Legea numărului mare

Legea numerelor mari sau teorema lui Bernoulli (deoarece prima sa formulare se datorează lui Jakob Bernoulli ), descrie comportamentul mediei unei secvențe de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ teste ale unei variabile aleatorii , independente și caracterizate prin aceeași distribuție de probabilitate (n măsuri de aceeași magnitudine, $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ aruncări ale aceleiași monede etc.), deoarece numărul secvenței în sine tinde spre infinit ( $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ). Cu alte cuvinte, datorită legii numerelor mari, putem avea încredere că media experimentală, pe care o calculăm dintr-un număr suficient de eșantioane, este suficient de apropiată de media reală, adică cea care poate fi calculată teoretic. Ce înseamnă „în mod rezonabil sigur” depinde de cât de precise vrem să fim în testul nostru: cu zece teste, am avea o estimare aproximativă, cu o sută, am obține unul mult mai precis, cu o mie, chiar mai mult și așa mai departe: valoarea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ că suntem dispuși să acceptăm ca suficient depinde de gradul de aleatorie pe care îl considerăm necesar pentru datele în cauză.

În termeni generali, pentru legea numărului mare putem spune:

că media secvenței este o aproximare, care se îmbunătățește pe măsură ce $n,$ ${\ displaystyle n,}$ $n,$ a mediei de distribuție;
și că, dimpotrivă, se poate prezice că astfel de secvențe vor arăta o medie cu atât mai des și cu cât mai precis se apropie de media distribuției, cu atât este mai mare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Un caz particular de aplicare a legii numerelor mari este predicția probabilistică a proporției succeselor într-o succesiune de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ realizări independente ale unui eveniment $ȘI,$ ${\ displaystyle E,}$ ${\ displaystyle E,}$ aceasta este frecvența $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ masuratori: pt $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ care tinde spre infinit, proporția succeselor converge la probabilitatea de $ȘI .$ ${\ displaystyle E.}$ ${\ displaystyle E.}$

Legea puternică a numărului mare

Dacă, dată fiind o succesiune de variabile aleatorii $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},\ldots$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, \ ldots}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, \ ldots}$ independent și distribuit identic cu mass-media ${\mu }$ ${\ displaystyle {\ mu}}$ ${\ displaystyle {\ mu}}$ , se ia în considerare media eșantionului

{\bar {X}}_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}

{\ displaystyle {\ bar {X}} _ {n} = {\ frac {X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}} {n}}}

{\ displaystyle {\ bar {X}} _ {n} = {\ frac {X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}} {n}}}

legea (puternică) a numărului mare afirmă că

\operatorname {P} \left(\lim _{n\rightarrow \infty }{\bar {X}}_{n}=\mu \right)=1,

{\ displaystyle \ operatorname {P} \ left (\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ bar {X}} _ {n} = \ mu \ right) = 1,}

{\ displaystyle \ operatorname {P} \ left (\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ bar {X}} _ {n} = \ mu \ right) = 1,}

adică, estimatorul mediu al eșantionului converge aproape sigur la valoarea așteptată comună a $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ .

Legea slabă a numărului mare

Dacă, dată fiind o succesiune de variabile aleatorii $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},\ldots$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, \ ldots}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, \ ldots}$ având aceeași medie ${\mu }$ ${\ displaystyle {\ mu}}$ ${\ displaystyle {\ mu}}$ , aceeași varianță finită și independentă, se ia în considerare media eșantionului

{\bar {X}}_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}

{\ displaystyle {\ bar {X}} _ {n} = {\ frac {X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}} {n}}}

{\ displaystyle {\ bar {X}} _ {n} = {\ frac {X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}} {n}}}

legea (slabă) a numărului mare afirmă că pentru fiecare $\ \varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ \ varepsilon> 0}$ :

\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {P} \left(\left|{\bar {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon \right)=1.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ operatorname {P} \ left (\ left | {\ bar {X}} _ {n} - \ mu \ right | <\ varepsilon \ right) = 1. }

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ operatorname {P} \ left (\ left | {\ bar {X}} _ {n} - \ mu \ right | <\ varepsilon \ right) = 1. }

adică media eșantionului converge în probabilitate la valoarea așteptată comună la $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ .

Cu o mai mare rigoare

Este $\{(\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i},\operatorname {P} _{i})\}_{i\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {(\ Omega _ {i}, {\ mathcal {A}} _ {i}, \ operatorname {P} _ {i}) \} _ {i \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {(\ Omega _ {i}, {\ mathcal {A}} _ {i}, \ operatorname {P} _ {i}) \} _ {i \ in \ mathbb {N}}}$ o succesiune de spații de probabilitate . Luați în considerare spațiul produs $(\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ operatorname {P})}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ operatorname {P})}$ și în ea o succesiune de evenimente Bernoulli ( stochastic independentă și cu probabilitate constantă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ) $\{E_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\subseteq {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle \ {E_ {k} \} _ {k \ in \ mathbb {N}} \ subseteq {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ {E_ {k} \} _ {k \ in \ mathbb {N}} \ subseteq {\ mathcal {A}}}$ . A atribuit un articol $\omega \in \Omega$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ rata de succes este definită în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dovezi $\phi _{n}(\omega )={\frac {N_{n}}{n}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n} (\ omega) = {\ frac {N_ {n}} {n}}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n} (\ omega) = {\ frac {N_ {n}} {n}}}$ , unde este $\phi _{n}\colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n} \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n} \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R}}$ Și $N_{n}=\#\{i:\omega \in E_{i}\}_{i=1}^{n}$ ${\ displaystyle N_ {n} = \ # \ {i: \ omega \ în E_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n}}$ ${\ displaystyle N_ {n} = \ # \ {i: \ omega \ în E_ {i} \} _ {i = 1} ^ {n}}$ indică numărul de succese obținute în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ dovezi.

Dovada legii slabe a numărului mare

În condițiile stabilite mai sus, dorim să arătăm că: $\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{0}^{+},\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}=0$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}, \ lim _ {n \ to \ infty} \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} = 0}$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}, \ lim _ {n \ to \ infty} \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} = 0}$ .

Fix $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , ia în considerare inegalitatea Bienaymé-Čebyšëv :

\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-\operatorname {E} (\phi _{n})|>\varepsilon \}\leq {\frac {\operatorname {var} (\phi _{n})}{\varepsilon ^{2}}}

{\ displaystyle \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) - \ operatorname {E} (\ phi _ {n}) |> \ varepsilon \} \ leq {\ frac {\ operatorname {var} (\ phi _ {n})} {\ varepsilon ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) - \ operatorname {E} (\ phi _ {n}) |> \ varepsilon \} \ leq {\ frac {\ operatorname {var} (\ phi _ {n})} {\ varepsilon ^ {2}}}}

;

atâta timp cât $N_{n}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ este distribuită binomial , valoarea sa așteptată este

\operatorname {E} (N_{n})=np,

{\ displaystyle \ operatorname {E} (N_ {n}) = np,}

{\ displaystyle \ operatorname {E} (N_ {n}) = np,}

iar varianța sa este

\operatorname {var} (N_{n})=np(1-p);

{\ displaystyle \ operatorname {var} (N_ {n}) = np (1-p);}

{\ displaystyle \ operatorname {var} (N_ {n}) = np (1-p);}

atunci avem că valoarea așteptată și varianța lui $\phi _{n}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n}}$ $\ phi _ {n}$ sunt, respectiv:

\operatorname {E} (\phi _{n})=\operatorname {E} \left({\frac {N_{n}}{n}}\right)={\frac {\operatorname {E} (N_{n})}{n}}=p,

{\ displaystyle \ operatorname {E} (\ phi _ {n}) = \ operatorname {E} \ left ({\ frac {N_ {n}} {n}} \ right) = {\ frac {\ operatorname {E } (N_ {n})} {n}} = p,}

{\ displaystyle \ operatorname {E} (\ phi _ {n}) = \ operatorname {E} \ left ({\ frac {N_ {n}} {n}} \ right) = {\ frac {\ operatorname {E } (N_ {n})} {n}} = p,}

\operatorname {var} (\phi _{n})=\operatorname {var} \left({\frac {N_{n}}{n}}\right)={\frac {\operatorname {var} ({N_{n}})}{n^{2}}}={\frac {p(1-p)}{n}}.

