadrato; tali cerchi si ottengono dividendo il quadrato di partenza in $2^{2}=4$ $2^{2}=4$ $2^{2}=4$ quadrati più piccoli di lato $2r$ ${\displaystyle 2r}$ $2r$ e considerando i cerchi iscritti in questi quadrati più piccoli; così facendo, in prossimità del centro del quadrato di partenza, c'è ancora spazio per inserire un cerchio più piccolo di raggio $({\sqrt {2}}-1)r$ $({\sqrt {2}}-1)r$ $({\sqrt {2}}-1)r$ .

Nello spazio ordinario, cioè nello spazio euclideo a $n=3$ ${\displaystyle n=3}$ $n=3$ dimensioni, $2^{3}=8$ $2^{3}=8$ $2^{3}=8$ sfere possono essere inserite all'interno di un cubo di lato $4r$ ${\displaystyle 4r}$ $4r$ , in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle facce del cubo; tali sfere si ottengono dividendo il cubo di partenza in $2^{3}=8$ $2^{3}=8$ $2^{3}=8$ cubi più piccoli di lato $2r$ ${\displaystyle 2r}$ $2r$ e considerando le sfere iscritte in questi cubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro del cubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire una sfera più piccola di raggio $({\sqrt {3}}-1)r$ $({\sqrt {3}}-1)r$ $({\sqrt {3}}-1)r$ .

Analogamente, nello spazio euclideo a $n=4$ ${\displaystyle n=4}$ $n=4$ dimensioni, $2^{4}=16$ $2^{4}=16$ $2^{4}=16$ ipersfere $4$ ${\displaystyle 4}$ $4$ -dimensionali possono essere inserite all'interno di un ipercubo $4$ ${\displaystyle 4}$ $4$ -dimensionale di lato $4r$ ${\displaystyle 4r}$ $4r$ , in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle iperfacce $3$ ${\displaystyle 3}$ $3$ -dimensionali dell'ipercubo; tali ipersfere $4$ ${\displaystyle 4}$ $4$ -dimensionali si ottengono dividendo l'ipercubo $4$ ${\displaystyle 4}$ $4$ -dimensionale di partenza in $2^{4}=16$ $2^{4}=16$ $2^{4}=16$ ipercubi $4$ ${\displaystyle 4}$ $4$ -dimensionali più piccoli di lato $2r$ ${\displaystyle 2r}$ $2r$ e considerando le ipersfere iscritte in questi ipercubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro dell'ipercubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire un'ipersfera di raggio $({\sqrt {4}}-1)r=r$ $({\sqrt {4}}-1)r=r$ $({\sqrt {4}}-1)r=r$ , la quale, quindi, ha lo stesso raggio e non è più piccola delle altre.

In generale, nello spazio euclideo a $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ dimensioni, $2^{n}$ $2^{n}$ $2^{n}$ ipersfere $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionali possono essere inserite all'interno di un ipercubo $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionale di lato $4r$ ${\displaystyle 4r}$ $4r$ , in maniera tale da essere tangenti tra loro e tangenti alle iperfacce $(n-1)$ ${\displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ -dimensionali dell'ipercubo; tali ipersfere $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionali si ottengono dividendo l'ipercubo $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionale di partenza in $2^{n}$ $2^{n}$ $2^{n}$ ipercubi $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionali più piccoli di lato $2r$ ${\displaystyle 2r}$ $2r$ e considerando le ipersfere iscritte in questi ipercubi più piccoli; così facendo, in prossimità del centro dell'ipercubo di partenza, c'è ancora spazio per inserire un'ipersfera di raggio $({\sqrt {n}}-1)r$ $({\sqrt {n}}-1)r$ $({\sqrt {n}}-1)r$ .

È evidente che, a partire da $n=5$ ${\displaystyle n=5}$ $n=5$ dimensioni, l'ipersfera centrale diventa più grande, cioè ha raggio maggiore, rispetto alle altre $2^{n}$ $2^{n}$ $2^{n}$ ipersfere.

