Lagrangian

În mecanica rațională , în special în mecanica lagrangiană , Lagrangianul unui sistem fizic este o funcție care îi caracterizează dinamica, fiind pentru sistemele mecanice diferența dintre energia cinetică și energia potențială în fiecare punct al căii urmate în timpul mișcării. În conformitate cu principiul celei mai mici acțiuni , un sistem fizic în mișcare între două puncte urmează o cale care, printre toate căile posibile, este cea care minimizează acțiunea , care este integrala Lagrangianului în ceea ce privește timpul. Pornind de la aceasta, sunt scrise ecuațiile de mișcare Euler-Lagrange .

În descrierea sistemelor fizice, invarianța Lagrangianului față de transformările continue ale coordonatelor determină prezența cantităților conservate în timpul mișcării sau a constantelor de mișcare , în conformitate cu teorema lui Noether .

Definiție

Lagrangiana $L({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle L ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle L ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t)}$ a unui sistem fizic cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ gradele de libertate sunt definite ca diferența dintre energia cinetică $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și energia potențială totală $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ :

L({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)=T({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)-U(\mathbf {q} ,t)

{\ displaystyle L ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) -U (\ mathbf {q}, t)}

{\ displaystyle L ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}, t) -U (\ mathbf {q}, t)}

unde este $\mathbf {q} \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ denotă coordonatele generalizate , ${\dot {\mathbf {q} }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {q}}}}$ viteza lor respectivă e $t\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$ $t \ in \ mathbb {R}$ este timpul. În sistemele conservatoare , unde aceasta este energia potențială $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ nu depinde de timp și energia este conservată, Lagrangianul este la rândul său independent de variabila timpului. Într-adevăr, având în vedere un punct material de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , are expresia:

L({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} )=T({\dot {\mathbf {q} }})-U(\mathbf {q} )={\frac {1}{2}}m({\dot {\mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }})-U(\mathbf {q} )

{\ displaystyle L ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}) - U (\ mathbf {q}) = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {\ mathbf {q}}} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}) - U (\ mathbf {q})}

{\ displaystyle L ({\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q}) = T ({\ dot {\ mathbf {q}}}) - U (\ mathbf {q}) = {\ frac {1} {2}} m ({\ dot {\ mathbf {q}}} \ cdot {\ dot {\ mathbf {q}}}) - U (\ mathbf {q})}

Dacă Lagrangianul este cunoscut ca o funcție a coordonatelor $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ și derivatele sale, atunci ecuația de mișcare a sistemului poate fi scrisă sub forma ecuațiilor Euler-Lagrange . Lagrangianul unui sistem poate să nu fie unic. De fapt, doi lagrangieni care descriu același sistem pot diferi în derivata totală în raport cu timpul unei anumite funcții $f(\mathbf {q} ,t)$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {q}, t)}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {q}, t)}$ , totuși ecuația de mișcare corespunzătoare va fi aceeași. ^[1] ^[2]

Uneori, Lagrangianul este exprimat și ca dependent de derivatele coordonatelor care urmează primei. În general, este definită ca o funcție ${\mathcal {L}}:TM\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}: TM \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}: TM \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ pe fasciculul tangent $T. M.$ ${\ displaystyle TM}$ ${\ displaystyle TM}$ de o varietate diferențiată , numită varietatea de configurații , la un moment dat.

Ecuațiile Lagrangian și Euler-Lagrange

Același subiect în detaliu: ecuațiile Euler-Lagrange .

Pentru principiul celei mai mici acțiuni , soluțiile ecuațiilor Euler-Lagrange, adică traiectoriile geodezice ale sistemului, sunt astfel încât să facă staționare (cu variație zero) integralul acțiunii calculate în raport cu traiectoriile posibile între două fixe puncte.

Mai mult, prin teorema lui Noether , dacă o anumită cantitate este invariantă în ceea ce privește transformarea unui câmp, atunci Lagrangianul corespunzător este simetric sub această transformare. De exemplu, dacă Lagrangianul nu depinde în mod explicit de o anumită coordonată $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ $q_ {i}$ , numită în acest caz coordonată ciclică , prin ecuațiile Euler-Lagrange avem:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ dreapta) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left ({\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ dreapta) = 0}

prin urmare:

p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}}}

prin urmare, momentul conjugat este o constantă de mișcare sau o cantitate conservată .

În special, dacă Lagrangianul nu depinde în mod explicit de timp, Hamiltonianul ${\mathcal {H}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$ ${\ mathcal H}$ este o constantă a mișcării. Mai exact, această cantitate stocată are forma:

H=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}-L=\sum _{i}{{\dot {q}}_{i}}p_{i}-L

{\ displaystyle H = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {{\ dot {q}} _ {i}}}} -L = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} p_ {i} -L}

{\ displaystyle H = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {{\ dot {q}} _ {i}}}} -L = \ sum _ {i} {{\ dot {q}} _ {i}} p_ {i} -L}

adică Hamiltonianul este transformata Legendre a Lagrangianului. Dacă Lagrangianul este dat de diferența de energie cinetică și potențială , $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este egală cu suma lor, adică cu energia totală a sistemului. Dacă în plus relația $p_{i}=\partial L/\partial {\dot {q}}_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ partial L / \ partial {\ dot {q}} _ {i}}$ ${\ displaystyle p_ {i} = \ partial L / \ partial {\ dot {q}} _ {i}}$ este inversabilă, ecuațiile Euler-Lagrange sunt echivalente cu ecuațiile Hamilton ale sistemului.

Densitatea lagrangiană

În diferite domenii ale fizicii, inclusiv electrodinamica și teoria cuantică a câmpului , densitatea lagrangiană este definită ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ astfel încât:

L=\int _{\mathbf {x} \in D}{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ',t,\mathbf {x} )\,\mathrm {d} \mathbf {x}

{\ displaystyle L = \ int _ {\ mathbf {x} \ în D} {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q} ' , t, \ mathbf {x}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {x}}

{\ displaystyle L = \ int _ {\ mathbf {x} \ în D} {\ mathcal {L}} (\ mathbf {q}, {\ dot {\ mathbf {q}}}, \ mathbf {q} ' , t, \ mathbf {x}) \, \ mathrm {d} \ mathbf {x}}

unde este $\mathbf {q} '=(\partial q_{i}/\partial x_{j})$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} '= (\ partial q_ {i} / \ partial x_ {j})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} '= (\ partial q_ {i} / \ partial x_ {j})}$ , $\mathbf {\dot {q}} =(\partial q_{1}/\partial t,\dots ,\partial q_{n}/\partial t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = (\ partial q_ {1} / \ partial t, \ dots, \ partial q_ {n} / \ partial t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {q}} = (\ partial q_ {1} / \ partial t, \ dots, \ partial q_ {n} / \ partial t)}$ Și $D\subset \mathbb {R} ^{k}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R} ^ {k}}$ .

De exemplu, în relativitatea specială , densitatea lagrangiană este utilizată datorită faptului că este un scalar Lorentz local, iar acțiunea este definită prin integrală:

{\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\ \mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{\mathbf {x} \in D}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\mathrm {d} t=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{4}x

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \ \ mathrm {d} t = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2 }} \ int _ {\ mathbf {x} \ în D} {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \, \ mathrm {d} t = \ int {\ mathcal {L }} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L \ \ mathrm {d} t = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2 }} \ int _ {\ mathbf {x} \ în D} {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} \ mathbf {x} \, \ mathrm {d} t = \ int {\ mathcal {L }} \, \ mathrm {d} ^ {4} x}

Utilizarea densității lagrangiene ne permite să scriem ecuațiile mișcării într-un mod vădit covariant .

Exemplu

Să presupunem că avem Lagrangianul într-un spațiu tridimensional:

L={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {x} }}^{2}-U(\mathbf {x} )

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ mathbf {x}}} ^ {2} -U (\ mathbf {x})}

{\ displaystyle L = {\ frac {1} {2}} m {\ dot {\ mathbf {x}}} ^ {2} -U (\ mathbf {x})}

unde derivatul în raport cu timpul este scris în mod convențional ca un punct deasupra funcției derivate. Se poate arăta cu ușurință că abordarea Lagrange este echivalentă cu cea newtoniană. Scrierea forței conservatoare în termeni de energie potențială:

\mathbf {F} =-\nabla U

{\ displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla U}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla U}

ecuația rezultată este de fapt:

\mathbf {F} =m{\ddot {\mathbf {x} }}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = m {\ ddot {\ mathbf {x}}}}

{\ mathbf {F}} = m {\ ddot {{\ mathbf {x}}}}

Deci, presupunând că vrem să reprezentăm mișcarea unui punct material în spațiul tridimensional folosind coordonate sferice $(r,\theta ,\phi )$ ${\ displaystyle (r, \ theta, \ phi)}$ $(r, \ theta, \ phi)$ , forma Lagrangianului este:

L={\frac {m}{2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}(\theta ){\dot {\phi }}^{2}\right)-U(r,\theta ,\phi )

{\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right) -U (r, \ theta, \ phi)}

{\ displaystyle L = {\ frac {m} {2}} \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ theta}} ^ {2} + r ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta) {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ right) -U (r, \ theta, \ phi)}

Cel mai imediat avantaj al formulării lagrangiene asupra celei newtoniene constă în faptul că, în cazul sistemelor constrânse, este posibil să se obțină ecuațiile mișcării fără a fi nevoie să se ia în considerare reacțiile de constrângere, care sunt în mare parte nedeterminate. În acest scop, este suficient să înlocuiți în Lagrangian pentru sistemul necontrolat o parametrizare adecvată a constrângerii. De exemplu, pentru a trece de la descrierea unui punct material care nu este supus constrângerilor la cea a unui punct material constrâns să rămână la o distanță fixă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ de la un centru atribuit, adică un pendul sferic, este suficient să întrebi $r={\text{costante}}$ ${\ displaystyle r = {\ text {constant}}}$ ${\ displaystyle r = {\ text {constant}}}$ în Lagrangian în coordonate sferice și obțineți ecuațiile Euler-Lagrange doar pentru funcțiile necunoscute $\theta (t)$ ${\ displaystyle \ theta (t)}$ $\ theta (t)$ Și $\phi (t)$ ${\ displaystyle \ phi (t)}$ $\ phi (t)$ . În acest fel, ecuațiile mișcării sunt obținute imediat, fără a fi nevoie să calculăm mai întâi proiecția forțelor active pe planul tangent la sfera razei $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , așa cum ar fi necesar să se facă pentru a scrie ecuațiile lui Newton.

Notă

^ Herbert Goldstein, Charles Poole și John Safko, Mecanica clasică , ed. A III-a, Addison-Wesley, 2002, p. 21 , ISBN 978-0-201-65702-9 .
^ Lev D. Landau și Evgenij M. Lifšic, Meccanica , Roma, Editori Riuniti, 1991, ISBN 88-359-3473-7 .

Bibliografie

Lev D. Landau și Evgenij M. Lifšic , Fizică teoretică , vol. 1, ed. A III-a, Roma, Editori Riuniti , 1994 [1976] , ISBN 88-359-3473-7 .
Antonio Fasano si Stefano Marmi, Mecanica analitică, Torino, Bollati Boringhieri , 2002, ISBN 88-339-5681-4 .
Valter Moretti, Mecanică analitică , Springer, DOI : 10.1007 / 978-88-470-3998-8 , ISBN 978-88-470-3998-8 .
Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill, (1967) ISBN 007-069258-0 . O „discuție” exhaustivă de 350 de pagini ale subiectului.
( FR ) Joseph-Louis Lagrange Mécanique analytique (1788) partea 2, secțiunea 4, Mallet-Bachelier, Paris (1853-1855).
( FR ) Joseph-Louis Lagrange Oeuvres de Lagrange ^{[ link rupt ]} v. 11-12 Gauthier-Villars, Paris (1867-1892).
( EN ) AG Webster Dinamica particulelor și a corpurilor rigide, elastice și fluide. Fiind prelegeri de fizică matematică (1912) BG Teubner, Leipzig.
( EN ) ET Whittaker Un tratat despre dinamica analitică a particulelor și corpurilor rigide , (1917) Cambridge University Press.
( EN ) A. Ziwet și P. Field Introducere în mecanica analitică (1921) p. 263 MacMillan, New York.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) IV Volovich, Lagrangian , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Christoph Schiller, Descrieri globale ale mișcării: simplitatea complexității ( PDF ), su motionmountain.net , 2005 (arhivat din original la 17 decembrie 2008) .
( EN ) David Tong, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes) , pe damtp.cam.ac.uk .
(EN)David Morin - Metoda Lagrangiană (PDF) pe people.fas.harvard.edu.

Portalul de matematică

Portal mecanic

[Goldstein-1] Herbert Goldstein, Charles Poole și John Safko, Mecanica clasică , ed. A III-a, Addison-Wesley, 2002, p. 21 , ISBN 978-0-201-65702-9 .

[2] Lev D. Landau și Evgenij M. Lifšic, Meccanica , Roma, Editori Riuniti, 1991, ISBN 88-359-3473-7 .

[1]

[2]