Teorema de lucru virtuală

În fizică și inginerie , teorema de lucru virtuală sau principiul lucrărilor virtuale (adesea denumit PLV ) afirmă că pentru un sistem în echilibru static, fiecare deplasare virtuală infinitesimală în spațiul de fază este asociată cu o muncă mecanică zero. În acest context, vorbim despre munca virtuală , munca mecanică a unei forțe în raport cu o deplasare virtuală infinitesimală (o schimbare instantanee a coordonatelor).

Lasa-i sa fie $\mathbf {q} =q_{1},q_{2},\dots$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = q_ {1}, q_ {2}, \ dots}$ ${\ mathbf q} = q_ {1}, q_ {2}, \ dots$ coordonatele generalizate ale sistemului e $F_{j}$ ${\ displaystyle F_ {j}}$ $F_ {j}$ cel de-al treilea rezultat al $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ forțe care acționează în direcție $q_{j}$ ${\ displaystyle q_ {j}}$ $q_ {j}$ . Teorema afirmă că la o variație $\delta \mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {q}}$ $\ delta {\ mathbf q}$ munca zero este asociată cu privire la poziția de echilibru:

\sum _{j=1}^{m}F_{j}\delta q_{j}=0

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {m} F_ {j} \ delta q_ {j} = 0}

\ sum _ {{j = 1}} ^ {m} F_ {j} \ delta q_ {j} = 0

unde este $\delta W_{j}=F_{j}\delta q_{j}$ ${\ displaystyle \ delta W_ {j} = F_ {j} \ delta q_ {j}}$ $\ delta W_ {j} = F_ {j} \ delta q_ {j}$ este opera lui $F_{j}$ ${\ displaystyle F_ {j}}$ $F_ {j}$ relativ la deplasarea infinitesimală $\delta q_{j}$ ${\ displaystyle \ delta q_ {j}}$ $\ delta q_ {j}$ .

Cu alte cuvinte, munca efectuată de forțe externe pe un solid continu deformat este aceeași cu cea efectuată de forțe interne. Termenul „virtual” indică faptul că teorema este valabilă pentru lucrările calculate pentru orice sistem dat de forțe externe (forțe de suprafață și volum) echilibrate cu eforturile unitare și pentru orice câmp de deplasare congruent cu deformațiile unitare, dar nu neapărat consecințele sistemului a forțelor externe aplicate.

Teorema lucrărilor virtuale poate fi extinsă la sisteme discrete de corpuri (interne continue) constrânse între ele.

Muncă virtuală

Având în vedere o particulă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ deplasându-se de-a lungul unei traiectorii $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf r} (t)$ între puncte $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ supus unei forțe $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ , munca depusă de $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ Și:

W=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt

{\ displaystyle W = \ int _ {\ mathbf {r} (t_ {0}) = A} ^ {\ mathbf {r} (t_ {1}) = B} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf { r} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {v} dt}

W = \ int _ {{{\ mathbf {r}} (t_ {0}) = A}} ^ {{{\ mathbf {r}} (t_ {1}) = B}} {\ mathbf {F} } \ cdot d {\ mathbf {r}} = \ int _ {{t_ {0}}} ^ {{t_ {1}}} {\ mathbf {F}} \ cdot {\ mathbf {v}} dt

unde este $d\mathbf {r}$ ${\ displaystyle d \ mathbf {r}}$ $d {\ mathbf r}$ este elementul infinitesimal al curbei $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf r} (t)$ Și $\mathbf {v} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} (t)}$ ${\ mathbf v} (t)$ este viteza de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Lucrarea lui $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ pentru o particulă ${P.}^{'}$ ${\ displaystyle P '}$ $P '$ ceea ce face ca o mișcare virtuală să se deplaseze de-a lungul unei traiectorii care diferă pentru o variație $\delta \mathbf {r} (t)=\epsilon \mathbf {h} (t)$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {r} (t) = \ epsilon \ mathbf {h} (t)}$ $\ delta {\ mathbf {r}} (t) = \ epsilon {\ mathbf {h}} (t)$ din $\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ ${\ mathbf r} (t)$ , între puncte $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și:

W'=\int _{A}^{B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\epsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\epsilon {\dot {\mathbf {h} }})dt

{\ displaystyle W '= \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf {F} \ cdot d (\ mathbf {r} + \ epsilon \ mathbf {h}) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} \ mathbf {F} \ cdot (\ mathbf {v} + \ epsilon {\ dot {\ mathbf {h}}}) dt}

W '= \ int _ {{A}} ^ {{B}} {\ mathbf {F}} \ cdot d ({\ mathbf {r}} + \ epsilon {\ mathbf {h}}) = \ int _ {{t_ {0}}} ^ {{t_ {1}}} {\ mathbf {F}} \ cdot ({\ mathbf {v}} + \ epsilon {\ dot {{\ mathbf {h}}}} ) dt

Lucrarea „virtuală” poate fi definită ca diferență:

\delta W=W'-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \epsilon {\dot {\mathbf {h} }})dt

{\ displaystyle \ delta W = W'-W = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} (\ mathbf {F} \ cdot \ epsilon {\ dot {\ mathbf {h}}}) dt}

\ delta W = W'-W = \ int _ {{t_ {0}}} ^ {{t_ {1}}} ({\ mathbf {F}} \ cdot \ epsilon {\ dot {{\ mathbf {h }}}}) dt

Deplasări rigide

Luați în considerare o structură nedeformabilă în echilibru. Rezultatul acționează asupra fiecărui punct $\mathbf {N} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {N} _ {i}}$ ${\ mathbf N} _ {i}$ de sarcini externe, rezultatul $\mathbf {C} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {C} _ {i}}$ ${\ mathbf C} _ {i}$ a forțelor de coeziune și a rezultantului $\mathbf {R} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {i}}$ ${\ mathbf R} _ {i}$ reacții de constrângere astfel încât:

\mathbf {N} _{i}+\mathbf {C} _{i}+\mathbf {R} _{i}=0

{\ displaystyle \ mathbf {N} _ {i} + \ mathbf {C} _ {i} + \ mathbf {R} _ {i} = 0}

{\ mathbf N} _ {i} + {\ mathbf C} _ {i} + {\ mathbf R} _ {i} = 0

Impunând o schimbare infinitesimală $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ la structură, în punctul i se verifică că munca virtuală a forțelor în timpul călătoriei sale $\delta _{i}$ ${\ displaystyle \ delta _ {i}}$ $\ delta _ {i}$ Și:

\mathbf {N} _{i}\mathbf {\delta } _{i}+\mathbf {C} _{i}\mathbf {\delta } _{i}+\mathbf {R} _{i}\mathbf {\delta } _{i}=0

{\ displaystyle \ mathbf {N} _ {i} \ mathbf {\ delta} _ {i} + \ mathbf {C} _ {i} \ mathbf {\ delta} _ {i} + \ mathbf {R} _ { i} \ mathbf {\ delta} _ {i} = 0}

{\ mathbf N} _ {i} {\ mathbf \ delta} _ {i} + {\ mathbf C} _ {i} {\ mathbf \ delta} _ {i} + {\ mathbf R} _ {i} { \ mathbf \ delta} _ {i} = 0

adică $L_{e}+L_{c}+L_{r}=0$ ${\ displaystyle L_ {e} + L_ {c} + L_ {r} = 0}$ $L_ {e} + L_ {c} + L_ {r} = 0$ .

Deoarece deplasarea este de tip rigid (nu există mișcări relative între puncte) pentru principiul acțiunii și reacției , forțele de coeziune sunt egale și opuse între ele și, în consecință, lucrările lor sunt și ele. Prin urmare, suma este zero: $L_{c}=0$ ${\ displaystyle L_ {c} = 0}$ $L_ {c} = 0$ . Dacă considerăm că constrângerile bilaterale nu funcționează decât dacă există fricțiuni, atunci și reacțiile de constrângere nu funcționează, adică $L_{r}=0$ ${\ displaystyle L_ {r} = 0}$ $L_ {r} = 0$ . Prin urmare, ecuația se reduce la $L_{e}=0$ ${\ displaystyle L_ {e} = 0}$ $L_ {e} = 0$ , adică munca realizată de un sistem echilibrat de forțe într-o deplasare rigidă este zero.

Deplasări cu deformarea materialului

Luați în considerare cazul în care câmpul de deplasare implică deformarea corpului. Avem că lucrarea forțelor de coeziune nu poate fi nulă și, având în vedere din nou postulatul Fourier, avem că:

\mathbf {N} _{i}\mathbf {\delta } _{i}+\mathbf {C} _{i}\mathbf {\delta } _{i}+\mathbf {R} _{i}\mathbf {\delta } _{i}=0

{\ displaystyle \ mathbf {N} _ {i} \ mathbf {\ delta} _ {i} + \ mathbf {C} _ {i} \ mathbf {\ delta} _ {i} + \ mathbf {R} _ { i} \ mathbf {\ delta} _ {i} = 0}

{\ mathbf N} _ {i} {\ mathbf \ delta} _ {i} + {\ mathbf C} _ {i} {\ mathbf \ delta} _ {i} + {\ mathbf R} _ {i} { \ mathbf \ delta} _ {i} = 0

adică:

L_{e}=L_{i}

{\ displaystyle L_ {e} = L_ {i}}

L_ {e} = L_ {i}

Pentru a demonstra acest lucru, luați în considerare tensiunile care acționează în planul xy al paralelipipedului generic $dV=dx\,dy\,dz$ ${\ displaystyle dV = dx \, dy \, dz}$ $dV = dx \, dy \, dz$ a solidului Cauchy întins în spațiul cartezian $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ R ^ 3$ și cele 3 componente de deformare axială și unghiulară aferente, în figura din lateral.