A $n=9$ ${\displaystyle n=9}$ $n=9$ dimensioni, poi, l'ipersfera centrale ha raggio $({\sqrt {9}}-1)r=2r$ $({\sqrt {9}}-1)r=2r$ $({\sqrt {9}}-1)r=2r$ , quindi ha diametro $4r$ ${\displaystyle 4r}$ $4r$ uguale al lato dell'ipercubo che contiene tutte le ipersfere considerate, pertanto diviene tangente alle iperfacce $8$ ${\displaystyle 8}$ $8$ -dimensionali di tale ipercubo; ciò nonostante, all'interno dell'ipercubo, in corrispondenza dei vertici, c'è ancora spazio per le altre $2^{9}=512$ $2^{9}=512$ $2^{9}=512$ ipersfere.

È evidente che, a partire da $n=10$ ${\displaystyle n=10}$ $n=10$ dimensioni, l'ipersfera centrale non può più entrare nell'ipercubo considerato, poiché ha diametro maggiore di $4r$ ${\displaystyle 4r}$ $4r$ e, pertanto, sporge all'esterno.

Secondo paradosso

Nel piano, cioè nello spazio euclideo a $n=2$ ${\displaystyle n=2}$ $n=2$ dimensioni, consideriamo una scacchiera, costituita da quadrati di lato $l$ ${\displaystyle l}$ $l$ . Un cerchio circoscritto a ciascun quadrato della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale del quadrato, ossia $l{\sqrt {2}}$ $l{\sqrt {2}}$ $l{\sqrt {2}}$ , pertanto occupa parte dei quadrati adiacenti.

Nello spazio ordinario, cioè nello spazio euclideo a $n=3$ ${\displaystyle n=3}$ $n=3$ dimensioni, consideriamo una scacchiera $3$ ${\displaystyle 3}$ $3$ -dimensionale, costituita da cubi di lato $l$ ${\displaystyle l}$ $l$ . Una sfera circoscritta a ciascun cubo della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale del cubo, ossia $l{\sqrt {3}}$ $l{\sqrt {3}}$ $l{\sqrt {3}}$ , pertanto occupa parte dei cubi adiacenti.

In generale, nello spazio euclideo a $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ dimensioni, consideriamo una scacchiera $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionale, costituita da ipercubi $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionali di lato $l$ ${\displaystyle l}$ $l$ . Un'ipersfera $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionale circoscritta a ciascun ipercubo della scacchiera ha diametro uguale alla lunghezza della diagonale dell'ipercubo, ossia $l{\sqrt {n}}$ $l{\sqrt {n}}$ $l{\sqrt {n}}$ , pertanto occupa parte degli ipercubi adiacenti.

A $n=9$ ${\displaystyle n=9}$ $n=9$ dimensioni, l'ipersfera circoscritta a ciascun ipercubo ha diametro uguale a $l{\sqrt {9}}=3l$ $l{\sqrt {9}}=3l$ $l{\sqrt {9}}=3l$ , pertanto essa passa per i vertici dell'ipercubo a cui è circoscritta ma, contemporaneamente, è anche tangente alle iperfacce degli ipercubi adiacenti le quali si trovano dalla parte opposta rispetto alle iperfacce in comune con l'ipercubo a cui è circoscritta l'ipersfera.

È evidente che, a partire da $n=10$ ${\displaystyle n=10}$ $n=10$ dimensioni, l'ipersfera passa per i vertici dell'ipercubo a cui è circoscritta ma, contemporaneamente, sporge all'esterno degli ipercubi adiacenti.