{\ displaystyle \ operatorname {var} (\ phi _ {n}) = \ operatorname {var} \ left ({\ frac {N_ {n}} {n}} \ right) = {\ frac {\ operatorname {var } ({N_ {n}})} {n ^ {2}}} = {\ frac {p (1-p)} {n}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {var} (\ phi _ {n}) = \ operatorname {var} \ left ({\ frac {N_ {n}} {n}} \ right) = {\ frac {\ operatorname {var } ({N_ {n}})} {n ^ {2}}} = {\ frac {p (1-p)} {n}}.}

Înlocuind inegalitatea, obținem:

\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}\leq {\frac {p(1-p)}{n\varepsilon ^{2}}},

{\ displaystyle \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} \ leq {\ frac {p (1-p)} { n \ varepsilon ^ {2}}},}

{\ displaystyle \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} \ leq {\ frac {p (1-p)} { n \ varepsilon ^ {2}}},}

și, trecând limita pentru $n\to +\infty$ ${\ displaystyle n \ to + \ infty}$ $n \ to + \ infty$ ,

\lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}\leq 0.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} \ leq 0. }

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} \ leq 0. }

Dar probabilitatea nu poate fi negativă:

\operatorname {P} \colon {\mathcal {A}}\to [0,1],

{\ displaystyle \ operatorname {P} \ colon {\ mathcal {A}} \ to [0,1],}

{\ displaystyle \ operatorname {P} \ colon {\ mathcal {A}} \ to [0,1],}

de aici teza.

Observații

Legea slabă a numărului mare nu asigură acest lucru, oricât de ales ar fi $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ , aproape sigur plecând de la un anumit $n_{\varepsilon }$ ${\ displaystyle n _ {\ varepsilon}}$ ${\ displaystyle n _ {\ varepsilon}}$ valoarea $|\phi _{n}-p|$ ${\ displaystyle | \ phi _ {n} -p |}$ ${\ displaystyle | \ phi _ {n} -p |}$ este păstrat mai mic sau egal cu $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , adică întregul

\{\omega \in \Omega :\exists n_{\varepsilon }:\forall n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}

{\ displaystyle \ {\ omega \ in \ Omega: \ există n _ {\ varepsilon}: \ forall n> n _ {\ varepsilon}, | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \ }}

{\ displaystyle \ {\ omega \ in \ Omega: \ există n _ {\ varepsilon}: \ forall n> n _ {\ varepsilon}, | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \ }}

este $\operatorname {P}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P}}$ -neglijabil. De fapt, explicând definiția limitei, găsim:

\forall \varepsilon >0,\forall \eta >0,\exists n_{\varepsilon ,\eta }:\forall n\geq n_{\varepsilon ,\eta },\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}\leq \eta ,

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ forall \ eta> 0, \ există n _ {\ varepsilon, \ eta}: \ forall n \ geq n _ {\ varepsilon, \ eta}, \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} \ leq \ eta,}

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ forall \ eta> 0, \ există n _ {\ varepsilon, \ eta}: \ forall n \ geq n _ {\ varepsilon, \ eta}, \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} \ leq \ eta,}

dar nimic nu pare să asigure asta $n_{\varepsilon ,\eta }$ ${\ displaystyle n _ {\ varepsilon, \ eta}}$ ${\ displaystyle n _ {\ varepsilon, \ eta}}$ nu divergem pentru $\eta \to 0$ ${\ displaystyle \ age \ to 0}$ ${\ displaystyle \ age \ to 0}$ .

Demonstrarea legii puternice a numărului mare

În schimb, acest lucru este asigurat, în aceleași condiții, de propoziția:

\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\lim _{n\to \infty }\phi _{n}(\omega )=p\}=1,

{\ displaystyle \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: \ lim _ {n \ to \ infty} \ phi _ {n} (\ omega) = p \} = 1,}

{\ displaystyle \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: \ lim _ {n \ to \ infty} \ phi _ {n} (\ omega) = p \} = 1,}

ceea ce, de fapt, implică ambele

\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{0}^{+},\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists n_{\varepsilon }:\forall n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}=0

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}, \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: \ există n _ {\ varepsilon}: \ forall n> n_ {\ varepsilon}, | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} = 0}

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}, \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: \ există n _ {\ varepsilon}: \ forall n> n_ {\ varepsilon}, | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} = 0}

fie legea slabă a numărului mare.

Demonstrarea celor două implicații: legea puternică poate fi formulată, făcând explicită Definiția limitei și trecând la complementar, ca:; $\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists \varepsilon \in \mathbb {R} _{0}^{+}:\forall n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,\exists n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}=0$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: \ exists \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}: \ forall n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb { N}, \ există n> n _ {\ varepsilon}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: \ exists \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}: \ forall n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb { N}, \ există n> n _ {\ varepsilon}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} = 0}$; care la rândul său este echivalent, transformând cuantificatorul existențial într-o uniune, la:; $\operatorname {P} (\bigcup _{\varepsilon \in \mathbb {R} _{0}^{+}}\{\omega \in \Omega :\forall n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,\exists n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=0$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (\ bigcup _ {\ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}} \ {\ omega \ in \ Omega: \ forall n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb {N}, \ există n> n _ {\ varepsilon}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \}) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (\ bigcup _ {\ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}} \ {\ omega \ in \ Omega: \ forall n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb {N}, \ există n> n _ {\ varepsilon}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \}) = 0}$; iar pentru monotonia $\operatorname {P}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P}}$; $\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{0}^{+},\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} :\forall n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}\leq$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}, \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: \ există n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb { N}: \ forall n> n _ {\ varepsilon}, | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} \ leq}$ ${\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}, \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: \ există n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb { N}: \ forall n> n _ {\ varepsilon}, | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} \ leq}$; $\leq \operatorname {P} (\bigcup _{\varepsilon \in \mathbb {R} _{0}^{+}}\{\omega \in \Omega :\forall n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,\exists n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})$ ${\ displaystyle \ leq \ operatorname {P} (\ bigcup _ {\ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}} \ {\ omega \ in \ Omega: \ forall n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb {N}, \ există n> n _ {\ varepsilon}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \})}$ ${\ displaystyle \ leq \ operatorname {P} (\ bigcup _ {\ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}} \ {\ omega \ in \ Omega: \ forall n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb {N}, \ există n> n _ {\ varepsilon}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \})}$; de aici, pentru comparație, prima implicație.; Transformând și ceilalți doi cuantificatori în operații de set, avem:; $0=\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} :\forall n>n_{\varepsilon },|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}=$ ${\ displaystyle 0 = \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: \ există n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb {N}: \ forall n> n _ {\ varepsilon}, | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} =}$ ${\ displaystyle 0 = \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: \ există n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb {N}: \ forall n> n _ {\ varepsilon}, | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \} =}$; $=\operatorname {P} (\bigcap _{n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} }\bigcup _{n>n_{\varepsilon }}\{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=$ ${\ displaystyle = \ operatorname {P} (\ bigcap _ {n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb {N}} \ bigcup _ {n> n _ {\ varepsilon}} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \}) =}$ ${\ displaystyle = \ operatorname {P} (\ bigcap _ {n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb {N}} \ bigcup _ {n> n _ {\ varepsilon}} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \}) =}$; dar, suntem în prezența intersecției unei succesiuni non-crescătoare de mulțimi, deci datorită monotoniei $\operatorname {P}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P}}$ , avem:; $=\lim _{n_{\varepsilon }\to \infty }\operatorname {P} (\bigcup _{n>n_{\varepsilon }}\{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})\geq$ ${\ displaystyle = \ lim _ {n _ {\ varepsilon} \ to \ infty} \ operatorname {P} (\ bigcup _ {n> n _ {\ varepsilon}} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \}) \ geq}$ ${\ displaystyle = \ lim _ {n _ {\ varepsilon} \ to \ infty} \ operatorname {P} (\ bigcup _ {n> n _ {\ varepsilon}} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \}) \ geq}$; este încă:; $\geq \lim _{n\to \infty }\{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \}$ ${\ displaystyle \ geq \ lim _ {n \ to \ infty} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \}}$ ${\ displaystyle \ geq \ lim _ {n \ to \ infty} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \}}$; de aici și a doua implicație, amintindu-ne că acest lucru este valabil pentru fiecare $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

Demonstrarea legii puternice: am văzut deja că afirmația este echivalentă cu:; $\operatorname {P} (\bigcup _{\varepsilon \in \mathbb {R} _{0}^{+}}\{\omega \in \Omega :\forall n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} ,\exists n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>\varepsilon \})=0$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (\ bigcup _ {\ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}} \ {\ omega \ in \ Omega: \ forall n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb {N}, \ există n> n _ {\ varepsilon}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \}) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (\ bigcup _ {\ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}} \ {\ omega \ in \ Omega: \ forall n _ {\ varepsilon} \ in \ mathbb {N}, \ există n> n _ {\ varepsilon}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> \ varepsilon \}) = 0}$; Discretizând, ca de obicei în cazul limitelor, avem:; $\operatorname {P} (\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{0}}\{\omega \in \Omega :\forall n_{k}\in \mathbb {N} ,\exists n>n_{k}:|\phi _{n}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})=0$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (\ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N} _ {0}} \ {\ omega \ in \ Omega: \ forall n_ {k} \ in \ mathbb {N}, \ există n> n_ {k}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> {\ frac {1} {k}} \}) = 0}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (\ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N} _ {0}} \ {\ omega \ in \ Omega: \ forall n_ {k} \ in \ mathbb {N}, \ există n> n_ {k}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> {\ frac {1} {k}} \}) = 0}$; Pentru subaditivitate; $\operatorname {P} (\bigcup _{k\in \mathbb {N} _{0}}\{\omega \in \Omega :\forall n_{k}\in \mathbb {N} ,\exists n>n_{k}:|\phi _{n}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})\leq$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (\ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N} _ {0}} \ {\ omega \ in \ Omega: \ forall n_ {k} \ in \ mathbb {N}, \ există n> n_ {k}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> {\ frac {1} {k}} \}) \ leq}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P} (\ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N} _ {0}} \ {\ omega \ in \ Omega: \ forall n_ {k} \ in \ mathbb {N}, \ există n> n_ {k}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> {\ frac {1} {k}} \}) \ leq}$; $\leq \sum _{k\in \mathbb {N} _{0}}\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :\forall n_{k}\in \mathbb {N} ,\exists n>n_{\varepsilon }:|\phi _{n}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\}$ ${\ displaystyle \ leq \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} _ {0}} \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: \ forall n_ {k} \ in \ mathbb {N}, \ există n> n _ {\ varepsilon}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> {\ frac {1} {k}} \}}$ ${\ displaystyle \ leq \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} _ {0}} \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: \ forall n_ {k} \ in \ mathbb {N}, \ există n> n _ {\ varepsilon}: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> {\ frac {1} {k}} \}}$; Prin urmare, dacă această ultimă expresie este nulă, va fi dovedit legea puternică. Fiind $\operatorname {P}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {P}}$ nu negativ, trebuie să aveți:; $\forall k\in \mathbb {N} _{0},\operatorname {P} (\limsup _{n\to \infty }\{\omega \in \Omega :|\phi _{n}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})=0$ ${\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} _ {0}, \ operatorname {P} (\ limsup _ {n \ to \ infty} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> {\ frac {1} {k}} \}) = 0}$ ${\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} _ {0}, \ operatorname {P} (\ limsup _ {n \ to \ infty} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n} (\ omega) -p |> {\ frac {1} {k}} \}) = 0}$; vrem să arătăm că acest lucru este adevărat având în vedere subsecvența $\phi _{n^{2}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n ^ {2}}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n ^ {2}}}$ . Vrem să aplicăm lema Borel-Cantelli , prin urmare verificăm dacă expresia converge; $\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n ^ {2}} (\ omega) -p |> { \ frac {1} {k}} \}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n ^ {2}} (\ omega) -p |> { \ frac {1} {k}} \}}$; Pentru inegalitatea Bienaymé-Čebyšëv găsim:; $\forall k,\forall n,\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\}\leq {\textrm {var}}(\phi _{n^{2}})k^{2}=k^{2}{\frac {p(1-p)}{n^{2}}}$ ${\ displaystyle \ forall k, \ forall n, \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n ^ {2}} (\ omega) -p |> {\ frac {1} {k}} \} \ leq {\ textrm {var}} (\ phi _ {n ^ {2}}) k ^ {2} = k ^ {2} {\ frac {p (1-p)} { n ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ forall k, \ forall n, \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n ^ {2}} (\ omega) -p |> {\ frac {1} {k}} \} \ leq {\ textrm {var}} (\ phi _ {n ^ {2}}) k ^ {2} = k ^ {2} {\ frac {p (1-p)} { n ^ {2}}}}$; de la care:; $\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {P} \{\omega \in \Omega :|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\}\leq p(1-p)k^{2}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n ^ {2}} (\ omega) -p |> { \ frac {1} {k}} \} \ leq p (1-p) k ^ {2} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}} }}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ operatorname {P} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n ^ {2}} (\ omega) -p |> { \ frac {1} {k}} \} \ leq p (1-p) k ^ {2} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}} }}$; Dar această serie este notoriu convergentă. Prin urmare,; $\forall k\in \mathbb {N} _{0},\operatorname {P} (\limsup _{n\to \infty }\{\omega \in \Omega :|\phi _{n^{2}}(\omega )-p|>{\frac {1}{k}}\})=0$ ${\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} _ {0}, \ operatorname {P} (\ limsup _ {n \ to \ infty} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n ^ {2}} (\ omega) -p |> {\ frac {1} {k}} \}) = 0}$ ${\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} _ {0}, \ operatorname {P} (\ limsup _ {n \ to \ infty} \ {\ omega \ in \ Omega: | \ phi _ {n ^ {2}} (\ omega) -p |> {\ frac {1} {k}} \}) = 0}$; Acum rețineți că fiecare număr natural n este între două pătrate consecutive:; $\forall n\in \mathbb {N} ,\exists q\in \mathbb {N} :q^{2}\leq n<(q+1)^{2}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ există q \ in \ mathbb {N}: q ^ {2} \ leq n <(q + 1) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ există q \ in \ mathbb {N}: q ^ {2} \ leq n <(q + 1) ^ {2}}$; de la care; ${\frac {N_{n}}{(q+1)^{2}}}\leq \phi _{n}\leq {\frac {N_{n}}{q^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {N_ {n}} {(q + 1) ^ {2}}} \ leq \ phi _ {n} \ leq {\ frac {N_ {n}} {q ^ {2}} }}$ ${\ displaystyle {\ frac {N_ {n}} {(q + 1) ^ {2}}} \ leq \ phi _ {n} \ leq {\ frac {N_ {n}} {q ^ {2}} }}$; rețineți acum că $n-q^{2}$ ${\ displaystyle nq ^ {2}}$ ${\ displaystyle n-q ^ {2}}$ este diferența maximă posibilă între $N_{q^{2}}$ ${\ displaystyle N_ {q ^ {2}}}$ ${\ displaystyle N_ {q ^ {2}}}$ Și $N_{n}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ , de la care:; $N_{q^{2}}\leq N_{n}\leq N_{q^{2}}+(n-q^{2})$ ${\ displaystyle N_ {q ^ {2}} \ leq N_ {n} \ leq N_ {q ^ {2}} + (nq ^ {2})}$ ${\ displaystyle N_ {q ^ {2}} \ leq N_ {n} \ leq N_ {q ^ {2}} + (n-q ^ {2})}$; prin urmare:; ${\frac {N_{q^{2}}}{(q+1)^{2}}}\leq {\frac {N_{n}}{(q+1)^{2}}}\leq \phi _{n}\leq {\frac {N_{n}}{q^{2}}}\leq {\frac {N_{q^{2}}+(n-q^{2})}{q^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {N_ {q ^ {2}}} {(q + 1) ^ {2}}} \ leq {\ frac {N_ {n}} {(q + 1) ^ {2}} } \ leq \ phi _ {n} \ leq {\ frac {N_ {n}} {q ^ {2}}} \ leq {\ frac {N_ {q ^ {2}} + (nq ^ {2}) } {q ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {N_ {q ^ {2}}} {(q + 1) ^ {2}}} \ leq {\ frac {N_ {n}} {(q + 1) ^ {2}} } \ leq \ phi _ {n} \ leq {\ frac {N_ {n}} {q ^ {2}}} \ leq {\ frac {N_ {q ^ {2}} + (nq ^ {2}) } {q ^ {2}}}}$; dar acum ai $n-q^{2}\leq (q+1)^{2}-q^{2}$ ${\ displaystyle nq ^ {2} \ leq (q + 1) ^ {2} -q ^ {2}}$ ${\ displaystyle n-q ^ {2} \ leq (q + 1) ^ {2} -q ^ {2}}$ , asa de:; ${\frac {N_{q^{2}}}{q^{2}}}{\frac {q^{2}}{(q+1)^{2}}}\leq \phi _{n}\leq {\frac {N_{q^{2}}}{q^{2}}}+{\frac {(q+1)^{2}-q^{2}}{q^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {N_ {q ^ {2}}} {q ^ {2}}} {\ frac {q ^ {2}} {(q + 1) ^ {2}}} \ leq \ phi _ {n} \ leq {\ frac {N_ {q ^ {2}}} {q ^ {2}}} + {\ frac {(q + 1) ^ {2} -q ^ {2}} {q ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {N_ {q ^ {2}}} {q ^ {2}}} {\ frac {q ^ {2}} {(q + 1) ^ {2}}} \ leq \ phi _ {n} \ leq {\ frac {N_ {q ^ {2}}} {q ^ {2}}} + {\ frac {(q + 1) ^ {2} -q ^ {2}} {q ^ {2}}}}$; mergând la limită ( $n\to \infty \Rightarrow q\to \infty$ ${\ displaystyle n \ to \ infty \ Rightarrow q \ to \ infty}$ ${\ displaystyle n \ to \ infty \ Rightarrow q \ to \ infty}$ ) și aplicarea rezultatului obținut pentru $\phi _{n^{2}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n ^ {2}}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {n ^ {2}}}$ , obținem că, aproape sigur:; $p\cdot 1=p\lim _{q\to \infty }{\frac {q^{2}}{(q+1)^{2}}}\leq \lim _{n\to \infty }\phi _{n}\leq p+\lim _{q\to \infty }{\frac {q^{2}+2q+1-q^{2}}{q^{2}}}=p+0$ ${\ displaystyle p \ cdot 1 = p \ lim _ {q \ to \ infty} {\ frac {q ^ {2}} {(q + 1) ^ {2}}} \ leq \ lim _ {n \ to \ infty} \ phi _ {n} \ leq p + \ lim _ {q \ to \ infty} {\ frac {q ^ {2} + 2q + 1-q ^ {2}} {q ^ {2}} } = p + 0}$ ${\ displaystyle p \ cdot 1 = p \ lim _ {q \ to \ infty} {\ frac {q ^ {2}} {(q + 1) ^ {2}}} \ leq \ lim _ {n \ to \ infty} \ phi _ {n} \ leq p + \ lim _ {q \ to \ infty} {\ frac {q ^ {2} + 2q + 1-q ^ {2}} {q ^ {2}} } = p + 0}$; care încheie dovada.