Izometrie

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , o izometrie (din grecescul ἴσος , isos , care înseamnă egal ) este o noțiune care generalizează acea mișcare rigidă a unui obiect sau a unei figuri geometrice. În mod formal, este o funcție între două spații metrice care păstrează distanțele.

Exemple de izometrii sunt translațiile , rotațiile și reflexiile în plan sau în spațiu . În general, izometriile păstrează, pe lângă distanțe, alte concepte geometrice, cum ar fi unghiurile , ariile și lungimile .

Definiție

Izometriile (care înseamnă: măsuri egale) sunt toate transformările (mișcări, deplasări) care păstrează cifrele neschimbate, mai exact care păstrează caracteristicile măsurabile nealterate (lungimea laturilor, amplitudinea unghiurilor) Isometria este definită ca funcţie între două spații metrice astfel încât, pentru fiecare pereche de puncte în , egalitatea deține:

Aici Și denotați distanțele respectiv în Și . Cu alte cuvinte, distanța dintre două puncte ale este egală cu distanța dintre imaginile lor din .
O astfel de funcție este neapărat injectivă , dar nu este neapărat surjectivă : unii autori includ surjectivitatea în definiția izometriei; cu această definiție fiecare izometrie definește o corespondență unu-la-unu.

Grup de izometrii

Izometriile a unui spațiu metric fix formează un grup cu operația de compunere a funcțiilor . Acest grup este grupul de izometrie al , adesea notat cu . De exemplu:

  • Grupul de izometrii ale unui poligon regulat cu laturile este grupul diedric de ordine .
  • Grupul de izometrii ale sferei dimensiunii este grupul ortogonal

Variații

Spații vectoriale

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: produs Dot .

În cazul unui spațiu vectorial cu un produs scalar , o izometrie este adesea definită diferit: în acest context o izometrie este o aplicație liniară care păstrează produsul scalar, adică astfel încât

În cazul în care produsul scalar este definit pozitiv , spațiul vector este, de asemenea, un spațiu metric, iar cele două definiții coincid fundamental; singura diferență este că, în spațiul vectorial, se presupune că izometria ar trebui să stabilească originea: în special, nu sunt permise traduceri .

Soiuri riemanniene

În geometria diferențială, fiecare distribuitor Riemannian are un tensor metric care definește distanțele, unghiurile, volumele, lungimile etc. Noțiunea de izometrie utilizată în acest context este deci împrumutată de la cea utilizată în algebra liniară.

Un difeomorfism

între două varietăți Riemanniene (sau pseudo-Riemanniene ) induce în fiecare punct din un diferențial

care este un izomorfism liniar între spațiile tangente din si in . Functia este o izometrie dacă pentru orice pereche de vectori tangenți în fiecare moment relația merită

Aici Și sunt tensorul metric în si in .

Cu alte cuvinte, necesită acest lucru atât tragerea înapoi a tensorului rang (0,2):

O varietate Riemanniană este, de asemenea, un spațiu metric: o izometrie între varietăți Riemanniene este, de asemenea, o izometrie între spații metrice în sensul obișnuit.

De sine este un difeomorfism local astfel încât , asa de se numește izometrie locală .

Exemple

Într-un spațiu euclidian , translațiile , rotațiile și reflexiile sunt izometrii. Clasificarea tuturor izometriilor depinde de mărimea spațiului.

Izometrii în planul euclidian

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: izometrie plană .

În cazul particular al planului euclidian, acestea sunt toate diferitele tipuri de izometrii:

Izometrii în geometrie hiperbolică

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Izometria spațiului hiperbolic .

Geometria hiperbolică este o geometrie neeuclidiană , care înlocuiește spațiul euclidian cu un spațiu hiperbolic . Spațiul hiperbolic este un anumit spațiu metric. În dimensiunea 2, acesta este descris ca discul Poincaré .

Ca și în planul euclidian, prin izometrii este posibil să se rotească spațiul hiperbolic în jurul unui punct și să se deplaseze un punct în orice alt punct.

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică