Legea Biot-Savart

Termenul de lege Biot-Savart , de la numele fizicienilor francezi Jean-Baptiste Biot și Félix Savart , se poate referi la două legi diferite ale magnetostaticelor care permit calcularea câmpului magnetic generat de curenții electrici . Că mai general, verificat empiric, este numit și prima formulă a lui Laplace, sub numele fizicianului , matematicii și astronomului francez Pierre-Simon Laplace ; al doilea este în schimb legea lui Biot și Savart pentru un fir rectiliniu nedefinit , care poate fi considerat un caz particular simplu al legii lui Laplace. Aceste legi unifică câmpul magnetic cu fenomene electrice staționare.

Formula lui Laplace pentru circuite generice

Dovezile experimentale arată că într-un circuit asemănător firului $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ traversat de curent $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , având în vedere subdiviziunea circuitului în lungimi infinitezimale $\operatorname {d} \!\mathbf {l} '$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ mathbf {l} '}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ mathbf {l} '}$ și locație $\mathbf {r} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$ ${\ mathbf r} '$ , fiecare dintre aceste elemente oferă o contribuție infinitesimală:

\operatorname {d} \!\mathbf {B} ({\bf {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {I\,\operatorname {d} \!\mathbf {l} '\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} \right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} \right|^{3}}}

{\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ mathbf {B} ({\ bf {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {I \, \ operatorname {d} \! \ mathbf {l} '\ times \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf { r ^ {\ prime}} \ right | ^ {3}}}}

{\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ mathbf {B} ({\ bf {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} {\ frac {I \, \ operatorname {d} \! \ mathbf {l} '\ times \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf { r ^ {\ prime}} \ right | ^ {3}}}}

la vectorul de inducție magnetică $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ în sens $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ . Vectorul $\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} - \ mathbf {r} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} - \ mathbf {r} ^ {\ prime}}$ localizați poziția punctului $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , unde doriți să calculați câmpul, cu privire la liniuță $\operatorname {d} \!\mathbf {l} '$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ mathbf {l} '}$ ${\ displaystyle \ operatorname {d} \! \ mathbf {l} '}$ . Legea lui Laplace se obține luând în considerare integralul de-a lungul întregului circuit: ^[1]

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\gamma }{\frac {I\,\operatorname {d} \!\mathbf {l} '\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} \right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} \right|^{3}}}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {I \, \ operatorname { d} \! \ mathbf {l} '\ times \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right | ^ {3}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {I \, \ operatorname { d} \! \ mathbf {l} '\ times \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right | ^ {3}}}}

și poate fi rescris ca:

\mathbf {B} ({\bf {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\gamma }{\frac {I\,\operatorname {d} \!\mathbf {l} '\times \Delta {\bf {r}}}{|\Delta {\bf {r}}|^{3}}}

{\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ bf {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {I \, \ operatorname {d} \! \ mathbf {l} '\ times \ Delta {\ bf {r}}} {| \ Delta {\ bf {r}} | ^ {3}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {B} ({\ bf {r}}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {I \, \ operatorname {d} \! \ mathbf {l} '\ times \ Delta {\ bf {r}}} {| \ Delta {\ bf {r}} | ^ {3}}}}

însemnând cu $\Delta {\bf {r}}={\bf {r}}-{\bf {r}}'$ ${\ displaystyle \ Delta {\ bf {r}} = {\ bf {r}} - {\ bf {r}} '}$ ${\ displaystyle \ Delta {\ bf {r}} = {\ bf {r}} - {\ bf {r}} '}$ . Desigur, dacă există mai multe circuite în spațiu, câmpul total va fi suma câmpurilor magnetice generate de fiecare circuit.

Legea Biot-Savart poate fi totuși extinsă la circuite non-filiforme, dar de orice formă. Prin urmare, dat un conductor purtat de curent $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ și a atribuit vectorul de densitate de curent $\mathbf {J} =\mathbf {J} (\mathbf {r^{\prime }} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J} (\ mathbf {r ^ {\ prime}})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J} (\ mathbf {r ^ {\ prime}})}$ în interiorul dirijorului, formula lui Laplace este rescrisă: ^[2]

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r^{\prime }} )\times \left(\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} \right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r^{\prime }} \right|^{3}}}\,d^{3}r^{\prime }

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {V} {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {r ^ {\ prime}}) \ times \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right | ^ {3}}} \, d ^ {3} r ^ {\ prime}}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {V} {\ frac {\ mathbf {J} (\ mathbf {r ^ {\ prime}}) \ times \ left (\ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r ^ {\ prime}} \ right | ^ {3}}} \, d ^ {3} r ^ {\ prime}}

sau, într-o altă formă:

\mathbf {B} (x,\,y,\,z)={\frac {\mu _{0}}{2pi}}\int \limits _{V}^{}{{{\mathbf {J} (\xi ,\,\eta ,\,\zeta )\times \left(x-\xi ,y-\eta ,z-\zeta \right)} \over {\left[\left(x-\xi \right)^{2}\,+\,\left(y-\eta \right)^{2}\,+\,\left(z-\zeta \right)^{2}\right]^{3 \over 2}}}\,\,d\xi \,d\eta \,d\zeta }

{\ displaystyle \ mathbf {B} (x, \, y, \, z) = {\ frac {\ mu _ {0}} {2pi}} \ int \ limits _ {V} ^ {} {{{\ mathbf {J} (\ xi, \, \ eta, \, \ zeta) \ times \ left (x- \ xi, y- \ eta, z- \ zeta \ right)} \ over {\ left [\ left ( x- \ xi \ right) ^ {2} \, + \, \ left (y- \ eta \ right) ^ {2} \, + \, \ left (z- \ zeta \ right) ^ {2} \ dreapta] ^ {3 \ peste 2}}} \, \, d \ xi \, d \ eta \, d \ zeta}}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (x, \, y, \, z) = {\ frac {\ mu _ {0}} {2pi}} \ int \ limits _ {V} ^ {} {{{\ mathbf {J} (\ xi, \, \ eta, \, \ zeta) \ times \ left (x- \ xi, y- \ eta, z- \ zeta \ right)} \ over {\ left [\ left ( x- \ xi \ right) ^ {2} \, + \, \ left (y- \ eta \ right) ^ {2} \, + \, \ left (z- \ zeta \ right) ^ {2} \ dreapta] ^ {3 \ peste 2}}} \, \, d \ xi \, d \ eta \, d \ zeta}}

unde integralul este extins la întregul volum disponibil conductorului sau la diferiții conductori prezenți în spațiu. Poate fi, de asemenea, integrat pe întreg spațiul, dar elementele de volum în care densitatea curentului este zero nu aduc nicio contribuție.

Linie dreaptă infinită

Legea Biot-Savart oferă o expresie pentru câmpul magnetic produs de un fir drept nedefinit, traversat de un curent staționar $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , la un moment dat $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ de spațiu. Presupunând că suntem în vid, forma de $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ este invers proporțională cu distanța de la fir $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ conform expresiei:

B(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {I}{r}}

{\ displaystyle B (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {2 \ pi}} {\ frac {I} {r}}}

{\ displaystyle B (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0}} {2 \ pi}} {\ frac {I} {r}}}

În formă vectorială, fie ${\hat {\mathbf {I} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {I}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {I}}}}$ vectorul unitar în direcția firului ed ${\hat {\mathbf {r} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$ vectorul unitar în direcția orientată de la ${\hat {\mathbf {I} }}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {I}}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {I}}}}$ la $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Apoi domeniul produsului este: ^[3]

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}{\frac {{\hat {\mathbf {I} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{|\mathbf {r} |}}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0} I} {2 \ pi}} {\ frac {{\ hat {\ mathbf {I}}} \ ori {\ hat {\ mathbf {r}}}} {| \ mathbf {r} |}}}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0} I} {2 \ pi}} {\ frac {{\ hat {\ mathbf {I}}} \ ori {\ hat {\ mathbf {r}}}} {| \ mathbf {r} |}}}

În materiale câmpul magnetic este dat de aceeași relație, având grijă să înlocuiască a $\mu _{0}$ ${\ displaystyle \ mu _ {0}}$ $\ mu_0$ permeabilitatea magnetică a materialului $\mu =\mu _{r}\mu _{0}$ ${\ displaystyle \ mu = \ mu _ {r} \ mu _ {0}}$ ${\ displaystyle \ mu = \ mu _ {r} \ mu _ {0}}$ unde este $\mu _{r}$ ${\ displaystyle \ mu _ {r}}$ $\ mu_r$ este o constantă adimensională care depinde de caracteristicile materialului. Această constantă, numită permeabilitatea magnetică relativă a mediului, poate fi fie pozitivă mult mai mare decât unitatea (materiale feromagnetice ), fie ușor mai mare decât unitatea (materiale paramagnetice ) sau ușor mai mică (materiale diamagnetice ).

Derivarea din cazul general

Legea lui Biot și Savart în cazul firului nedefinit este derivată rapid din legea generală. Luați în considerare o referință carteziană în care firul este orientat ca axa z și este traversat de un curent $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ într-o direcție concordantă cu axa z . Prima lege a lui Laplace are forma:

\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {{\mbox{d}}\mathbf {l'} \times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {l '} \ times (\ mathbf {r} - \ mathbf {r}')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | ^ {3}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {{\ mbox {d}} \ mathbf {l '} \ times (\ mathbf {r} - \ mathbf {r}')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | ^ {3}}}}

Având în vedere simetria problemei, câmpul nu depinde de coordonata z și modulul depinde doar de distanța punctului $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ din fir, notat cu $R=\left|\mathbf {x} +\mathbf {y} \right|$ ${\ displaystyle R = \ left | \ mathbf {x} + \ mathbf {y} \ right |}$ ${\ displaystyle R = \ left | \ mathbf {x} + \ mathbf {y} \ right |}$ . Având în vedere planul $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ $z = 0$ și modulul și direcția câmpului într-un punct îndepărtat $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ de la origine sunt:

B(R)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {\left|{\mbox{d}}\mathbf {l'} \times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\right|}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {\left|{\mbox{d}}l'\right|\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|\sin \theta }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{3}}}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {\left|{\mbox{d}}l'\right|\sin \theta }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|^{2}}}

{\ displaystyle B (R) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} {\ frac {\ left | {\ mbox {d}} \ mathbf {l '} \ times (\ mathbf {r} - \ mathbf {r}') \ right |} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | ^ {3}}} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} {\ frac {\ left | {\ mbox {d }} the \ right | \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | \ sin \ theta} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ { 3}}} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} {\ frac {\ left | {\ mbox {d} } the \ right | \ sin \ theta} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | ^ {2}}}}

{\ displaystyle B (R) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} {\ frac {\ left | {\ mbox {d}} \ mathbf {l '} \ times (\ mathbf {r} - \ mathbf {r}') \ right |} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | ^ {3}}} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} {\ frac {\ left | {\ mbox {d }} the \ right | \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | \ sin \ theta} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ { 3}}} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} {\ frac {\ left | {\ mbox {d} } the \ right | \ sin \ theta} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | ^ {2}}}}

unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ reprezintă unghiul dintre axa z și vectorul pe care îl unește $\mathbf {r} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$ ${\ mathbf r} '$ la $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ . Schimbarea variabilei de integrare din $r^{'}$ ${\ displaystyle r '}$ $r '$ la $\alpha =\theta -{\pi \over 2}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ theta - {\ pi \ over 2}}$ ${\ displaystyle \ alpha = \ theta - {\ pi \ over 2}}$ primesti:

\sin \theta =\cos \alpha \qquad r'=R\tan \alpha \qquad {\mbox{d}}r'={\mbox{d}}l={\frac {R}{\cos ^{2}\alpha }}{\mbox{d}}\alpha \qquad \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|={\frac {R}{\cos \alpha }}

{\ displaystyle \ sin \ theta = \ cos \ alpha \ qquad r '= R \ tan \ alpha \ qquad {\ mbox {d}} r' = {\ mbox {d}} l = {\ frac {R} { \ cos ^ {2} \ alpha}} {\ mbox {d}} \ alpha \ qquad \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | = {\ frac {R} {\ cos \ alfa}}}

{\ displaystyle \ sin \ theta = \ cos \ alpha \ qquad r '= R \ tan \ alpha \ qquad {\ mbox {d}} r' = {\ mbox {d}} l = {\ frac {R} { \ cos ^ {2} \ alpha}} {\ mbox {d}} \ alpha \ qquad \ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | = {\ frac {R} {\ cos \ alfa}}}

și înlocuirea:

B(R)={\frac {\mu _{0}I}{4\pi R}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}\cos \alpha {\mbox{d}}\alpha ={\frac {\mu _{0}I}{2\pi R}}

{\ displaystyle B (R) = {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi R}} \ int _ {- {\ frac {\ pi} {2}}} ^ {+ {\ frac {\ pi} {2}}} \ cos \ alpha {\ mbox {d}} \ alpha = {\ frac {\ mu _ {0} I} {2 \ pi R}}}

{\ displaystyle B (R) = {\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi R}} \ int _ {- {\ frac {\ pi} {2}}} ^ {+ {\ frac {\ pi} {2}}} \ cos \ alpha {\ mbox {d}} \ alpha = {\ frac {\ mu _ {0} I} {2 \ pi R}}}

În cele din urmă, luând în considerare faptul că direcția fiecărei contribuții infinitesimale este direcționată de-a lungul circumferinței razei $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a călătorit în sensul acelor de ceasornic, al cărui versant secant îl numim $\mathbf {i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {i}}$ $\ mathbf i$ (paralel cu produsul vectorial între vectori $\mathbf {z}$ ${\ displaystyle \ mathbf {z}}$ ${\ mathbf z}$ Și $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ ), putem scrie în cele din urmă: