Energie mecanică

Suma energiei potențiale și a energiei cinetice rămâne constantă

Energia mecanică este suma energiei cinetice și a energiei potențiale aferente aceluiași sistem, care trebuie distinsă de energia totală a sistemului, care include și energia internă .

Când două sisteme schimbă energie mecanică între ele, această energie în tranzit se numește muncă . Prin urmare, energia mecanică poate fi posedată de un sistem și schimbată cu alte sisteme, în timp ce munca corespunde doar părții de energie mecanică care este schimbată.

Sisteme scleronomice conservatoare

Același subiect în detaliu: Conservarea energiei mecanice .

Pentru un sistem scleronom și numai în prezența forțelor conservatoare , se arată că energia mecanică constituie o integrală a mișcării , adică este conservată și coincide cu Hamiltonianul mecanic ^[1] . Cea mai simplă dovadă derivă direct din teorema energiei cinetice : dacă munca efectuată de forțe este egală cu modificarea energiei cinetice a sistemului:

W_{AB}=T(B)-T(A)=\Delta T

{\ displaystyle W_ {AB} = T (B) -T (A) = \ Delta T}

{\ displaystyle W_ {AB} = T (B) -T (A) = \ Delta T}

Dacă forțele sunt conservatoare, este posibil să se exprime lucrarea ca o schimbare a energiei potențiale:

\mathbf {F} =-\mathbf {\nabla } U

{\ displaystyle \ mathbf {F} = - \ mathbf {\ nabla} U}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = - \ mathbf {\ nabla} U}

W_{AB}=\int _{A}^{B}\mathbf {F} \cdot \operatorname {d} \mathbf {s} =-\int _{A}^{B}\mathbf {\nabla } U\cdot \operatorname {d} \mathbf {s} =-(U(B)-U(A))=-\Delta U

{\ displaystyle W_ {AB} = \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf {F} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s} = - \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf { \ nabla} U \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s} = - (U (B) -U (A)) = - \ Delta U}

{\ displaystyle W_ {AB} = \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf {F} \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s} = - \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf { \ nabla} U \ cdot \ operatorname {d} \ mathbf {s} = - (U (B) -U (A)) = - \ Delta U}

obținem că variația energiei cinetice plus variația energiei potențiale este identică zero, adică:

\Delta T+\Delta U=\Delta (T+U)=0

{\ displaystyle \ Delta T + \ Delta U = \ Delta (T + U) = 0}

{\ displaystyle \ Delta T + \ Delta U = \ Delta (T + U) = 0}

după ce a botezat cantitatea T + U de energie mecanică totală a sistemului.

Câmp gravitațional

Un corp dintr-un câmp gravitațional (conservator) este dotat cu o anumită energie potențială dependentă numai de înălțime față de un punct de referință. Dacă o lăsăm liberă, în absența forțelor disipative precum fricțiunea cu aerul, energia potențială inițială, pe măsură ce cade, se transformă în energie cinetică (viteza crește) în timp ce suma celor două energii rămâne ea însăși. Apelare $h(t)=h$ ${\ displaystyle h (t) = h}$ ${\ displaystyle h (t) = h}$ Și $v(t)=v$ ${\ displaystyle v (t) = v}$ ${\ displaystyle v (t) = v}$ respectiv înălțimea față de o referință fixă și viteza unui corp la momentul t , e $h(0)=h_{0}$ ${\ displaystyle h (0) = h_ {0}}$ ${\ displaystyle h (0) = h_ {0}}$ Și $v(0)=v_{0}$ ${\ displaystyle v (0) = v_ {0}}$ ${\ displaystyle v (0) = v_ {0}}$ aceleași cantități la momentul inițial t = 0, avem:

\Delta T=-\Delta U

{\ displaystyle \ Delta T = - \ Delta U}

{\ displaystyle \ Delta T = - \ Delta U}

acesta este

{\frac {1}{2}}m(v^{2}-v_{0}^{2})=-mg(h-h_{0})

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} m (v ^ {2} -v_ {0} ^ {2}) = - mg (h-h_ {0})}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} m (v ^ {2} -v_ {0} ^ {2}) = - mg (h-h_ {0})}

că putem scrie ca.

{\frac {1}{2}}mv^{2}+mgh={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}+mgh_{0}.

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + mgh = {\ frac {1} {2}} mv_ {0} ^ {2} + mgh_ {0}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + mgh = {\ frac {1} {2}} mv_ {0} ^ {2} + mgh_ {0}.}

Primul membru al celui precedent exprimă energia mecanică totală T + U a sistemului la momentul t , care este constantă și egală cu energia mecanică $(T+U)_{0}$ ${\ displaystyle (T + U) _ {0}}$ ${\ displaystyle (T + U) _ {0}}$ a sistemului la momentul t = 0. Prin urmare:

{\frac {1}{2}}mv^{2}+mgh=(T+U)(t)=(T+U)_{0}\quad (={\mbox{cost.}})

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + mgh = (T + U) (t) = (T + U) _ {0} \ quad (= {\ mbox {cost.} })}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + mgh = (T + U) (t) = (T + U) _ {0} \ quad (= {\ mbox {cost.} })}

La sfârșitul toamnei, când corpul lovește podeaua și este din nou staționar, energia cinetică este din nou zero și, din moment ce și energia potențială a scăzut, concluzionăm că, în acest caz, energia mecanică s-a disipat (mai târziu într-un inelastic impact ). În realitate, energia mecanică care a dispărut se dovedește a fi transformată în energie termică și, eventual, în unde sonore : prin măsurarea temperaturii obiectului putem constata de fapt o ușoară creștere a acestuia, precum și observarea, dacă este prezentă, o perturbare a eventualului mediu în care are loc coliziunea. Acesta este un fapt general: legile de conservare ale fizicii implică conservarea energiei în sisteme izolate.

Pendulul lui Maxwell

Pendulul lui Maxwell oferă un exemplu excelent al principiului conservării energiei mecanice. Sistemul constă dintr-un volant. Două fire sunt înfășurate în aceeași direcție în jurul axei volantului, în timp ce capetele opuse sunt conectate la un suport orizontal. Volanta este încărcată prin înfășurarea firelor în jurul axei, astfel încât volanta să fie la o anumită înălțime față de planul de referință. Dacă este dat drumul, volanta începe să coboare și crește viteza. Ajungând în punctul cel mai de jos permis de derularea firelor, pendulul derulează în direcția opusă și urcă din nou. În condiții ideale, ar reveni la aceeași altitudine de pornire; totuși, datorită prezenței fricțiunii cu firele și cu mediul (aerul), mișcarea este în schimb amortizată și, după un anumit număr de oscilații, pendulul se oprește în cel mai jos punct permis de fire.

Pentru a determina perioada acestui pendul sau timpul necesar volantului pentru a coborî și a urca, se utilizează principiul conservării energiei:

\Delta T=-\Delta U

{\ displaystyle \ Delta T = - \ Delta U}

{\ displaystyle \ Delta T = - \ Delta U}

adică variațiile energiei cinetice, atât tradiționale, cât și rotaționale, compensează variațiile energiei potențiale. Luând ca axă de referință axa h îndreptată în sus și ca plan de referință acel plan orizontal pe care se află cel mai mic punct atins de volant, la înălțimea maximă h _max energia este tot potențială, în timp ce la cel mai înalt punct scăzut ( h = 0) energia este cinetică. Dacă h și v sunt înălțimea și viteza generice la momentul t , putem face explicit conservarea energiei:

mgh_{max}-mgh(t)=-\left({\frac {1}{2}}m[v(t)]^{2}+{\frac {1}{2}}I[\omega (t)]^{2}\right).

{\ displaystyle mgh_ {max} -mgh (t) = - \ left ({\ frac {1} {2}} m [v (t)] ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I [\ omega (t)] ^ {2} \ dreapta).}

{\ displaystyle mgh_ {max} -mgh (t) = - \ left ({\ frac {1} {2}} m [v (t)] ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I [\ omega (t)] ^ {2} \ dreapta).}

Dacă exprimăm I , momentul de inerție al volantului, ca kmr ² , cu k coeficient adimensional, cel anterior poate fi scris în felul următor (amintindu-ne că v = ω r ):

mgh-mgh_{max}={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kmv^{2}={\frac {1+k}{2}}mv^{2}.

{\ displaystyle mgh-mgh_ {max} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {1} {2}} kmv ^ {2} = {\ frac {1 + k} {2}} mv ^ {2}.}

{\ displaystyle mgh-mgh_ {max} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {1} {2}} kmv ^ {2} = {\ frac {1 + k} {2}} mv ^ {2}.}

Obținem ambii membri în ceea ce privește timpul (ne amintim să includem toate dependențele de timp și să aplicăm corect regula derivării funcțiilor compuse ):

mgv=(1+k)mva\quad \Rightarrow \quad a={\frac {g}{1+k}}

{\ displaystyle mgv = (1 + k) mva \ quad \ Rightarrow \ quad a = {\ frac {g} {1 + k}}}

{\ displaystyle mgv = (1 + k) mva \ quad \ Rightarrow \ quad a = {\ frac {g} {1 + k}}}

Legea orară a unui corp uniform accelerat este dată de:

\Delta h=h(t)-h_{max}={\frac {1}{2}}at^{2}

{\ displaystyle \ Delta h = h (t) -h_ {max} = {\ frac {1} {2}} la ^ {2}}

{\ displaystyle \ Delta h = h (t) -h_ {max} = {\ frac {1} {2}} la ^ {2}}

Impunând că Δh este egal cu extensia maximă a volantului (adică h ( t ) = 0), se obține timpul t în care volantul ajunge în partea de jos (perioada T este exact dublă):

h_{max}={\frac {-g}{2(1+k)}}t^{2}\quad \Rightarrow \quad t^{2}=2h_{max}{\frac {1+k}{-g}}\quad \Rightarrow \quad t={\sqrt {2h_{max}{\frac {1+k}{-g}}}}

{\ displaystyle h_ {max} = {\ frac {-g} {2 (1 + k)}} t ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad t ^ {2} = 2h_ {max} {\ frac {1 + k} {- g}} \ quad \ Rightarrow \ quad t = {\ sqrt {2h_ {max} {\ frac {1 + k} {- g}}}}}

{\ displaystyle h_ {max} = {\ frac {-g} {2 (1 + k)}} t ^ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad t ^ {2} = 2h_ {max} {\ frac {1 + k} {- g}} \ quad \ Rightarrow \ quad t = {\ sqrt {2h_ {max} {\ frac {1 + k} {- g}}}}}

Deci, în cele din urmă:

T=2{\sqrt {2h_{max}{\frac {1+k}{-g}}}}

{\ displaystyle T = 2 {\ sqrt {2h_ {max} {\ frac {1 + k} {- g}}}}}

{\ displaystyle T = 2 {\ sqrt {2h_ {max} {\ frac {1 + k} {- g}}}}}

Coliziuni elastice ale unui corp împotriva unei ținte staționare

Același subiect în detaliu: coliziune elastică .

Să considerăm un corp de masă m cu viteza inițială $v_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ $tu}$ care se ciocnește elastic cu un alt corp, inițial staționar, de masa M. Deoarece coliziunea este elastică, energia mecanică a întregului sistem trebuie conservată. Având în vedere că forțele impulsive acționează într-o coliziune, este posibil să neglijăm celelalte forțe implicate (de exemplu, gravitaționale ), prin urmare, energia sistemului este dată de suma energiilor cinetice ale corpurilor. Mai mult, întrucât într-o coliziune, prin definiție, sistemul este considerat izolat, impulsul este conservat. Apelând v _M viteza finală a țintei, obținem sistemul:

{\begin{cases}T_{i}=T_{f}\\P_{i}=P_{f}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} T_ {i} = T_ {f} \\ P_ {i} = P_ {f} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} T_ {i} = T_ {f} \\ P_ {i} = P_ {f} \ end {cases}}}

{\begin{cases}{\frac {1}{2}}mv_{i}^{2}={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}+{\frac {1}{2}}Mv_{M}^{2}\\mv_{i}=mv_{f}+Mv_{M}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {1} {2}} mv_ {i} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} mv_ {f} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} Mv_ {M} ^ {2} \\ mv_ {i} = mv_ {f} + Mv_ {M} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {1} {2}} mv_ {i} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} mv_ {f} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} Mv_ {M} ^ {2} \\ mv_ {i} = mv_ {f} + Mv_ {M} \ end {cases}}}

Este ușor de găsit, obținând v _M din a doua ecuație și substituind în prima:

v_{f}={\frac {(m-M)}{(m+M)}}\cdot v_{i}=\mu v_{i}

{\ displaystyle v_ {f} = {\ frac {(mM)} {(m + M)}} \ cdot v_ {i} = \ mu v_ {i}}

{\ displaystyle v_ {f} = {\ frac {(m-M)} {(m + M)}} \ cdot v_ {i} = \ mu v_ {i}}

unde μ este un coeficient adimensional care indică raportul dintre viteza finală și cea inițială. Se obține imediat energia cinetică finală a proiectilului

T_{f}={\frac {1}{2}}mv_{f}^{2}={\frac {1}{2}}m\left[\mu v_{i}\right]^{2}

{\ displaystyle T_ {f} = {\ frac {1} {2}} mv_ {f} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m \ left [\ mu v_ {i} \ right] ^ {2}}

{\ displaystyle T_ {f} = {\ frac {1} {2}} mv_ {f} ^ {2} = {\ frac {1} {2}} m \ left [\ mu v_ {i} \ right] ^ {2}}

adică

T_{f}=\mu ^{2}T_{i}

{\ displaystyle T_ {f} = \ mu ^ {2} T_ {i}}

{\ displaystyle T_ {f} = \ mu ^ {2} T_ {i}}

energia cinetică a corpului, după impact, este egală cu cea inițială pentru un coeficient pozitiv μ ² numit restituire .

Sisteme scleronomice neconservatoare

Forțele care acționează asupra unui sistem nu sunt întotdeauna conservatoare și, prin urmare, energia mecanică nu este întotdeauna conservată. Apoi lăsați F _C și F _NC este suma tuturor forțelor conservatoare și non-conservatoare respectiv. Munca pe care au făcut-o este atunci:

W=W_{\operatorname {C} }+W_{\operatorname {NC} }

{\ displaystyle W = W _ {\ operatorname {C}} + W _ {\ operatorname {NC}}}

{\ displaystyle W = W _ {\ operatorname {C}} + W _ {\ operatorname {NC}}}

Prin teorema energiei cinetice , lucrarea corespunde schimbării totale a energiei cinetice a sistemului:

W=\Delta T

{\ displaystyle W = \ Delta T}

{\ displaystyle W = \ Delta T}

în timp ce, fiind forțe conservatoare F _C , este posibil să le asociați o funcție potențială U astfel încât activitatea acestor forțe să poată fi exprimată ca:

W_{\operatorname {C} }=-\Delta U

{\ displaystyle W _ {\ operatorname {C}} = - \ Delta U}

{\ displaystyle W _ {\ operatorname {C}} = - \ Delta U}

În acest fel, substituind în expresia operei, avem:

\Delta T=-\Delta U+W_{\operatorname {NC} }\qquad \Rightarrow \qquad \Delta (T+U)=W_{\operatorname {NC} }

{\ displaystyle \ Delta T = - \ Delta U + W _ {\ operatorname {NC}} \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ Delta (T + U) = W _ {\ operatorname {NC}}}

{\ displaystyle \ Delta T = - \ Delta U + W _ {\ operatorname {NC}} \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ Delta (T + U) = W _ {\ operatorname {NC}}}

Acum primul membru recunoaște variația de energie mecanică a sistemului, dovadă că variațiile de energie mecanică ale unui sistem se datorează exclusiv muncii efectuate de forțele neconservatoare asupra sistemului.

Un exemplu de forță neconservatoare, luată din experiența de zi cu zi, este forța fricțiunii . Deși în natură nu există forțe neconservatoare (la nivel microscopic), forța de frecare este considerată neconservatoare, în primul rând pentru că este, în general, nu constantă, cel puțin în direcție și spre; în al doilea rând, deoarece efectele pe care le produce (în general supraîncălzirea pieselor în contact) nu sunt luate în calcul în calculul energiei mecanice. În mod similar, contribuțiile câmpului electromagnetic care produce o muncă neconservatoare și dependentă de deplasare nu sunt luate în considerare.

Notă

^ în timp ce acest lucru nu este adevărat pentru sistemele reonomice sau neconservative în care energia mecanică își pierde importanța în favoarea celei de-a doua cantități

Bibliografie

C. Mencuccini și V. Silvestrini, Fizica I (Mecanică și termodinamică) , ed. A III-a, ISBN 88-207-1493-0 , Liguori Editore, 1996.
Herbert Goldstein, Mecanică clasică, Zanichelli, 2005.

linkuri externe

( EN )Energie mecanică , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 28639

Portal mecanic

Portalul Termodinamicii

[1] ^ în timp ce acest lucru nu este adevărat pentru sistemele reonomice sau neconservative în care energia mecanică își pierde importanța în favoarea celei de-a doua cantități

[1]