Ipoteza lui de Broglie

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Ipoteza de Broglie (exprimată de raportul de Broglie ) Se afirmă că particulele cu masă sunt, de asemenea, asociate cu proprietățile fizice tipice ale undelor , [1] extinzând și asupra materiei dualitatea undă-particulă deja introdusă de Einstein pentru lumină. Formulată în 1924 de Louis de Broglie , a găsit în curând o confirmare experimentală [2] și a dat un impuls fundamental dezvoltării mecanicii cuantice .

Originile dualității undă-particulă

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: dualismul undă-particulă .

Mecanica cuantică s-a născut din numeroasele dovezi experimentale care la începutul secolului al XX-lea erau inexplicabile conform fizicii clasice . Studiul spectrului de radiații ale corpului negru a condus în 1900 Planck să avanseze ipoteza că interacțiunea dintre câmpul electromagnetic și materie a avut loc prin emisia sau absorbția pachetelor discrete de energie, numite cuante . [3]

Explicația lui Einstein asupra efectului fotoelectric din 1905 a sugerat că lumina era compusă din cante de lumină, numite fotoni încă din 1926.[4] A existat, așadar, o dublă (undă după Maxwell, particulă după Einstein) și, prin urmare, o descriere problematică a fenomenelor luminoase. . Natura corpusculară a radiației electromagnetice a fost confirmată definitiv în 1922 de descoperirea efectului Compton .

Dualitatea undă-particulă a apărut odată cu analiza statistică a lui Einstein a radiației corpului negru în 1909. Varianța a arătat doi termeni, unul liniar și unul pătratic în , numărul mediu de cante energetice la frecvență care trebuie atribuit fiecărui rezonator (atom) responsabil pentru emisia sau absorbția radiației:

Această caracteristică a fost imediat desconcertantă deoarece se știa că sistemele de particule au o dependență liniară de de varianță :

în timp ce cele formate de unde prezintă o dependență pătratică:

Spectrul de radiații al corpului negru, pe de altă parte, s-a comportat statistic atât ca sistem de particule, cât și ca sistem de unde. Einstein a realizat, de asemenea, că această caracteristică era inevitabilă: doar prezența ambilor termeni a garantat conservarea energiei în sistem.

Analogii între optica undelor și dinamica unei particule

Optica undelor

Conform soluțiilor ecuațiilor lui Maxwell în vid, lumină monocromatică cu frecvență atribuită se propagă de-a lungul unei direcții identificate de vectorul de undă și ale căror câmpuri electromagnetice sunt descrise de o funcție precum:

(1)

unde A este un număr real care identifică amplitudinea undei,

(2)

este faza e

(3)

pulsația sau frecvența unghiulară. Amplitudinea A poate fi identificată cu o componentă a câmpului electric sau magnetic , astfel încât este proporțională cu intensitatea undei. Această undă este un exemplu tipic de undă plană în sensul că fața ei de undă este un plan ortogonal cu vectorul de undă și este identificată prin ecuația:

În timp, mișcarea frontului de undă se mișcă în concordanță de fază în funcție de:

(4)

Punctele din spațiu identificate de care satisfac (4) sunt la fel distanțate de

(5)

unde este este lungimea de undă a radiației luminii. Aceste puncte sunt atinse de val la intervale de perioadă

(6)

deci frontul de undă avansează cu viteza de fază

(7)

Pentru lumina monocromatică în vid

adică viteza fazei coincide cu viteza luminii la toate frecvențele.

Pe de altă parte, într-un mediu omogen, liniar și izotrop, unda rămâne o undă plană, dar viteza de fază este egală cu

(8)

deoarece indicele de refracție al materialului este întotdeauna .

