Legea conservării masei (fizică)

Legea conservării masei este o lege fizică a mecanicii clasice , care provine din așa-numitul postulat fundamental al lui Lavoisier , care este următorul:

„Nimic nu este creat, nimic nu este distrus, totul este transformat”

( Antoine-Laurent de Lavoisier )

Formulare lagrangiană

Postulatul lui Lavoisier poate fi exprimat dinpunct de vedere lagrangian, afirmând că:

„Masa conținută într-un volum (deformabil) care se mișcă odată cu sistemul rămâne neschimbată în timp.”

În acest caz, prin urmare, folosind notația lui Newton :

{\dot {m}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V(t)}\rho \,\mathrm {d} r^{3}=0\,

{\ displaystyle {\ dot {m}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V (t)} \ rho \, \ mathrm {d} r ^ {3} = 0 \,}

{\ displaystyle {\ dot {m}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V (t)} \ rho \, \ mathrm {d} r ^ {3} = 0 \,}

slabă formă lagrangiană implicită

De altfel, rețineți că derivatul total de timp: ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\rho \;\mathrm {d} r^{3}\neq \int _{V}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} r^{3}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ rho \; \ mathrm {d} r ^ {3} \ neq \ int _ {V} {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ mathrm {d} r ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ rho \; \ mathrm {d} r ^ {3} \ neq \ int _ {V} {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ mathrm {d} r ^ {3}}$ ,

de fapt densitatea poate varia local: ${\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\neq 0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ neq 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ neq 0}$ , dar conform teoremei transportului Reynolds, această variație este limitată:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V(t)}\rho \,\mathrm {d} r^{3}=\int _{V(t)}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}+\rho \nabla \cdot \langle {\bar {v}}\rangle \mathrm {d} r^{3}=0\,

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V (t)} \ rho \, \ mathrm {d} r ^ {3} = \ int _ { V (t)} {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} + \ rho \ nabla \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ mathrm {d} r ^ {3} = 0 \,}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V (t)} \ rho \, \ mathrm {d} r ^ {3} = \ int _ { V (t)} {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} + \ rho \ nabla \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ mathrm {d} r ^ {3} = 0 \,}

\int _{V}{\dot {\rho }}\mathrm {d} r^{3}+\int _{V}\rho \nabla \cdot \langle {\bar {v}}\rangle \mathrm {d} r^{3}=0

{\ displaystyle \ int _ {V} {\ dot {\ rho}} \ mathrm {d} r ^ {3} + \ int _ {V} \ rho \ nabla \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ mathrm {d} r ^ {3} = 0}

{\ displaystyle \ int _ {V} {\ dot {\ rho}} \ mathrm {d} r ^ {3} + \ int _ {V} \ rho \ nabla \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ mathrm {d} r ^ {3} = 0}

Pentru integrare pe părți :

\int _{V}{\dot {\rho }}\mathrm {d} r^{3}+\rho \int _{V}\nabla \cdot \langle {\bar {v}}\rangle \mathrm {d} r^{3}-\int _{V}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} r^{3}}}\int _{V}\nabla \cdot \langle {\bar {v}}\rangle \mathrm {d} r^{3}\mathrm {d} r^{3}=0

{\ displaystyle \ int _ {V} {\ dot {\ rho}} \ mathrm {d} r ^ {3} + \ rho \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ mathrm {d} r ^ {3} - \ int _ {V} {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} r ^ {3}}} \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ mathrm {d} r ^ {3} \ mathrm {d} r ^ {3} = 0}

{\ displaystyle \ int _ {V} {\ dot {\ rho}} \ mathrm {d} r ^ {3} + \ rho \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ mathrm {d} r ^ {3} - \ int _ {V} {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} r ^ {3}}} \ int _ {V} \ nabla \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ mathrm {d} r ^ {3} \ mathrm {d} r ^ {3} = 0}

și prin teorema divergenței :

\int _{V}{\dot {\rho }}\mathrm {d} r^{3}+\rho \int _{\partial V}\langle {\bar {v}}\rangle \cdot \mathrm {d} {\bar {r^{2}}}-\int _{V}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} r^{3}}}\int _{\partial V}\langle {\bar {v}}\rangle \cdot \mathrm {d} {\bar {r^{2}}}\mathrm {d} r^{3}=0

{\ displaystyle \ int _ {V} {\ dot {\ rho}} \ mathrm {d} r ^ {3} + \ rho \ int _ {\ partial V} \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot \ mathrm {d} {\ bar {r ^ {2}}} - \ int _ {V} {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} r ^ {3}}} \ int _ {\ partial V} \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot \ mathrm {d} {\ bar {r ^ {2}}} \ mathrm {d} r ^ {3} = 0}

{\ displaystyle \ int _ {V} {\ dot {\ rho}} \ mathrm {d} r ^ {3} + \ rho \ int _ {\ partial V} \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot \ mathrm {d} {\ bar {r ^ {2}}} - \ int _ {V} {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} r ^ {3}}} \ int _ {\ partial V} \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot \ mathrm {d} {\ bar {r ^ {2}}} \ mathrm {d} r ^ {3} = 0}

formă Lagrangiană slabă explicită

Ca un caz special, dacă viteza medie nu are flux net la graniță:

