Ipoteza Riemann

Partea reală și imaginară a valorilor asumate de funcția zeta de-a lungul liniei critice

\operatorname {Re} (x)={\frac {1}{2}}.

{\ displaystyle \ operatorname {Re} (x) = {\ frac {1} {2}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {Re} (x) = {\ frac {1} {2}}.}

Rețineți primele zerouri non-banale din

\operatorname {Im} (x)=\pm 14.135,\,\pm 21.022,\,\pm 25.011.

{\ displaystyle \ operatorname {Im} (x) = \ pm 14.135, \, \ pm 21.022, \, \ pm 25.011.}

{\ displaystyle \ operatorname {Im} (x) = \ pm 14.135, \, \ pm 21.022, \, \ pm 25.011.}

În teoria analitică a numerelor , „ipoteza Riemann sau conjectura Riemann este o conjectură asupra distribuției zerourilor care nu este trivială funcția zeta Riemann ζ (s) . Importanța sa derivă din consecințele pe care le are asupra distribuției numerelor prime .

Din ecuația funcțională rezultă că funcția zeta Riemann ζ ( s ) are zero , numite triviale, în numerele întregi negative, s = −2, s = −4, s = −6, ... Conjectura Riemann se referă în schimb zerouri non-banale și afirmă că

„Partea reală a fiecărei rădăcini netiviale este 1/2”.

Cu alte cuvinte, rădăcinile non-banale ar trebui să se așeze pe linia descrisă de ecuația s = 1/2 + it (așa-numita „linie critică”, indicată ca linie critică în Fig. 3) cu t număr real și i unități imaginare .

Descriere

Ipoteza Riemann, formulată pentru prima dată în 1859 de Bernhard Riemann , este considerată cea mai importantă problemă deschisă din matematică ^[1] . Face parte din cele douăzeci și trei de probleme ale lui Hilbert și din cele șapte probleme pentru mileniu , pentru soluționarea fiecăruia dintre care Institutul Clay de Matematică a oferit un premiu de un milion de dolari.

Deși majoritatea matematicienilor cred că ipoteza Riemann este adevărată, există unele excepții, precum cele notabile de JE Littlewood și Atle Selberg ^{[ necesită citare ].}

Riemann nu și-a discutat ipoteza în nicio altă publicație și nu există dovezi ale comunicărilor private în care a susținut că are o dovadă a acestei conjecturi. În schimb, el a prezentat ca anumite alte rezultate legate de cantitatea și dispunerea zerourilor din banda critică, care au fost toate dovedite, cu excepția unuia, de alți matematicieni din anii următori. În special, Riemann , în afară de a oferi o estimare a numărului de zerouri cu parte reală în intervalul [0,1] și parte imaginară în [- T, T ], a declarat că fracția acestor zerouri situată pe linia critică tinde să 1 când T tinde spre infinit. Riemann a crezut că are o dovadă riguroasă a acestei ultime afirmații, pe care, așa cum explică într-o comunicare privată către un coleg, nu a publicat-o deoarece nu era încă suficient de simplificată. Chiar și astăzi, chiar și această formă slabă a ipotezei așteaptă o dovadă sau o negare.

Mulți ani după moartea sa, mai mulți matematicieni au crezut că Riemann nu avea de fapt dovezi pentru niciuna dintre revendicările sale zero. Abia în 1932, Carl Ludwig Siegel , studiind documentele scrise de mână ale lui Riemann , a arătat că Riemann dezvoltase de fapt metode foarte rafinate pentru studiul poziției zerourilor, metode care rămăseseră de fapt încă necunoscute altor matematicieni chiar și după decenii ^[2] . Prin urmare, nu este posibil să se excludă faptul că Riemann și-a dovedit afirmația asupra fracției asimptotice a zerourilor de pe linia critică. Din păcate, nu este posibil, în general, să fim siguri ce alte rezultate obținuse Riemann cu privire la funcția sa, datorită și faptului că o parte din lucrările sale au fost distruse după moartea sa de către o femeie de serviciu ^[3] .

Relațiile cu teoria numerelor prime

Prima legătură dintre funcția zeta și numerele prime fusese deja descoperită de Euler , care a remarcat asta pentru fiecare număr real $x>1$ ${\ displaystyle x> 1}$ $x> 1$ , Formula produsului Euler este valabilă,

\zeta (x)=\prod _{p{\text{ primo}}}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-x}}},

{\ displaystyle \ zeta (x) = \ prod _ {p {\ text {prime}}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-p ^ {- x}}},}

\ zeta (x) = \ prod _ {{p {\ text {prime}}}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-p ^ {{- x}}}},

unde, în producție , p variază între toate numerele prime.

Tendința funcției zeta (și în special distribuția zerourilor sale) este legată, prin urmare, (prin alte pasaje care sunt omise) de distribuția numerelor prime cufundate în mulțimea numerelor naturale.