Dacă mediul în care se deplasează unda nu este omogen, indicele de refracție variază de la punct la punct și, prin urmare, unda nu mai este plană, dar îndeplinește condiția:

(9)

În acest caz, conform principiului Huygens , fasciculul de lumină urmează direcția:

(10)

Calea parcursă de fasciculul de lumină pentru a merge dintr-un punct A în un punct B poate fi dedusă din principiul Fermat , conform căruia unda parcurge traiectoria care minimizează timpul de deplasare:

(11)

unde L este calea optică, care trebuie să satisfacă condiția

(12)

de aici ecuația iconală :

(13)

Putem ajunge la aceleași concluzii rezolvând ecuația lui D'Alembert :

(14)

satisfăcut exact de o funcție precum (1):

(15)

Înlocuind (15) în (14), în ipoteza amplitudinii constante, obținem:

(16)

unde este:

Vedem că, luând partea reală a (16), aceasta este rescrisă:

(17)

din care obținem un rezultat analog cu (13).

Dacă în loc să aveți o undă monocromatică aveți un grup de unde fiecare cu propria frecvență, atunci fiecare dintre ele îndeplinește o ecuație D'Alembert, fiecare călătorește cu propria sa viteză de fază (7) sau (8). Pentru undele luminoase în vid care călătoresc cu aceeași viteză de fază, setul de unde poate fi descris printr-o singură ecuație (14). În schimb, într-un mediu, fiecare val al grupului se deplasează cu propria sa viteză de fază, rezultatul este o suprapunere a undelor și se poate defini o viteză globală numită viteza de grup dată:

(18)

Dinamica unei particule

Să vedem analogiile, în parte identificate deja de Hamilton , cu mișcarea unei particule de masă și viteză și deci că călătorește cu impuls . Clasic, traiectoria sa poate fi întotdeauna determinată prin identificarea impulsului particulei în fiecare moment. Energia particulei libere este:

urmând mecanica clasică putem defini funcția de acțiune :

(19)

care este remarcabil de similar cu (2), astfel încât ecuația pe care trebuie să o satisfacă dinamica unei particule devine:

și starea

similar cu (4) implică faptul că planul:

similar cu (10) avansuri în direcția și perpendicular pe acesta, cu viteză

și în mod explicit:

Dacă particula se deplasează într-un câmp de forță conservator apoi energia:

păstrează ecuația Hamilton-Jacobi cu acțiune:

unde în mod explicit:

Analogia dintre impuls

și indicele de refracție dat de (13) și funcția W care joacă un rol similar cu calea optică a plumbului (12), cu condiția:

pentru a identifica un plan. În schimb, în ​​prezența unui potențial,

identifică o suprafață care nu mai este plană, similară cu (9) a opticii geometrice. Această ecuație descrie o particulă călătoare cu viteza de fază

(20)

De fapt, principiul Maupertuis :

permite să găsim printre infinitele traiectorii posibile cea parcursă de fapt de particulă, similar cu ceea ce se întâmplă cu principiul Fermat pentru o rază de lumină.

Ipoteza lui de Broglie

Folosind analogiile dintre principiul Fermat în optică și principiul Maupertuis în dinamică , de Broglie a asociat o undă fizică cu fiecare particulă masivă. [1] Egalitatea dintre viteza de fază (20) a unei particule care traversează un câmp de forță și viteza de fază (8) a unei unde care traversează un mediu

l-a readus în relația Planck-Einstein

(21)

și, prin analogie, cea referitoare la impuls:

(22)

unde h este constanta lui Planck ,

constanta Planck redusă e se numește lungimea de undă de Broglie .

Aceste relații stabilesc, de asemenea, o proporționalitate directă între faza (2) a undei și acțiunea (19) a particulei:

Cu toate acestea, identificarea undei care însoțește particula cu o undă plană creează o problemă interpretativă: viteza de fază a undei ar fi super luminară și, prin urmare, inacceptabilă conform teoriei speciale a relativității . Indicând cu viteza particulei, factorul Lorentz e cea a vitezei, pentru o particulă relativistă obținem:

Dacă, pe de altă parte, un pachet de unde este asociat cu particula, o combinație liniară de mai multe unde:

(23)

avem acea viteză de grup pachetului coincide cu viteza particulei:

Pentru calculul explicit al acestui rezultat (acceptabil din punct de vedere fizic), consultați secțiunea Viteza grupului în materie sub Viteza grupului .