Un altro fenomeno particolare accade già a partire da $n=4$ ${\displaystyle n=4}$ $n=4$ dimensioni: in tal caso, ogni ipersfera circoscritta ha raggio uguale o maggiore di $l{\sqrt {4}}=2l$ $l{\sqrt {4}}=2l$ $l{\sqrt {4}}=2l$ , pertanto include anche i centri degli ipercubi adiacenti. Si comprende allora che, dato un qualunque ipercubo della scacchiera $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionale, esso risulta completamente occupato da tutte le ipersfere circoscritte agli ipercubi adiacenti; invece, in una scacchiera $2$ ${\displaystyle 2}$ $2$ -dimensionale o $3$ ${\displaystyle 3}$ $3$ -dimensionale, un qualunque quadrato o cubo non viene completamente occupato da tutti i cerchi circoscritti o da tutte le sfere circoscritte ai quadrati o ai cubi adiacenti.

Notazione utilizzata in topologia

Come accennato in precedenza, in topologia , l'ipersfera rappresentata dal luogo di tutti i punti, nello spazio euclideo $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionale, che hanno distanza $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ da un dato punto fissato $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ , essendo una varietà $(n-1)$ ${\displaystyle (n-1)}$ $(n-1)$ -dimensionale, è indicata con $S_{n-1}$ $S_{n-1}$ $S_{n-1}$ invece che $S_{n}$ $S_{n}$ $S_{n}$ , cioè si pone

S_{n-1}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|=r\right\}

S_{n-1}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|xP\right\|=r\right\}

S_{n-1}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\left\|x-P\right\|=r\right\}

In alternativa, si può porre

S_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x-P\right\|=r\right\}

S_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|xP\right\|=r\right\}

S_{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x-P\right\|=r\right\}

ossia si può considerare l'ipersfera rappresentata dal luogo di tutti i punti, nello spazio euclideo $(n+1)$ ${\displaystyle (n+1)}$ $(n+1)$ -dimensionale, che hanno distanza $r$ ${\displaystyle r}$ $r$ da un dato punto fissato $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ , la quale è una varietà $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionale.

In topologia, la varietà $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -dimensionale $S_{n}$ $S_{n}$ $S_{n}$ così definita prende anche il nome di $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -sfera .

Con tale convenzione, si ha, per esempio, che:

l' $1$ ${\displaystyle 1}$ $1$ -sfera $S_{1}$ $S_{1}$ $S_1$ è una circonferenza
la $2$ ${\displaystyle 2}$ $2$ -sfera $S_{2}$ $S_{2}$ $S_2$ è una superficie sferica ordinaria
la $3$ ${\displaystyle 3}$ $3$ -sfera $S_{3}$ $S_{3}$ $S_{3}$ è un'ipersuperficie $3$ ${\displaystyle 3}$ $3$ -dimensionale che rappresenta la frontiera di una palla $4$ ${\displaystyle 4}$ $4$ -dimensionale.

Con la notazione utilizzata in topologia, la formula che esprime la misura ipersuperficiale si ottiene da quella vista in precedenza sostituendo $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ con $(n+1)$ ${\displaystyle (n+1)}$ $(n+1)$ , cioè

S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}r^{n}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}r^{n}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\\{\frac {2^{{\frac {n}{2}}+1}\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-1)}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\end{cases}}

S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}r^{n}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}r^{n}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\\{\frac {2^{{\frac {n}{2}}+1}\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-1)}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\end{cases}}

S_{n}(r)={\frac {2\pi ^{\frac {n+1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}}r^{n}={\begin{cases}{\frac {\pi ^{\frac {n+1}{2}}r^{n}}{{\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}},&{\mbox{per }}n{\text{ dispari}}\\{\frac {2^{{\frac {n}{2}}+1}\pi ^{\frac {n}{2}}r^{n}}{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (n-1)}},&{\mbox{per }}n{\text{ pari}}\end{cases}}