Modulul funcției Z pe planul complex

Fig. 3: Valorile absolute ale funcției ζ, indicate cu nuanțe mai deschise pe măsură ce valoarea crește. Distingem două zerouri non-banale (mai întunecate) care respectă supoziția, situate pe „linia critică” verticală. În schimb, zerourile banale se află pe axa x negativă

Urmări

Stabilirea unei reguli matematice care demonstrează existența sau nu a unei logici în absența unei cadențe în distribuția numerelor prime ar însemna să înțelegem dacă există o „aritmie” totală în aceasta din urmă sau dacă aceasta lipsește; acest lucru ar putea avea repercusiuni importante asupra aplicațiilor informatice de astăzi și în viitor, deoarece criptografia folosește adesea numere întregi ca chei a căror factorizare a numărului prim (foarte mare) nu poate fi calculată în timpuri acceptabile. Prin urmare, posibila cunoaștere a distribuției acestei secvențe ar putea facilita această factorizare: ar fi, prin urmare, necesar să găsim alte tehnici de securitate telematică , cum ar fi criptografia cu funcții eliptice modulare, dar, de asemenea, supusă unei conjecturi în așteptare ( conjectura de Birch și Swinnerton- Dyer ), sau criptografie cuantică , care pentru moment pare inatacabilă și a cărei primă versiune ( DARPA Quantum Network ) este deja disponibilă.

Încercări de demonstrație

De-a lungul anilor, mulți matematicieni au susținut că au dovedit ipoteza Riemann. Un caz particular este alcătuit din Louis de Branges de Bourcia , un matematician deja renumit pentru că a rezolvat conjectura Bieberbach . În 1992 , de Branges a propus și a publicat pe site-ul său o dovadă bazată pe argumente de analiză funcțională , dar teoreticienii numerelor au rămas sceptici și opt ani mai târziu, Brian Conrey și Xian-Jin Li au publicat un articol în care au furnizat contraexemple care implică incorectitudinea demonstrației. ^[4] În anii următori, de Branges a modificat adesea dovada pe site ^[5] ^[6] , bazându-se tot pe același tip de idei. Cu toate acestea, deși până acum nimeni nu a verificat corectitudinea dovezii după modificările făcute, De asemenea, noua versiune este considerată greșită deoarece argumentele utilizate sunt considerate inadecvate pentru a ataca problema. ^{[ fără sursă ]}

Notă

^ (EN) Enrico Bombieri , Problemele Mileniului: Ipoteza Riemann (PDF) pe claymath.org. Adus pe 13 august 2014 .
^ Harold M. Edwards The Riemann Zeta Function , Dover Publications, 2001.
^ Marcus du Sautoy Enigma numerelor prime , Rizzoli, Milano 2004, 186
^ ( EN ) https://arxiv.org/abs/math.NT/9812166
^ (EN) Louis de Branges de Bourcia , Scuze pentru dovada ipotezei Riemann (PDF).
^ (EN) Louis de Branges de Bourcia , O dovadă a ipotezei Riemann (PDF) (depus de „Original url 20 septembrie 2013).

Bibliografie

Funcția Zeta a lui Harold M Edwards Riemann , publicațiile Dover, 2001. ISBN 978-0486417400 .
Marcus du Sautoy Enigma numerelor prime. Ipoteza Riemann, cel mai mare mister al matematicii (titlu original: The Music of the Primes - 2003), Milano, Rizzoli, 2004. ISBN 88-17-00098-1 ( ese popular).
John Derbyshire , Obsesia pentru numerele prime , Torino, Bollati Boringhieri , 2006. ISBN 88-339-1706-1
(EN) Brian Conrey ,The Riemann Hypothesis (PDF) pe ams.org. Adus la 28 februarie 2009 .
Enrico Bombieri , Problemele Mileniului: Ipoteza Riemann ( PDF ), pe claymath.org . Adus pe 27 decembrie 2014 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe ipoteza Riemann

linkuri externe

( EN ) Hypothesis Riemann , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Pagina despre ipoteza Riemann (pe site-ul Institutului American de Matematică )
Vizualizarea funcției zeta Riemann și continuarea analitică , pe YouTube , 9 decembrie 2016. , reprezentare grafică a funcției Riemanm

Controlul autorității	Tesauro BNCF 28310 · LCCN (EN) sh2005000907 · GND (DE) 4704537-1 · BNF (FR) cb144123556 (dată) · BNE (ES) XX5261101 (dată) · NDL (EN, JA) 01.184.334

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Enrico Bombieri , Problemele Mileniului: Ipoteza Riemann (PDF) pe claymath.org. Adus pe 13 august 2014 .

[2] Harold M. Edwards The Riemann Zeta Function , Dover Publications, 2001.

[3] Marcus du Sautoy Enigma numerelor prime , Rizzoli, Milano 2004, 186

[4] ( EN ) https://arxiv.org/abs/math.NT/9812166

[5] (EN) Louis de Branges de Bourcia , Scuze pentru dovada ipotezei Riemann (PDF).

[6] (EN) Louis de Branges de Bourcia , O dovadă a ipotezei Riemann (PDF) (depus de „Original url 20 septembrie 2013).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]