Pachetul de unde asociat particulei a fost numit unda materială de de Broglie tocmai pentru a sublinia asocierea sa cu entități corpusculare (electroni, neutroni, protoni ...). În interpretarea lui de Broglie, totuși, avem de-a face cu unde fizice, dotate cu energie (21) și impuls (22), dar evident fără masă. Din punct de vedere ontologic , pentru particule de de Broglie și unde fizice coexistă, undele materiale care însoțesc toate particulele.

Dezvoltări ulterioare

Ecuația Schrödinger

Opera lui De Broglie l-a inspirat pe Erwin Schrödinger să caute ecuația undelor corespunzătoare undelor materiale postulate de fizicianul francez. În decembrie 1925 Schrödinger a ținut un seminar la Zurich, explicând tezelor lui de Broglie fizicienilor săi. Directorul său Peter Debye a observat la sfârșitul seminarului că nu există teoria undelor fără a cunoaște funcția de undă care generează fenomenul. Schrödinger a părăsit Zurich la scurt timp după aceea pentru a-și petrece vacanțele de sfârșit de an în stațiunea de schi Arosa . Întorcându-se de la munte în ianuarie 1926, el le-a spus colegilor că a găsit ecuația valurilor despre care vorbise Debye. A fost ecuația Schrödinger . [5] [6]

În cea mai simplă derivare, [7] pornim de la ecuația de undă a lui D'Alembert (14) în cazul independent de timp:

Înlocuind relația lui de Broglie (22) asupra dualismului undă-particulă în cazul non-relativist

primesti

Energia cinetică K poate fi scrisă ca diferența dintre energia totală non-relativistă E și energia potențială V a particulei:

(24)

Așa cum s-a menționat în secțiunea de ipoteză De Broglie , pentru a fi asociat cu particula descrisă de ecuația Schrödinger (24), funcția de undă trebuie să corespundă pachetului de unde (23).

Interpretarea probabilistică a lui Born

Odată ce ecuația Schrödinger a fost derivată, apare problema semnificației care trebuie atribuită funcției de undă (corespunzând în general unui număr complex , deci lipsit de interpretare fizică) sau, mai precis, cantității

(exprimat în schimb printr-un număr real , care poate fi interpretat fizic). Schrödinger s-a gândit inițial să interpreteze în modul cel mai intuitiv, ca densitatea materiei conținută în volumul infinitesimal , dar această ipoteză s-a dovedit a fi incorectă datorită împrăștierii progresive a pachetului de unde reprezentat de . O soartă analogă, din același motiv, a încercat să interpreteze ca densitate de încărcare .

Max Born în 1926 a interpretat în schimb această densitate ca densitatea probabilității de a găsi particula într-un volum infinitesimal. Integrala densității probabilității pe un volum terminat apoi dă probabilitatea pentru a găsi instantaneu particula din acel volum :

Integrala extinsă la tot spațiul coincide în schimb cu certitudinea de a găsi particula undeva:

Aceasta este condiția de normalizare a funcției de undă, o cerință fundamentală pentru a-i atribui un sens probabilistic.

Cu funcția Born the wave încetează să mai fie (așa cum a fost pentru de Broglie) o entitate fizică înzestrată cu energie și impuls, pentru a deveni un număr complex ( amplitudine de probabilitate ) al cărui modul pătrat este o densitate de probabilitate . Pentru sistemele cu particule, nu este definit în spațiul fizic tridimensional, ci în spațiul abstract 3n-dimensional al configurațiilor . Prin urmare nu poate reprezenta o entitate fizică, ci este în schimb o funcție matematică legată de probabilitate .

Pentru Born, din punct de vedere ontologic , există doar particule, în timp ce unda materială a lui de Broglie „dispare” în amplitudinea probabilității. Interpretarea probabilistică a funcției de undă a fost fundamental pentru înțelegerea rezultatelor ecuației Schrödinger și a devenit unul dintre postulatele interpretării de la Copenhaga a mecanicii cuantice.

Principiul complementarității lui Bohr

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: dualismul undă-particulă .