Applicando questa formula, si ottiene, per esempio, che:

la misura $1$ ${\displaystyle 1}$ $1$ -dimensionale di una $1$ ${\displaystyle 1}$ $1$ -sfera, ossia la lunghezza di una circonferenza, è $2\pi r$ $2\pi r$ $2\pi r$ ;
la misura $2$ ${\displaystyle 2}$ $2$ -dimensionale di una $2$ ${\displaystyle 2}$ $2$ -sfera, ossia l'area di una superficie sferica ordinaria, è $4\pi r^{2}$ $4\pi r^{2}$ $4\pi r^{2}$ ;
la misura $3$ ${\displaystyle 3}$ $3$ -dimensionale di una $3$ ${\displaystyle 3}$ $3$ -sfera, ossia il volume di un'ipersuperficie ipersferica $3$ ${\displaystyle 3}$ $3$ -dimensionale, è $2\pi ^{2}r^{3}$ $2\pi ^{2}r^{3}$ $2\pi ^{2}r^{3}$ .

e la tabella vista in precedenza deve essere modificata nel seguente modo:

Numero di dimensioni n	Misura dell' $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ -sfera $S_{n}(r)$ $S_{n}(r)$ $S_{n}(r)$	Ipervolume racchiuso $V_{n+1}(r)$ $V_{n+1}(r)$ $V_{n+1}(r)$	Valore numerico $S_{n}(1)$ $S_{n}(1)$ $S_{n}(1)$	Valore numerico $V_{n+1}(1)$ $V_{n+1}(1)$ $V_{n+1}(1)$
1	$2\pi r$ $2\pi r$ $2\pi r$	$\pi r^{2}$ $\pi r^{2}$ $\pi r^{2}$	6,283.185.307	3,141.592.654
2	$4\pi r^{2}$ $4\pi r^{2}$ $4\pi r^{2}$	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$ ${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	12,566.370.614	4,188.790.205
3	$2\pi ^{2}r^{3}$ $2\pi ^{2}r^{3}$ $2\pi ^{2}r^{3}$	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}$ ${\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}$ ${\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}$	19,739.208.802	4,934.802.201
4	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}$ ${\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}$ ${\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}$	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}$ ${\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}$ ${\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}$	26,318.945.070	5,263.789.014
5	$\pi ^{3}r^{5}$ $\pi ^{3}r^{5}$ $\pi ^{3}r^{5}$	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}$ ${\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}$ ${\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}$	31,006.276.680	5,167.712.780
6	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}r^{6}$ ${\frac {16}{15}}\pi ^{3}r^{6}$ ${\frac {16}{15}}\pi ^{3}r^{6}$	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}r^{7}$ ${\frac {16}{105}}\pi ^{3}r^{7}$ ${\frac {16}{105}}\pi ^{3}r^{7}$	33,073.361.792	4,724.765.970
7	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}r^{7}$ ${\frac {1}{3}}\pi ^{4}r^{7}$ ${\frac {1}{3}}\pi ^{4}r^{7}$	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}r^{8}$ ${\frac {1}{24}}\pi ^{4}r^{8}$ ${\frac {1}{24}}\pi ^{4}r^{8}$	32,469.697.011	4,058.712.126
8	${\frac {32}{105}}\pi ^{4}r^{8}$ ${\frac {32}{105}}\pi ^{4}r^{8}$ ${\frac {32}{105}}\pi ^{4}r^{8}$	${\frac {32}{945}}\pi ^{4}r^{9}$ ${\frac {32}{945}}\pi ^{4}r^{9}$ ${\frac {32}{945}}\pi ^{4}r^{9}$	29,686.580.125	3,298.508.903
9	${\frac {1}{12}}\pi ^{5}r^{9}$ ${\frac {1}{12}}\pi ^{5}r^{9}$ ${\frac {1}{12}}\pi ^{5}r^{9}$	${\frac {1}{120}}\pi ^{5}r^{10}$ ${\frac {1}{120}}\pi ^{5}r^{10}$ ${\frac {1}{120}}\pi ^{5}r^{10}$	25,501.640.399	2,550.164.040
10	${\frac {64}{945}}\pi ^{5}r^{10}$ ${\frac {64}{945}}\pi ^{5}r^{10}$ ${\frac {64}{945}}\pi ^{5}r^{10}$	${\frac {64}{10.395}}\pi ^{5}r^{11}$ ${\frac {64}{10.395}}\pi ^{5}r^{11}$ ${\frac {64}{10.395}}\pi ^{5}r^{11}$	20,725.142.673	1,884.103.879
11	${\frac {1}{60}}\pi ^{6}r^{11}$ ${\frac {1}{60}}\pi ^{6}r^{11}$ ${\frac {1}{60}}\pi ^{6}r^{11}$	${\frac {1}{720}}\pi ^{6}r^{12}$ ${\frac {1}{720}}\pi ^{6}r^{12}$ ${\frac {1}{720}}\pi ^{6}r^{12}$	16,023.153.226	1,335.262.769
12	${\frac {128}{10.395}}\pi ^{6}r^{12}$ ${\frac {128}{10.395}}\pi ^{6}r^{12}$ ${\frac {128}{10.395}}\pi ^{6}r^{12}$	${\frac {128}{135.135}}\pi ^{6}r^{13}$ ${\frac {128}{135.135}}\pi ^{6}r^{13}$ ${\frac {128}{135.135}}\pi ^{6}r^{13}$	11,838.173.812	0,910.628.755
13	${\frac {1}{360}}\pi ^{7}r^{13}$ ${\frac {1}{360}}\pi ^{7}r^{13}$ ${\frac {1}{360}}\pi ^{7}r^{13}$	${\frac {1}{5.040}}\pi ^{7}r^{14}$ ${\frac {1}{5.040}}\pi ^{7}r^{14}$ ${\frac {1}{5.040}}\pi ^{7}r^{14}$	8,389.703.410	0,599.264.529
14	${\frac {256}{135.135}}\pi ^{7}r^{14}$ ${\frac {256}{135.135}}\pi ^{7}r^{14}$ ${\frac {256}{135.135}}\pi ^{7}r^{14}$	${\frac {256}{2.027.025}}\pi ^{7}r^{15}$ ${\frac {256}{2.027.025}}\pi ^{7}r^{15}$ ${\frac {256}{2.027.025}}\pi ^{7}r^{15}$	5,721.649.212	0,381.443.281
15	${\frac {1}{2.520}}\pi ^{8}r^{15}$ ${\frac {1}{2.520}}\pi ^{8}r^{15}$ ${\frac {1}{2.520}}\pi ^{8}r^{15}$	${\frac {1}{40.320}}\pi ^{8}r^{16}$ ${\frac {1}{40.320}}\pi ^{8}r^{16}$ ${\frac {1}{40.320}}\pi ^{8}r^{16}$	3,765.290.086	0,235.330.630
16	${\frac {512}{2.027.025}}\pi ^{8}r^{16}$ ${\frac {512}{2.027.025}}\pi ^{8}r^{16}$ ${\frac {512}{2.027.025}}\pi ^{8}r^{16}$	${\frac {512}{34.459.425}}\pi ^{8}r^{17}$ ${\frac {512}{34.459.425}}\pi ^{8}r^{17}$ ${\frac {512}{34.459.425}}\pi ^{8}r^{17}$	2,396.678.818	0,140.981.107
17	${\frac {1}{20.160}}\pi ^{9}r^{17}$ ${\frac {1}{20.160}}\pi ^{9}r^{17}$ ${\frac {1}{20.160}}\pi ^{9}r^{17}$	${\frac {1}{362.880}}\pi ^{9}r^{18}$ ${\frac {1}{362.880}}\pi ^{9}r^{18}$ ${\frac {1}{362.880}}\pi ^{9}r^{18}$	1,478.625.959	0,082.145.887
18	${\frac {1.024}{34.459.425}}\pi ^{9}r^{18}$ ${\frac {1.024}{34.459.425}}\pi ^{9}r^{18}$ ${\frac {1.024}{34.459.425}}\pi ^{9}r^{18}$	${\frac {1.024}{654.729.075}}\pi ^{9}r^{19}$ ${\frac {1.024}{654.729.075}}\pi ^{9}r^{19}$ ${\frac {1.024}{654.729.075}}\pi ^{9}r^{19}$	0,885.810.420	0,046.621.601
19	${\frac {1}{181.440}}\pi ^{10}r^{19}$ ${\frac {1}{181.440}}\pi ^{10}r^{19}$ ${\frac {1}{181.440}}\pi ^{10}r^{19}$	${\frac {1}{3.628.800}}\pi ^{10}r^{20}$ ${\frac {1}{3.628.800}}\pi ^{10}r^{20}$ ${\frac {1}{3.628.800}}\pi ^{10}r^{20}$	0,516.137.828	0,025.806.891
20	${\frac {2.048}{654.729.075}}\pi ^{10}r^{20}$ ${\frac {2.048}{654.729.075}}\pi ^{10}r^{20}$ ${\frac {2.048}{654.729.075}}\pi ^{10}r^{20}$	${\frac {2.048}{13.749.310.575}}\pi ^{10}r^{21}$ ${\frac {2.048}{13.749.310.575}}\pi ^{10}r^{21}$ ${\frac {2.048}{13.749.310.575}}\pi ^{10}r^{21}$	0,292.932.159	0,0139.491.504

Evidentemente, con questa notazione,

la misura ipersuperficiale $S_{n}(1)$ $S_{n}(1)$ $S_{n}(1)$ raggiunge il suo valore massimo per $n=6$ ${\displaystyle n=6}$ $n=6$ dimensioni, corrispondente al caso della $6$ ${\displaystyle 6}$ $6$ -sfera.

Inoltre, con la stessa notazione, la relazione tra ipervolume e misura ipersuperficiale si scrive:

V_{n}(r)=\int _{0}^{r}S_{n-1}(r')dr'=S_{n-1}(r)\cdot {\frac {r}{n}}

V_{n}(r)=\int _{0}^{r}S_{n-1}(r')dr'=S_{n-1}(r)\cdot {\frac {r}{n}}

V_{n}(r)=\int _{0}^{r}S_{n-1}(r')dr'=S_{n-1}(r)\cdot {\frac {r}{n}}

Note

^ Consultare per esempio: Martin Gardner , Circo Matematico - Una nuova serie di enigmi e giochi matematici , Sansoni , 1981 , Cap.3: Sfere e ipersfere, p. 42 e p.44, dove si parla di paradossi scoperti da Leo Moser e mai pubblicati;
^ The n-ball game - bit player

Bibliografia

Franco Eugeni e Franco Mancinelli, sull'ipervolume della ipersfera, in Atti del Convegno " La metodologia storica nell'insegnamento della Matematica e della Fisica ", Atti Convegno Mathesis, Ripattoni di Bellante , 1998 .
Martin Gardner , Circo Matematico - Una nuova serie di enigmi e giochi matematici , Sansoni , 1981 , Cap.3: Sfere e ipersfere, pp. 31–46.

Sui paradossi delle ipersfere

RW Hamming, "Coding and Information theory", Prentice-Hall Inc., 1980 , Cap. 9, pp. 164-169.
Martin Gardner , Circo Matematico - Una nuova serie di enigmi e giochi matematici , Sansoni , 1981 , Cap.3: Sfere e ipersfere, pp. 42-45.

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su ipersfera

Collegamenti esterni

Mathworld website , su mathworld.wolfram.com .

Controllo di autorità	GND ( DE ) 4182221-3

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Consultare per esempio: Martin Gardner , Circo Matematico - Una nuova serie di enigmi e giochi matematici , Sansoni , 1981 , Cap.3: Sfere e ipersfere, p. 42 e p.44, dove si parla di paradossi scoperti da Leo Moser e mai pubblicati;

[2] The n-ball game - bit player

[1]

[2]