Prin urmare, este posibil să se determine munca internă efectuată de forțe (tensiuni înmulțite cu aria în care acționează) în deplasări datorită celor 6 componente de deformare:

(\varepsilon _{x},\varepsilon _{y},\varepsilon _{z},\gamma _{xz},\gamma _{yz},\gamma _{xy})

{\ displaystyle (\ varepsilon _ {x}, \ varepsilon _ {y}, \ varepsilon _ {z}, \ gamma _ {xz}, \ gamma _ {yz}, \ gamma _ {xy})}

(\ varepsilon _ {x}, \ varepsilon _ {y}, \ varepsilon _ {z}, \ gamma _ {{xz}}, \ gamma _ {{yz}}, \ gamma _ {{xy}})

Fiind în contextul cinematicii liniarizate, adică luând în considerare o teorie de ordinul întâi pentru care sunt luate în considerare deplasările și unghiurile infinitesimale aproximate la tangenta lor, infinitele de ordinul patru vor fi neglijate, adică toți termenii care conțin sau $dx^{2}$ ${\ displaystyle dx ^ {2}}$ $dx ^ {2}$ sau $dy^{2}$ ${\ displaystyle dy ^ {2}}$ $dy ^ {2}$ sau $dz^{2}$ ${\ displaystyle dz ^ {2}}$ $dz ^ {2}$ :

L(\varepsilon _{x})=\sigma _{x}\varepsilon _{x}dV\qquad L(\varepsilon _{y})=\sigma _{y}\varepsilon _{y}dV\qquad L(\gamma _{xy})=\tau _{xy}\gamma _{xy}dV

{\ displaystyle L (\ varepsilon _ {x}) = \ sigma _ {x} \ varepsilon _ {x} dV \ qquad L (\ varepsilon _ {y}) = \ sigma _ {y} \ varepsilon _ {y} dV \ qquad L (\ gamma _ {xy}) = \ tau _ {xy} \ gamma _ {xy} dV}

L (\ varepsilon _ {x}) = \ sigma _ {x} \ varepsilon _ {x} dV \ qquad L (\ varepsilon _ {y}) = \ sigma _ {y} \ varepsilon _ {y} dV \ qquad L (\ gamma _ {{xy}}) = \ tau _ {{xy}} \ gamma _ {{xy}} dV

Componentele $\varepsilon _{z}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {z}}$ $\ varepsilon _ {z}$ , $\gamma _{xz}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {xz}}$ $\ gamma _ {{xz}}$ Și $\gamma _{yz}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {yz}}$ $\ gamma _ {{yz}}$ fac ca tensiunile pe xy să facă o treabă neglijabilă și aceleași considerații făcute pentru aplicare $\varepsilon _{x}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {x}}$ $\ varepsilon _ {x}$ , $\varepsilon _{y}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {y}}$ $\ varepsilon _ {y}$ Și $\gamma _{xy}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {xy}}$ $\ gamma _ {{xy}}$ . Se deduce că pentru fiecare față lucrarea este dată de componenta stresului pentru componenta deformării asociate.

Prin urmare, expresia muncii interne este:

L_{i}=\iiint _{v}(\sigma _{x}\varepsilon _{x}+\sigma _{y}\varepsilon _{y}+\sigma _{z}\varepsilon _{z}+\tau _{xy}\gamma _{xy}+\tau _{xz}\gamma _{xz}+\tau _{yz}\gamma _{yz})dV

{\ displaystyle L_ {i} = \ iiint _ {v} (\ sigma _ {x} \ varepsilon _ {x} + \ sigma _ {y} \ varepsilon _ {y} + \ sigma _ {z} \ varepsilon _ {z} + \ tau _ {xy} \ gamma _ {xy} + \ tau _ {xz} \ gamma _ {xz} + \ tau _ {yz} \ gamma _ {yz}) dV}

L_ {i} = \ iiint _ {v} (\ sigma _ {x} \ varepsilon _ {x} + \ sigma _ {y} \ varepsilon _ {y} + \ sigma _ {z} \ varepsilon _ {z} + \ tau _ {{xy}} \ gamma _ {{xy}} + \ tau _ {{xz}} \ gamma _ {{xz}} + \ tau _ {{yz}} \ gamma _ {{yz} }) dV

Munca externă este exprimată ca:

L_{e}=\iint _{S}(f_{x}\ u+f_{y}\ v+f_{z}\ w)dS+\iiint _{V}(X\ u+Y\ v+Z\ w)dV

{\ displaystyle L_ {e} = \ iint _ {S} (f_ {x} \ u + f_ {y} \ v + f_ {z} \ w) dS + \ iiint _ {V} (X \ u + Y \ v + Z \ w) dV}

L_ {e} = \ iint _ {S} (f_ {x} \ u + f_ {y} \ v + f_ {z} \ w) dS + \ iiint _ {V} (X \ u + Y \ v + Z \ w) dV

cu $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Și $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ mișcările; $f_{x}$ ${\ displaystyle f_ {x}}$ $f_ {x}$ , $f_{y}$ ${\ displaystyle f_ {y}}$ $f_ {y}$ Și $f_{z}$ ${\ displaystyle f_ {z}}$ $f_ {z}$ sunt componentele rezultante ale forțelor de suprafață, în timp ce $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ Și $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ sunt componentele rezultantei forțelor de volum.

Ecuațiile de echilibru, buget și congruență ale solidului continuu trebuie aplicate având în vedere că $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ acestea sunt cosinusurile directoare ale normalului la planul tangent la suprafața solidului și amintind reciprocitatea eforturilor tangențiale și distorsiunile unghiulare relative.

Echilibru:

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial _{x}}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial _{y}}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial _{z}}}+X=0\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial _{x}}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial _{y}}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial _{z}}}+Y=0\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial _{x}}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial _{y}}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial _{z}}}+Z=0\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {\ partial \ sigma _ {x}} {\ partial _ {x}}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {yx}} { \ partial _ {y}}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {zx}} {\ partial _ {z}}} + X = 0 \\ {\ frac {\ partial \ tau _ {xy}} {\ partial _ {x}}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {y}} {\ partial _ {y}}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {zy}} {\ partial _ {z}}} + Y = 0 \\ {\ frac {\ partial \ tau _ {xz}} {\ partial _ {x}}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {zy}} {\ partial _ {y}}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {z}} {\ partial _ {z}}} + Z = 0 \\\ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {\ partial \ sigma _ {x}} {\ partial _ {x}}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {{yx}}} {\ partial _ {y}}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {{zx}}} {\ partial _ {z}}} + X = 0 \\ {\ frac {\ partial \ tau _ {{xy }}} {\ partial _ {x}}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {y}} {\ partial _ {y}}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {{zy}} } {\ partial _ {z}}} + Y = 0 \\ {\ frac {\ partial \ tau _ {{xz}}} {\ partial _ {x}}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {{zy}}} {\ partial _ {y}}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {z}} {\ partial _ {z}}} + Z = 0 \\\ end {matrix}} \ dreapta.

Echilibru:

\left\{{\begin{matrix}f_{x}=\sigma _{x}\ l+\tau _{yx}\ m+\tau _{zx}\ n\\f_{y}=\tau _{xy}\ l+\sigma _{y}\ m+\tau _{zy}\ n\\f_{z}=\tau _{xz}\ l+\tau _{yz}\ m+\sigma _{z}\ n\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} f_ {x} = \ sigma _ {x} \ l + \ tau _ {yx} \ m + \ tau _ {zx} \ n \\ f_ {y} = \ tau _ {xy} \ l + \ sigma _ {y} \ m + \ tau _ {zy} \ n \\ f_ {z} = \ tau _ {xz} \ l + \ tau _ {yz} \ m + \ sigma _ {z} \ n \\\ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {matrix} f_ {x} = \ sigma _ {x} \ l + \ tau _ {{yx}} \ m + \ tau _ {{zx}} \ n \\ f_ {y } = \ tau _ {{xy}} \ l + \ sigma _ {y} \ m + \ tau _ {{zy}} \ n \\ f_ {z} = \ tau _ {{xz}} \ l + \ tau _ {{yz}} \ m + \ sigma _ {{z}} \ n \\\ end {matrix}} \ right.

Congruenţă:

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}=\varepsilon _{x}\\{\frac {\partial v}{\partial y}}=\varepsilon _{y}\\{\frac {\partial w}{\partial z}}=\varepsilon _{z}\\{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=\gamma _{xy}\\{\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}=\gamma _{xz}\\{\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}=\gamma _{zy}\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = \ varepsilon _ {x} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} = \ varepsilon _ {y} \\ {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} = \ varepsilon _ {z} \\ {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} = \ gamma _ {xy} \\ {\ frac {\ partial u} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} = \ gamma _ {xz} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} = \ gamma _ {zy} \\\ end {matrix }} \ dreapta.}

\ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = \ varepsilon _ {x} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} = \ varepsilon _ {y} \\ {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} = \ varepsilon _ {z} \\ {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} = \ gamma _ {{xy}} \\ {\ frac {\ partial u} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} = \ gamma _ {{xz}} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} = \ gamma _ {{zy}} \\\ end {matrix}} \ right.

Acum luați în considerare primul termen al expresiei de lucru externe și înlocuiți expresiile scrise anterior:

L_{e},S=\iint _{S}[(\sigma _{x}\ l+\tau _{xy}\ m+\tau _{zx}\ n)\ u+(\tau _{xy}\ l+\sigma _{y}\ m+\tau _{zy}\ n)\ v+(\tau _{xz}\ l+\tau _{yz}\ m+\sigma _{z}\ n)\ w]dS

{\ displaystyle L_ {e}, S = \ iint _ {S} [(\ sigma _ {x} \ l + \ tau _ {xy} \ m + \ tau _ {zx} \ n) \ u + (\ tau _ {xy} \ l + \ sigma _ {y} \ m + \ tau _ {zy} \ n) \ v + (\ tau _ {xz} \ l + \ tau _ {yz} \ m + \ sigma _ {z} \ n) \ w] dS}

L_ {e}, S = \ iint _ {S} [(\ sigma _ {x} \ l + \ tau _ {{xy}} \ m + \ tau _ {{zx}} \ n) \ u + ( \ tau _ {{xy}} \ l + \ sigma _ {y} \ m + \ tau _ {{zy}} \ n) \ v + (\ tau _ {{xz}} \ l + \ tau _ { {yz}} \ m + \ sigma _ {{z}} \ n) \ w] dS

Acum transformați această integrală de suprafață într-o integrală de volum folosind teorema divergenței :

\oint _{[S]}\mathbf {F} \cdot \mathbf {N} \ ds=\iiint _{D}div\mathbf {F} \ dxdydz

{\ displaystyle \ oint _ {[S]} \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {N} \ ds = \ iiint _ {D} div \ mathbf {F} \ dxdydz}

\ oint _ {{[S]}} {\ mathbf F} \ cdot {\ mathbf N} \ ds = \ iiint _ {{D}} div {\ mathbf F} \ dxdydz

grupând funcțiile „tensiune după deplasare” și cosinusurile director și apoi adăugând a doua parte a expresiei lucrării externe:

L_{e},S=\iint _{S}([(\sigma _{x}\ u)+(\tau _{xy}\ v)+(\tau _{zx}\ w)]\ l+[(\tau _{xy}\ u)+(\sigma _{y}\ v)+(\tau _{yz}\ w)]\ m+[(\tau _{xz}\ u)+(\tau _{yz}\ v)+(\sigma _{z}\ w)]\ n)dS

{\ displaystyle L_ {e}, S = \ iint _ {S} ([(\ sigma _ {x} \ u) + (\ tau _ {xy} \ v) + (\ tau _ {zx} \ w) ] \ l + [(\ tau _ {xy} \ u) + (\ sigma _ {y} \ v) + (\ tau _ {yz} \ w)] \ m + [(\ tau _ {xz} \ u) + (\ tau _ {yz} \ v) + (\ sigma _ {z} \ w)] \ n) dS}

L_ {e}, S = \ iint _ {S} ([(\ sigma _ {x} \ u) + (\ tau _ {{xy}} \ v) + (\ tau _ {{zx}} \ w )] \ l + [(\ tau _ {{xy}} \ u) + (\ sigma _ {y} \ v) + (\ tau _ {{yz}} \ w)] \ m + [(\ tau _ {{xz}} \ u) + (\ tau _ {{yz}} \ v) + (\ sigma _ {z} \ w)] \ n) dS

L_{e}=\iiint _{V}\left[{\frac {\partial (\sigma _{x}\ u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\tau _{xy}\ u)}{\partial y}}+{\frac {\partial (\tau _{xz}\ u)}{\partial z}}+{\frac {\partial (\tau _{xy}\ v)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\sigma _{y}\ v)}{\partial y}}+{\frac {\partial (\tau _{zy}\ v)}{\partial z}}+{\frac {\partial (\tau _{xz}\ w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\tau _{yz}\ w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (\sigma _{z}\ w)}{\partial z}}\right]dV+

{\ displaystyle L_ {e} = \ iiint _ {V} \ left [{\ frac {\ partial (\ sigma _ {x} \ u)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ tau _ {xy} \ u)} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial (\ tau _ {xz} \ u)} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial (\ tau _ { xy} \ v)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ sigma _ {y} \ v)} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial (\ tau _ {zy} \ v)} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial (\ tau _ {xz} \ w)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ tau _ {yz} \ w )} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial (\ sigma _ {z} \ w)} {\ partial z}} \ right] dV +}

L_ {e} = \ iiint _ {V} \ left [{\ frac {\ partial (\ sigma _ {x} \ u)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ tau _ {{ xy}} \ u)} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial (\ tau _ {{xz}} \ u)} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial (\ tau _ {{xy}} \ v)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ sigma _ {y} \ v)} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial (\ tau _ {{zy}} \ v)} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial (\ tau _ {{xz}} \ w)} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial (\ tau _ {{yz}} \ w)} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial (\ sigma _ {z} \ w)} {\ partial z}} \ right] dV +

+\iiint _{V}(X\ u+Y\ v+Z\ w)dV

{\ displaystyle + \ iiint _ {V} (X \ u + Y \ v + Z \ w) dV}

+ \ iiint _ {V} (X \ u + Y \ v + Z \ w) dV

Colectați integralele și grupați termenii:

L_{e}=\iiint _{V}\left[\left({\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial z}}+X\right)\ u+\left({\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial z}}+Y\right)\ v+\left({\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+Z\right)\ w+\sigma _{x}{\frac {\partial u}{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial v}{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial w}{\partial z}}+\tau _{xy}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)+\tau _{xz}\left({\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}\right)+\tau _{yz}\left({\frac {\partial w}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\right]dV

{\ displaystyle L_ {e} = \ iiint _ {V} \ left [\ left ({\ frac {\ partial \ sigma _ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ tau _ { xy}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {xz}} {\ partial z}} + X \ right) \ u + \ left ({\ frac {\ partial \ tau _ { xy}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {y}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {yz}} {\ partial z}} + Y \ right) \ v + \ left ({\ frac {\ partial \ tau _ {xz}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {yz}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {z}} {\ partial z}} + Z \ right) \ w + \ sigma _ {x} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + \ sigma _ {y} {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} + \ sigma _ {z} {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} + \ tau _ {xy} \ left ({ \ frac {\ partial u} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} \ right) + \ tau _ {xz} \ left ({\ frac {\ partial u} { \ partial z}} + {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} \ right) + \ tau _ {yz} \ left ({\ frac {\ partial w} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial z}} \ right) \ right] dV}

L_ {e} = \ iiint _ {V} \ left [\ left ({\ frac {\ partial \ sigma _ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {{xy} }} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {{xz}}} {\ partial z}} + X \ right) \ u + \ left ({\ frac {\ partial \ tau _ {{xy}}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {y}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {{yz}}} {\ partial z}} + Y \ right) \ v + \ left ({\ frac {\ partial \ tau _ {{xz}}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {{yz} }} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {z}} {\ partial z}} + Z \ right) \ w + \ sigma _ {x} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + \ sigma _ {y} {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} + \ sigma _ {z} {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} + \ tau _ {{xy}} \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} \ right) + \ tau _ {{xz} } \ left ({\ frac {\ partial u} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} \ right) + \ tau _ {{yz}} \ left ({\ frac {\ partial w} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial v} {\ partial z}} \ right) \ right] dV

Primele trei polinoame dintre paranteze sunt nule:

\left({\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial z}}+X\right)u=\left({\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial z}}+Y\right)v=\left({\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+Z\right)w=0

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial \ sigma _ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {xy}} {\ partial y}} + {\ frac { \ partial \ tau _ {xz}} {\ partial z}} + X \ right) u = \ left ({\ frac {\ partial \ tau _ {xy}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {y}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {yz}} {\ partial z}} + Y \ right) v = \ left ({\ frac {\ partial \ tau _ {xz}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {yz}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {z}} {\ partial z}} + Z \ dreapta) w = 0}

\ left ({\ frac {\ partial \ sigma _ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {{xy}}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {{xz}}} {\ partial z}} + X \ right) u = \ left ({\ frac {\ partial \ tau _ {{xy}}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {y}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {{yz}}} {\ partial z}} + Y \ right) v = \ left ({ \ frac {\ partial \ tau _ {{xz}}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ tau _ {{yz}}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ sigma _ {z}} {\ partial z}} + Z \ right) w = 0

deoarece coincid cu cele ale ecuațiilor de echilibru. Înlocuind expresiile ecuațiilor de congruență cu termenii rămași, obținem:

L_{e}=\iiint _{v}(\sigma _{x}\varepsilon _{x}+\sigma _{y}\varepsilon _{y}+\sigma _{z}\varepsilon _{z}+\tau _{xy}\gamma _{xy}+\tau _{xz}\gamma _{xz}+\tau _{yz}\gamma _{yz})dV

{\ displaystyle L_ {e} = \ iiint _ {v} (\ sigma _ {x} \ varepsilon _ {x} + \ sigma _ {y} \ varepsilon _ {y} + \ sigma _ {z} \ varepsilon _ {z} + \ tau _ {xy} \ gamma _ {xy} + \ tau _ {xz} \ gamma _ {xz} + \ tau _ {yz} \ gamma _ {yz}) dV}

L_ {e} = \ iiint _ {v} (\ sigma _ {x} \ varepsilon _ {x} + \ sigma _ {y} \ varepsilon _ {y} + \ sigma _ {z} \ varepsilon _ {z} + \ tau _ {{xy}} \ gamma _ {{xy}} + \ tau _ {{xz}} \ gamma _ {{xz}} + \ tau _ {{yz}} \ gamma _ {{yz} }) dV

adică expresia muncii externe este identică cu cea a muncii interne.

Aplicații

Teorema poate fi utilizată ca punct de plecare prin care se definesc ecuațiile de echilibru sau congruență ale structurii. Acest lucru face posibilă determinarea forțelor necunoscute sau mai ales a deplasărilor folosind tehnica forței unitare fictive aplicată în același punct și direcție a deplasării căutate.

Fascicul plat

Pentru sistemele cu fascicul plat, este posibil să rescrieți cu ușurință expresia lucrului intern în termeni de deformări și solicitări. Luați în considerare un sistem cartezian de referință în care axa x coincide cu axa fasciculului și, prin urmare, axele y și z definesc planul pe care se află secțiunile infinite.

În cazul planului există tensiunea axială $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ căruia îi corespunde deformarea longitudinală $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , flexie $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ care corespunde curburii axei fasciculului $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ și tensiunea de forfecare căreia îi corespunde o distorsiune medie a secțiunii $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ . Folosind soluțiile fasciculului De Saint Venant avem:

\sigma _{y}={\frac {N}{A}}+{\frac {M}{I}}y

{\ displaystyle \ sigma _ {y} = {\ frac {N} {A}} + {\ frac {M} {I}} y}

\ sigma _ {y} = {\ frac {N} {A}} + {\ frac {M} {I}} y

Și

\tau _{yz}={\frac {T}{qA}}

{\ displaystyle \ tau _ {yz} = {\ frac {T} {qA}}}

\ tau _ {{yz}} = {\ frac {T} {qA}}

unde este $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este factorul de forfecare, care indică porțiunea zonei secțiunii reactantului de forfecare.

Înlocuiți relațiile în expresia muncii interne luând întotdeauna în considerare cazul plan:

L_{i}=\iiint _{V}\left[\left({\frac {N}{A}}+{\frac {M}{I}}y\right)\ \varepsilon +\left({\frac {T}{qA}}\right)\ \gamma _{yz}\right]dV

{\ displaystyle L_ {i} = \ iiint _ {V} \ left [\ left ({\ frac {N} {A}} + {\ frac {M} {I}} y \ right) \ \ varepsilon + \ left ({\ frac {T} {qA}} \ right) \ \ gamma _ {yz} \ right] dV}

L_ {i} = \ iiint _ {V} \ left [\ left ({\ frac {N} {A}} + {\ frac {M} {I}} y \ right) \ \ varepsilon + \ left ({ \ frac {T} {qA}} \ right) \ \ gamma _ {{yz}} \ right] dV

Expresia poate fi descompusă într-o suprafață integrală pe secțiunea fasciculului și o linie integrală de -a lungul axei fasciculului:

L_{i}=\int _{l}\left[\iint _{A}{\frac {N}{A}}\varepsilon dA+\iint _{A}{\frac {M}{I}}y\varepsilon dA+\iint _{A}{\frac {T}{qA}}\gamma _{yz}dA\right]dl

{\ displaystyle L_ {i} = \ int _ {l} \ left [\ iint _ {A} {\ frac {N} {A}} \ varepsilon dA + \ iint _ {A} {\ frac {M} { I}} y \ varepsilon dA + \ iint _ {A} {\ frac {T} {qA}} \ gamma _ {yz} dA \ right] dl}

L_ {i} = \ int _ {l} \ left [\ iint _ {A} {\ frac {N} {A}} \ varepsilon dA + \ iint _ {A} {\ frac {M} {I}} y \ varepsilon dA + \ iint _ {A} {\ frac {T} {qA}} \ gamma _ {{yz}} dA \ right] dl

Cantități $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ Și $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ sunt legate de relație $\varepsilon =\chi y$ ${\ displaystyle \ varepsilon = \ chi y}$ $\ varepsilon = \ chi y$ ; $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este momentul de inerție al secțiunii și este prin definiție:

I=\int _{A}y^{2}dA

{\ displaystyle I = \ int _ {A} y ^ {2} dA}

I = \ int _ {A} y ^ {2} dA

N, M, T, A, Χ, q, I sunt constante în secțiune și pentru grinzi deformarea datorată forfecării este neglijabilă. Prin urmare, avem:

L_{i}=\int _{l}(N\varepsilon +M\chi )dl

{\ displaystyle L_ {i} = \ int _ {l} (N \ varepsilon + M \ chi) dl}

L_ {i} = \ int _ {l} (N \ varepsilon + M \ chi) dl

.

Coborâri și rotații

Este posibil să se cunoască direct înclinarea fasciculului într-un punct fără a calcula întreaga ecuație a liniei elastice . De exemplu, luați în considerare cazul elementar al unei grinzi L susținute cu o sarcină distribuită uniform Q. Pentru calculul coborârii maxime la mijloc, se aplică următorul principiu:

1\ \delta =\int _{l}M\chi \ dl

{\ displaystyle 1 \ \ delta = \ int _ {l} M \ chi \ dl}

1 \ \ delta = \ int _ {l} M \ chi \ dl

cu $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ (forță fictivă unitară aplicată în mijloc și îndreptată în jos) echilibrată cu $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ (coborârea necunoscută) congruentă cu $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ . Deoarece este incomod să se calculeze curbura, se exploatează legătura constitutivă pentru care $M=EI\chi$ ${\ displaystyle M = EI \ chi}$ $M = EI \ chi$ unde este $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este modulul de elasticitate al materialului fasciculului e $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ momentul său de inerție. Prin urmare, avem expresia binecunoscută a formulei de deplasare aproximativă:

\delta =\int _{l}M'\ {\frac {M}{EI}}\ dl

{\ displaystyle \ delta = \ int _ {l} M '\ {\ frac {M} {EI}} \ dl}

\ delta = \ int _ {l} M '\ {\ frac {M} {EI}} \ dl

cu ${M.}^{'}$ ${\ displaystyle M '}$ $M '$ ecuația momentului datorată forței aplicate numai asupra fasciculului e $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ ecuația momentului relativ la schema de sarcină distribuită reală și congruentă. Vorbire analogă pentru calculul rotațiilor unui punct al structurii (aplicând în acest caz un moment unitar în punctul de interes).

Pentru ferme cu tije de lungime $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ și zona $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi calculat direct:

\delta =\sum _{i}N'_{i}\left({\frac {N}{EA}}_{i}\right)\ l_{i}

{\ displaystyle \ delta = \ sum _ {i} N '_ {i} \ left ({\ frac {N} {EA}} _ {i} \ right) \ l_ {i}}

\ delta = \ sum _ {i} N '_ {i} \ left ({\ frac {N} {EA}} _ {i} \ right) \ l_ {i}

Structuri hiperestatice

Același subiect în detaliu: Hiperstaticitate .

Pentru rezolvarea structurilor hiperstatice, pe lângă ecuațiile de echilibru ale staticii , sunt necesare și ecuații de congruență, care impun deformări în punctele corespunzătoare constrângerilor superabundante considerate. De exemplu, luați în considerare aspectul raftului suportat cu sarcină uniform distribuită (odată structură hiperstatică) și considerați suportul ca o constrângere excesivă. Pentru rezoluție este necesar să se ia în considerare schema statică echivalentă a raftului suportat cu sarcină și forță uniform distribuite $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în sus în loc de constrângere astfel încât să impună că coborârea în acel punct este zero. Acest lucru este echivalent cu a considera o forță unitară aplicată în constrângerea direcționată în jos ca propria sa scalare $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Prin urmare, avem expresia:

\delta =\int _{l}M'\ {\frac {M_{0}+XM'}{EI}}\ dl=0

{\ displaystyle \ delta = \ int _ {l} M '\ {\ frac {M_ {0} + XM'} {EI}} \ dl = 0}

\ delta = \ int _ {l} M '\ {\ frac {M_ {0} + XM'} {EI}} \ dl = 0

cu $M_{0}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$ $M_ {0}$ ecuația momentului datorată prezenței singure a sarcinii, din care poate fi derivat necunoscutul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și apoi rezolvați structura.

Decontări obligatorii impuse

În structurile izostatice , așezările de sprijin $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , adică variațiile în poziția permanentă a constrângerii, sunt absorbite de mișcări rigide ale corpului (rotație sau translație). În structurile hiperstatice, soluția prin PLV este dată pur și simplu de relația anterioară acum egalată cu $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ (valoare cunoscută). În absența încărcăturilor avem:

V=\int _{l}{\frac {X\ M'^{2}}{EI}}dl=\delta

{\ displaystyle V = \ int _ {l} {\ frac {X \ M '^ {2}} {EI}} dl = \ delta}

V = \ int _ {l} {\ frac {X \ M '^ {2}} {EI}} dl = \ delta

adică stresul pe care îl suferă structura depinde de rigiditatea sa la încovoiere:

V=\delta EI

{\ displaystyle V = \ delta EI}

V = \ delta EI

Variații termice

O grindă supusă unei variații termice liniare între extrados și intrados suferă deformări de-a lungul secțiunii; deformarea longitudinală este:

\varepsilon _{m}^{T}=\alpha T_{m}

{\ displaystyle \ varepsilon _ {m} ^ {T} = \ alpha T_ {m}}

\ varepsilon _ {m} ^ {T} = \ alpha T_ {m}

în timp ce curbura axei fasciculului este:

\chi ^{T}={\frac {\alpha \Delta T}{h}}

{\ displaystyle \ chi ^ {T} = {\ frac {\ alpha \ Delta T} {h}}}

\ chi ^ {T} = {\ frac {\ alpha \ Delta T} {h}}

cu $T_{m}$ ${\ displaystyle T_ {m}}$ $T_ {m}$ temperatura medie raportată la centrul de greutate al secțiunii, $\Delta T$ ${\ displaystyle \ Delta T}$ $\ Delta T.$ variația temperaturii între extrados și intrados, $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ înălțimea secțiunii e $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ dilatarea termică considerată de standarde pe oțel și pe beton armat , egală cu 10 ^-5 ° C ^-1 .

În structurile izostatice, deformarea este liberă, în timp ce în cele hiperestatice este blocată de constrângeri, prin urmare vor apărea tensiuni interne.

Deoarece termenul cinematic al deformării este cunoscut direct pentru soluțiile grinzilor, nu este necesar să se calculeze $M_{0}$ ${\ displaystyle M_ {0}}$ $M_ {0}$ datorită acțiunii termice dar este considerat direct $\varepsilon _{m}^{T}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {m} ^ {T}}$ $\ varepsilon _ {m} ^ {T}$ Și $\chi ^{T}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {T}}$ $\ chi ^ {T}$ în ceea ce privește aplicarea forței unitare în punctul de constrângere excesiv:

\chi ^{T}={\frac {M_{0}}{EI}}\qquad \varepsilon _{m}^{T}={\frac {N_{0}\ L}{EA}}

{\ displaystyle \ chi ^ {T} = {\ frac {M_ {0}} {EI}} \ qquad \ varepsilon _ {m} ^ {T} = {\ frac {N_ {0} \ L} {EA} }}

\ chi ^ {T} = {\ frac {M_ {0}} {EI}} \ qquad \ varepsilon _ {m} ^ {T} = {\ frac {N_ {0} \ L} {EA}}

De exemplu, în cazul raftului susținut anterior supus acum unei variații termice simple, deplasarea zero este impusă pe suport, adică:

\delta =\int _{l}M'\chi ^{T}+{\frac {XM'^{2}}{EI}}\ dl=0

{\ displaystyle \ delta = \ int _ {l} M '\ chi ^ {T} + {\ frac {XM' ^ {2}} {EI}} \ dl = 0}

\ delta = \ int _ {l} M '\ chi ^ {T} + {\ frac {XM' ^ {2}} {EI}} \ dl = 0

Bibliografie

( EN ) Bathe, KJ "Proceduri cu elemente finite", Prentice Hall, 1996. ISBN 0-13-301458-4
( EN ) Charlton, TM Energy Principles in Theory of Structures , Oxford University Press, 1973. ISBN 0-19-714102-1
( EN ) Dym, CL și IH Shames, Solid Mechanics: A Variational Approach , McGraw-Hill, 1973.
(EN) Greenwood, Donald T. Classical Dynamics, Dover Publications Inc., 1977, ISBN 0-486-69690-1
( EN ) Hu, H. Principii variaționale ale teoriei elasticității cu aplicații , Taylor & Francis, 1984. ISBN 0-677-31330-6
(EN) Langhaar, HL Energy Methods in Applied Mechanics, Krieger, 1989.
( EN ) Reddy, JN Energy Principles and Variational Methods in Applied Mechanics , John Wiley, 2002. ISBN 0-471-17985-X
( EN ) Shames, IH și Dym, CL Energy and Finite Element Methods in Structural Mechanics , Taylor & Francis, 1995, ISBN 0-89116-942-3
( EN ) Tauchert, TR Energy Principles in Structural Mechanics , McGraw-Hill, 1974. ISBN 0-07-062925-0
( EN ) Washizu, K. Metode variaționale în elasticitate și plasticitate , Pergamon Pr, 1982. ISBN 0-08-026723-8
( EN ) Wunderlich, W. Mechanics of Structures: Variational and Computational Methods , CRC, 2002. ISBN 0-8493-0700-7