Ipoteza lui De Broglie a extins conceptul de dualism undă-particulă la particule masive, introdus deja de Einstein în 1905 cu cuante de lumină și în 1909 pentru radiația corpului negru . Acest dualism a fost generalizat de principiul complementarității enunțat de Niels Bohr la Congresul internațional al fizicienilor din 1927 și publicat în articolul său [8] din 1928. Conform acestui principiu, în mecanica cuantică se manifestă alternativ unda sau aspectul corpuscular, a în funcție de tipul de instrument utilizat pentru măsurare. Acest lucru este echivalent cu a spune că aspectele de undă sau particule ale cuantonilor (sisteme cuantice elementare, cum ar fi fotoni, electroni, neutroni) nu pot fi observate simultan.

Pentru Bohr, din punct de vedere ontologic , nu putem afirma nimic despre natura sistemelor microscopice, care rămâne de necunoscut pentru noi. Din punct de vedere epistemic , aceeași cuantonă se poate manifesta în schimb ca o undă sau ca o particulă, în funcție de tipul de instrument utilizat pentru observare.

Notă

  1. ^ a b ( FR ) Louis De Broglie, Recherches sur la théorie des Quanta , în Annales de Physique , vol. 10, nr. 3, 1925, pp. 22-128, DOI : 10.1051 / anphys / 192510030022 .
  2. ^ Thomson, GP, Diffraction of Cathode Rays by a Thin Film ( PDF ), în Nature , vol. 119, nr. 3007, 1927, pp. 890-890, bibcode : 1927 Nat . 119Q.890T , DOI : 10.1038 / 119890a0 .
  3. ^ ( DE ) Max Planck, Über die Elementarquanta der Materie und der Eletricität (Despre cantitatea elementară a materiei și electricității) , în Annalen der Physik , vol. 2, 1900, p. 564.
  4. ^ ( DE ) A. Einstein, Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (Despre un punct de vedere euristic privind producția și transformarea luminii) ( PDF ), în Annalen der Physik , vol. 17, 1905, pp. 132-148.
  5. ^ M. Kumar, Quantum - De la Einstein la Bohr, teoria cuantică, o nouă idee a realității , Mondadori, Milamo 2010, pp. 204-205.
  6. ^ F. Bloch, Reminiscences of Heisenberg and the Early Days of Quantum Mechanics , în Physics Today , vol. 29, 1976, p. 23.
  7. ^ W. Moore, Schrödinger - Viața și gândirea , Cambridge University Press, Cambridge 1989, pp. 197-198.
  8. ^ N. Bohr, postulatul cuantic și dezvoltarea recentă a teoriei atomice , în Nature , vol. 121, 1928, pp. 580-590.

Bibliografie

  • S. Boffi, De la Laplace la Heisenberg - O introducere în mecanica cuantică și aplicațiile sale , La Goliardica pavese, Pavia 1992¹ 1996²; Pavia University Press, Pavia 2010³. http://archive.paviauniversitypress.it/pdf-oa/boffi-laplace-2010-DOL.pdf
  • S. Boffi, Valuri și particule în armonie - La sursele mecanicii cuantice , Jaca Book, Milano 1991.
  • L. de Broglie, Recherches sur la théorie des Quanta , Physique [physics]. Migration - université en cours d'affectation, 1924. Français. fftel-00006807f, în Annales de la Fondation Luois de Broglie, vol. 17, n. 1, pp. 1-121, 1992. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006807/document Traducere în limba engleză în Research on the Theory of Quanta , Minkowski Institute Press, Montréal 2021.
  • L. de Broglie, G. Lochak (editat de), Un itinéraire scientifique - Textes réunis et présentés par Georges Lochak , Editions La Découverte, 1987.
  • G. Lochak, Louis de Broglie , Flammarion, Paris 1995.
  • S. Diner (editat de), D. Fargue (editat de), G. Lochak (editat de), F. Selleri (editat de), Dualismul Wave-particule - Un omagiu lui Louis De Broglie la 90 de ani , Springer Verlag, Berlin 1984.

Elemente conexe

linkuri externe

Controlul autorității GND ( DE ) 4169089-8
Cuantic Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică