Lacurile Wada
În matematică , lacurile Wada (和田 の 湖Wada no mizuumi ? ) Sunt un exemplu de fractală constând din trei seturi deschise disjuncte conectate ale planului cu proprietatea contraintuitivă de a avea aceeași graniță .
Se spune că trei sau mai multe seturi cu aceeași frontieră au proprietatea Wada; printre altele de exemplu „Bazinele Wada” în sisteme dinamice
Lacurile Wada au fost introduse de Kunizō Yoneyama (1917), care a atribuit descoperirea profesorului său Takeo Wada .
Construcția lacurilor Wada
Lacurile Wada se formează pornind de la un pătrat unitar de uscat (homeomorf până la câmpie), apoi excavând 3 lacuri conform următoarei reguli:
- În ziua n = 1, 2, 3, ... lacul n mod 3 (= 0, 1, 2) este extins astfel încât să treacă la o distanță de 1 / n de tot pământul uscat rămas. Acest lucru trebuie făcut astfel încât terenul uscat rămas să aibă interiorul conectat și să fie deschis fiecare lac.
După un număr infinit de zile, cele trei lacuri sunt încă disjuncte și deschise, iar pământul uscat rămas formează granița fiecăruia dintre cele 3 lacuri.
De exemplu, primele cinci zile ar putea include (a se vedea figura din dreapta):
- Săpați un lac albastru lat de 1/3, care este √2 / 3 din tot uscatul.
- Săpați un lac roșu lat de 1/3 2, care este √2 / 3 2 din tot uscatul.
- Săpați un lac verde de 1/3 3, care este √2 / 3 3 din tot uscatul.
- Extindeți lacul albastru printr-un canal lat de 1/3 4 , care este √2 / 3 4 de pe tot pământul uscat. (Rețineți canalul mic care unește lacul albastru subțire cu cel gros, lângă centrul imaginii.)
- Extindeți lacul roșu printr-un canal lat de 1/3 5 , care este √2 / 3 5 de pe tot pământul uscat. (Rețineți canalul mic care unește lacul roșu subțire cu cel gros, lângă stânga sus a imaginii.)
O variație a acestei construcții poate produce un număr infinit de lacuri conectate, toate cu aceeași limită: în loc să extindă lacurile în ordinea 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, ... ., extindeți-le în ordinea 0, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 4, ... și așa mai departe.
Bazinele Wada
Bazinele Wada sunt bazine particulare de atracție studiate în matematica sistemelor neliniare. Un bazin dotat cu proprietatea pe care fiecare vecinătate a oricărui punct de la limita sa intersectează cel puțin trei bazine se numește bazin Wada sau se spune că deține proprietatea Wada . Spre deosebire de lacurile Wada, bazinele Wada sunt adesea disjuncte.
Un exemplu al bazinelor Wada este oferit de metoda Newton - Raphson aplicată unui polinom cubic cu rădăcini distincte, cum ar fi z 3 - 1; așa cum se arată în figură.
Un sistem fizic care prezintă bazinele Wada este modelul de reflexii între trei sfere în contact - vezi împrăștierea haotică .
Bibliografie
- Romulus Breban și H E. Nusse, Despre crearea bazinelor Wada în hărți de intervale prin bifurcația tangenței punctului fix , în Physica D , vol. 207, nr. 1-2, 2005, pp. 52-63, DOI : 10.1016 / j.physd.2005.05.012 .
- Yves Coudene, Imagini ale sistemelor dinamice hiperbolice ( PDF ), în Notificări ale Societății Americane de Matematică , vol. 53, nr. 1, 2006, pp. 8-13, ISSN 0002-9920 , MR 2189945 .
- Bernard R. Gelbaum și John MH Olmsted, contraexemple în analiză , Mineola, NY, Dover Publications, 2003, ISBN 0-486-42875-3 . exemplul 10.13
- JGHocking și GS Young, Topologie , New York, Dover Publications, 1988, p. 144 , ISBN 0-486-65676-4 .
- J. Kennedy și JA Yorke, Basins of Wada , în Physica D , vol. 51, 1991, pp. 213-225, DOI : 10.1016 / 0167-2789 (91) 90234-Z .
- D. Sweet, E.Ott și JA Yorke, Topologie complexă în împrăștierea haotică: o observație de laborator , în natură , vol. 399, nr. 6734, 1999, p. 315, DOI : 10.1038 / 20573 .
- Kunizô Yoneyama, Teoria setului continuu de puncte [ link rupt ] , în Tôhoku Mathematical Journal , vol. 12, 1917, pp. 43-158.
- Czes Kosniowski, Introducere în topologia algebrică , traducere de M. Pittalupa, Bologna, Zanichelli, 1998, pp. 111-112, ISBN 88-08-06440-9 .
linkuri externe
- O realizare experimentală a bazinelor Wada (cu fotografii) , pe andamooka.org .
- O introducere în bazinele Wada și proprietatea Wada , la www-chaos.umd.edu .
- Reflective Spheres of Infinity: Wada Basin Fractals , pe miqel.com . Adus la 10 mai 2014 (arhivat din original la 14 iunie 2006) .
- Bazine Wada: Redarea împrăștierii haotice [ link rupt ] , pe astronomy.swin.edu.au .