\int _{\partial V}\langle {\bar {v}}\rangle \cdot \mathrm {d} {\bar {r^{2}}}=0\rightarrow \int _{V}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho \,\mathrm {d} r^{3}=0

{\ displaystyle \ int _ {\ partial V} \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot \ mathrm {d} {\ bar {r ^ {2}}} = 0 \ rightarrow \ int _ {V} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ rho \, \ mathrm {d} r ^ {3} = 0}

{\ displaystyle \ int _ {\ partial V} \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot \ mathrm {d} {\ bar {r ^ {2}}} = 0 \ rightarrow \ int _ {V} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ rho \, \ mathrm {d} r ^ {3} = 0}

Toate formele anterioare necesită doar integrabilitatea spațială a densității și vitezei, putând fi dis continue . În schimb, numai dacă în special funcțiile sunt continue în domeniul spațial considerat, putem trece la forma locală:

{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}+\rho \nabla \cdot \langle {\bar {v}}\rangle =0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} + \ rho \ nabla \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} + \ rho \ nabla \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle = 0}

puternică formă lagrangiană

Primul termen este termenul convectiv și reprezintă transportul densității de-a lungul traiectoriei, al doilea este conductiv.

Formulare euleriană

Începem prin a ne referi la un volum invariant în timp (așadar numit control ) $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ : vom avea ca variația masei conținute în ea să fie egală cu componenta unică care îi traversează granița, deoarece nu există nicio generație sau distrugere în interiorul ei:

{\frac {\partial m}{\partial t}}+I_{m}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial m} {\ partial t}} + I_ {m} = 0}

\ frac {\ partial m} {\ partial t} + I_m = 0

Forma integrală euleriană

din definiția densității și densității curentului pentru masă, putem re-exprima precedentul ca:

{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}^{}\rho \,\mathrm {d} r^{3}+\oint _{\partial V}\rho \langle {\bar {v}}\rangle \cdot \mathrm {d} {\bar {r^{2}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} ^ {} \ rho \, \ mathrm {d} r ^ {3} + \ oint _ {\ partial V} \ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot \ mathrm {d} {\ bar {r ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} ^ {} \ rho \, \ mathrm {d} r ^ {3} + \ oint _ {\ partial V} \ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot \ mathrm {d} {\ bar {r ^ {2}}} = 0}

forma euleriană slabă

unde este $\langle {\bar {v}}\rangle$ ${\ displaystyle \ langle {\ bar {v}} \ rangle}$ $\ langle \ bar v \ rangle$ este vectorul vitezei medii sau macroscopice e $\mathrm {d} {\bar {r^{2}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ bar {r ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ bar {r ^ {2}}}}$ are un modul egal cu suprafața și un versor normal la suprafață cu o direcție de ieșire din volum.

În acest caz, apar fluxurile care intră și ies din volumul de control. Prin aplicarea teoremei divergenței putem scrie fluxuri ca integrale de volum și putem face ecuația mai omogenă:

\oint _{\partial V}\rho \langle {\bar {v}}\rangle \cdot \mathrm {d} {\bar {r^{2}}}=\int _{V}^{}\nabla \cdot (\rho \langle {\bar {v}}\rangle )\,\mathrm {d} r^{3}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot \ mathrm {d} {\ bar {r ^ {2}}} = \ int _ {V} ^ {} \ nabla \ cdot (\ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle) \, \ mathrm {d} r ^ {3}}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle \ cdot \ mathrm {d} {\ bar {r ^ {2}}} = \ int _ {V} ^ {} \ nabla \ cdot (\ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle) \, \ mathrm {d} r ^ {3}}

în plus, variația masei în întregul volum de control este echivalentă cu integralul variațiilor din fiecare dintre diferențialele sale, deoarece acest diferențial nu va trece niciodată frontiera, ci va rămâne în interior sau în exterior pentru totdeauna:

{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\rho \,\mathrm {d} r^{3}=\int _{V}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} r^{3}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} \ rho \, \ mathrm {d} r ^ {3} = \ int _ {V} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} \, \ mathrm {d} r ^ {3}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} \ rho \, \ mathrm {d} r ^ {3} = \ int _ {V} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} \, \ mathrm {d} r ^ {3}}

iar ecuația devine:

\int _{V}^{}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \langle {\bar {v}}\rangle )\mathrm {d} r^{3}=0

{\ displaystyle \ int _ {V} ^ {} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle) \ mathrm { d} r ^ {3} = 0}

{\ displaystyle \ int _ {V} ^ {} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle) \ mathrm { d} r ^ {3} = 0}

care, trebuind să fie valabil pentru orice volum de control, forțează anularea integrării:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \langle {\bar {v}}\rangle )=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle) = 0}

\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ nabla \ cdot (\ rho \ langle \ bar v \ rangle) = 0

puternică formă Euler implicită

această ecuație exprimă ecuația de conservare pentru masă în termeni locali sau diferențiali și se mai numește ecuația de continuitate pentru masă.

Divergența anterioară poate fi explicitată:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \rho \cdot \langle {\bar {v}}\rangle +\rho \nabla \cdot \langle {\bar {v}}\rangle =0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ rho \ cdot \ langle {\ bar {v}} \ rangle + \ rho \ nabla \ cdot \ langle {\ bar {v }} \ rangle = 0}

\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ nabla \ rho \ cdot \ langle \ bar v \ rangle + \ rho \ nabla \ cdot \ langle \ bar v \ rangle = 0

puternică formă euleriană explicită

În acest moment observăm că formele lagrangiană și euleriană sunt echivalente, fiind de fapt diferențialul funcției vectoriale:

\mathrm {d} \rho ({\bar {x}},t)=\nabla \rho \cdot \mathrm {d} {\bar {x}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\mathrm {d} t

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ rho ({\ bar {x}}, t) = \ nabla \ rho \ cdot \ mathrm {d} {\ bar {x}} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ rho ({\ bar {x}}, t) = \ nabla \ rho \ cdot \ mathrm {d} {\ bar {x}} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} \ mathrm {d} t}

derivata de timp totală este:

{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \rho \cdot \langle {\bar {v}}\rangle

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ rho \ cdot \ langle { \ bar {v}} \ rangle}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ rho \ cdot \ langle { \ bar {v}} \ rangle}

În formă aproape liniară :

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial \rho }{\partial x_{i}}}\langle v\rangle _{i}+\sum _{i}\rho {\frac {\partial \langle v\rangle _{i}}{\partial x_{i}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ sum _ {i} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x_ {i}}} \ langle v \ rangle _ { i} + \ sum _ {i} \ rho {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {i}} {\ partial x_ {i}}} = 0}

\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ sum_i \ frac {\ partial \ rho} {\ partial x_i} \ langle v \ rangle_i + \ sum_i \ rho \ frac {\ partial \ langle v \ rangle_i} {\ partial x_i} = 0

forma euleriană aproape liniară.

Mai explicit în cazul tridimensional:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial x_{1}}}\langle v\rangle _{1}+{\frac {\partial \rho }{\partial x_{2}}}\langle v\rangle _{2}+{\frac {\partial \rho }{\partial x_{3}}}\langle v\rangle _{3}+\rho {\frac {\partial \langle v\rangle _{1}}{\partial x_{1}}}+\rho {\frac {\partial \langle v\rangle _{2}}{\partial x_{2}}}+\rho {\frac {\partial \langle v\rangle _{3}}{\partial x_{3}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x_ {1}}} \ langle v \ rangle _ {1} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x_ {2}}} \ langle v \ rangle _ {2} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial x_ {3}}} \ langle v \ rangle _ { 3} + \ rho {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {1}} {\ partial x_ {1}}} + \ rho {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {2}} { \ partial x_ {2}}} + \ rho {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {3}} {\ partial x_ {3}}} = 0}

\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} + \ frac {\ partial \ rho} {\ partial x_1} \ langle v \ rangle_1 + \ frac {\ partial \ rho} {\ partial x_2} \ langle v \ rangle_2 + \ frac {\ partial \ rho} {\ partial x_3} \ langle v \ rangle_3 + \ rho \ frac {\ partial \ langle v \ rangle_1} {\ partial x_1} + \ rho \ frac {\ partial \ langle v \ rangle_2} {\ partial x_2} + \ rho \ frac {\ partial \ langle v \ rangle_3} {\ partial x_3} = 0

puternică formă euleriană tridimensională

unde termenii $\langle v\rangle _{1}$ ${\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {1}}$ $\ langle v \ rangle_1$ , $\langle v\rangle _{2}$ ${\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {2}}$ $\ langle v \ rangle_2$ Și $\langle v\rangle _{3}$ ${\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {3}}$ $\ langle v \ rangle_3$ sunt componentele vitezei medii în sistemul cartezian de referință utilizat ( $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ ; $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ ; $x_{3}$ ${\ displaystyle x_ {3}}$ $x_3$ ).

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Legea conservării masei / Legea conservării masei (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

V · D · M Mecanica clasică și mecanica continuumului
Cantități intensive	Densitate · Viteză macroscopică · Câmp mediu · Tensiune internă · Temperatură · Deformare · Densitate termică
Cantități mari	Masă · Debit · Moment · Forță externă · Energie internă · Căldură · Disipare · Lucrare termodinamică
Bilanțe contabile	Conservarea masei · Echilibrul impulsului · Echilibrul energiei interne
Aproximări	Ecuații Euler · Ecuații Navier-Stokes · Ecuații Burnett
Citit	Legea lui Pascal · Legea lui Newton · Legea Fourier · Stokes Legea · Legea lui Hooke
Mecanica solidelor	Solid · Teoria elasticității · Teoria plasticității · Reologie · Viscoelasticitate
Mecanica fluidelor	Fluid · statice ale fluidelor · Fluid · Vâscozitate · Fluid newtonian · Fluid non-newtonian