Sistem dinamic al larvei de pin
În biologia teoretică , sistemul dinamic al larvei de pin este un model matematic care reprezintă dinamica populației unui anumit gen de lepdoptere numit în engleză muguri de molid , cel al Choristoneura (familia Tortricidae ), care trăiește în pădurile din America de Nord și atacă frunzele Abies balsamea pentru a obține hrană și protecție împotriva păsărilor răpitoare din speciile Setophaga tigrina prezente în aceleași păduri.
La fiecare 40 de ani are loc o explozie a populației, cu consecința devastării pinilor prezenți. Odată ce resursele pădurii au fost consumate aproape complet, larvele revin la un nivel de refugiu dând impresia că dispar din pădure.
Sistemul este descris, sub formă adimensională , prin ecuația diferențială :
unde este reprezintă populația de larve, rata lor de creștere e capacitatea de încărcare sau resursele mediului.
Descrierea sistemului
În studiul sistemului, unele variabile sunt considerate la fel de rapide și altele la fel de lente . Acesta din urmă, într-un stadiu incipient al modelului, poate fi considerat constant.
Densitatea larvelor poate crește de sute de ori în câțiva ani. Deci, are sens să considerăm populația de viermi ca o variabilă rapidă . Același moment se aplică schimbării comportamentului păsărilor prădătoare, în timp ce numărul păsărilor poate fi considerat constant în timp.
Copacii, pe de altă parte, au o viață medie de 100-150 de ani, iar timpul total de refacere a frunzelor este de aproximativ 7-10 ani. Din acest motiv, numărul de frunze poate fi considerat o variabilă lentă .
Formularea matematică
Având în vedere cantitatea de frunziș cu care larvele se alimentează constant, un model bun pentru sistem poate fi dat de ecuația diferențială:
adică printr-un sistem care în absența păsărilor urmează o ecuație logistică a parametrilor Și , plus un termen de predare negativ dată de prezența păsărilor.
Termen de prădare
Deoarece păsările rămân într-un număr aproape constant și întrucât consumul de pradă pentru fiecare pasăre va atinge o valoare de saturație (prădătorul este satisfăcut), funcția , pe măsură ce populația de larve crește se va satura și se va stabiliza la o valoare limită . În formule:
Astfel de păsări se hrănesc și cu alte pradă, prin urmare, pentru populațiile scăzute de larve, își vor concentra eforturile pe alte tipuri de alimente mai ușor disponibile. Numai când larvele de pin cresc în număr, păsările vor începe să le caute selectiv. Matematic putem presupune că scade cvadratic pentru .
O formulare simplă pentru care termenul de saturație în și că într-un cartier de 0 este de ordinul Și:
unde termenul reprezintă scala densității larvelor pentru care începe fenomenul de saturație. Matematic când prădarea este jumătate din maxim:
Dimensionalizare
Prin urmare, modelul de viermi de molid devine:
Dintre cei patru parametri prezenți, este posibil, prin dimensionarea sistemului, ca doi să dispară. O alegere convenabilă este de a lăsa ca parametri pe cei referitori la primul membru, pentru a readuce studiul acestei părți la ecuația logistică bine-cunoscută.
Ca prim pas, puteți împărți numeratorul și numitorul termenului de prădare la obținerea:
Din punct de vedere dimensional avem:
se ia în considerare variabila adimensională ceea ce ne permite să rescriem:
adică prin plasare :
Împărțind totul prin noi obținem:
Observând că dimensional avem:
prin urmare:
putem defini variabila adimensională , rescriind sistemul ca:
Am notat asta:
prin urmare, putem defini parametrii adimensionali Și , rescriind în cele din urmă sistemul:
Puncte de echilibru
Căutarea punctelor de echilibru ale sistemului înseamnă găsirea soluțiilor pentru:
Studiul funcției
cu toate acestea, este complicat.
Valoarea , adică dispariția larvelor, este în mod trivial un punct de echilibru. Studiul derivatelor arată, de asemenea, că este un punct de echilibru instabil .
Pentru a obține orice alte puncte fixe, intersecțiile celor două părți ale modelului pot fi studiate (prin împărțirea la al cărui caz a fost deja discutat) sau prin găsirea punctelor pentru care se aplică:
În expresia de mai sus, primul membru reprezintă creșterea pe cap de locuitor a variabilei adimensionale în ceea ce privește timpul , în timp ce al doilea membru este rata de deces pe cap de locuitor cauzată de prădare, referindu-se din nou la variabile nedimensionale.
Deoarece numărul frunzelor de pin pe care larvele le consumă este aproape constant, este luat în considerare ca o constantă și puteți vedea cum se modifică modelul pe măsură ce se modifică valoarea parametrului . În special, pornim de la mic și vedeți ce se întâmplă mărindu-l.
Pe lângă cele deja date punctele de echilibru care pot fi obținute din ecuația de mai sus, adică punctele de intersecție ale celor două curbe, variază ca număr de la 1 la 3. De fapt, există două bifurcații ale nodului de șa în care asistăm la apariția / dispariția fixelor puncte.
Un punct de echilibru: Refugiul
Pentru valori mici de există o singură intersecție că studiul geometric al graficului arată că este stabil .
Acest punct de echilibru, în timp ce se deplasează spre dreapta, rămâne relativ aproape de origine.
Din punct de vedere biologic, populația crește, dar numărul persoanelor rămâne întotdeauna scăzut. Din acest motiv ideea se numește refugiu sau refugiu .
Prima bifurcație a nodului de șa
Dupa cum se atinge o valoare critică în care apare un nou punct de echilibru semi-stabil (instabil pe stânga și stabil pe dreapta).
Deoarece punctul semistabil nu variază numeric fluxul, populația rămâne aproape de punctul de echilibru
Trei puncte de echilibru
Din nou în creștere noul punct de echilibru se împarte în două puncte diferite instabil și stabil .
Chiar și cu prezența unui nou punct fix în sistem, populația rămâne aproape de punctul fix . Acest lucru se datorează faptului că, pentru a ajunge la bazinul de atracție al , numărul indivizilor ar trebui să depășească punctul instabil , care urmează să fie supus unei mari perturbații.
A doua bifurcație a șa-nodului
Dupa cum o a doua valoare critică este atinsă acolo unde punctele Și se ciocnesc într-un singur punct semi- stabil (stabil pe stânga, instabil pe dreapta).
Ideea a devenit instabil din punct de vedere numeric. Prin urmare, din punct de vedere biologic, după orice ușoară perturbare, sistemul explodează spre dreapta, oprindu-se doar în apropierea punctului .
Din cauza acestei dispariții bruște a punctului de echilibru al refugiului , invazia larvelor din păduri are loc aproximativ la fiecare 40 de ani. Din acest motiv ideea se mai numește și explozie sau focar .
Un punct de echilibru: explozie
Pentru valori ridicate de din nou, există o singură intersecție. Aceasta este de data asta ceea ce se dovedește a fi stabil .
Acest punct de echilibru, deși mai mic, este destul de aproape de capacitatea de încărcare .
Reveniți la Refugiu
În acest moment, deoarece populația de larve și, prin urmare, consumul de frunziș este mult mai mare decât înainte, nu mai poate fi luată în considerare constant.
De fapt, numărul frunzelor din pădure scade drastic și, deși parametrul rămâne neschimbată, pe măsură ce K scade linia intersectează curba de prădare din nou, determinând reapariția punctelor Și și în cele din urmă, făcând să dispară punctul fix .
În acest moment, populația de larve revine la valoarea inițială de refugiu , începând din nou ciclul.
Rețineți fenomenul histerezisului prin care în zona cu două puncte de echilibru stabile (plus un al treilea instabil), populația tinde spre primul punct fix sau spre al doilea pe baza poziției din pașii anteriori, adică în funcție de parametrul indiferent dacă este în creștere sau în scădere.
Bibliografie
- ( EN ) Analiza calitativă a sistemelor de focar de insecte: viermele de molid și pădurea , D. Ludwig și colab. (1978), J. Anim. Ecol. , 47 , 315.
- ( RO ) Modelarea spațială a viermelui de molid [ legătură ruptă ] , D. Ludwig și colab. (1978), J. Math. Biol. , 8 , 217.
- ( EN ) Strogatz SH (1994), Nonlinear Dynamics and Haos (Perseus Books, Cambridge),
Elemente conexe
Alte proiecte
- Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere model ale larvei de pin
linkuri externe
- ( RO ) Priviți-l! - Model Spruce-Budworm , site-ul prof. Steve McKelvey (Colegiul St. Olaf)