Teorema fluxului , cunoscută și sub numele de teorema lui Gauss , în teoriacâmpurilor vectoriale afirmă că câmpurile vectorialeradiale dependente de reciprocitatea pătratului distanței de la origine au un flux prin orice suprafață închisă care depinde doar de sursele de câmp din ea. conținut și este independent de poziția internă a surselor care îl generează.
Ideea intuitivă este că fluxul este întotdeauna același indiferent de suprafața închisă care conține originea câmpului radial, pe măsură ce distanța crește {\ displaystyle r} suprafața crește pe măsură ce {\ displaystyle r ^ {2}} , în timp ce intensitatea câmpului scade pe măsură ce {\ displaystyle r ^ {- 2}} . Această invarianță a fluxului constituie legea lui Gauss și este mai ușor de înțeles pentru aceste câmpuri decât o lege pentru fluența, cum ar fi Newton sau Coulomb .
Implicațiile fizice ale teoremei lui Gauss sunt profunde, deoarece legea corespunzătoare se aplică câmpurilor gravitaționale și electrice : în primul caz fluxul gravitațional printr-o suprafață închisă depinde doar de masa conținută în ea, în al doilea caz fluxul electric printr-o suprafață închis depinde doar de încărcătura electrică conținută în acesta.
Formă integrală
Suprafață închisă{\ displaystyle \ partial V} , frontieră de volum {\ displaystyle V} . Vectorii de suprafață normali sunt evidențiați.
cu {\ displaystyle F_ {1}} constantă în {\ displaystyle \ mathbf {r}} , vectorul depoziție spațială în general aparținând {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}} .
Având o suprafață închisă{\ displaystyle \ partial V} care conține originea și astfel încât fiecare rază care iese din origine intersectează suprafața o singură dată, teorema fluxului afirmă că:
unde este {\ displaystyle \ Phi _ {\ partial V} (\ mathbf {F})} este fluxul de {\ displaystyle \ mathbf {F}} sub colțul rotund solid{\ displaystyle 4 \ pi} .
Teorema se extinde imediat eliminând ipoteza că fiecare rază care iese din origine intersectează suprafața o singură dată, observând pur și simplu că orice alte intersecții ale unghiului solid cu suprafața delimitează perechi de suprafețe infinitesimale prin care fluxul are direcția opusă și, prin urmare, nu oferă nicio contribuție. Dacă, pe de altă parte, suprafața nu include originea, numărul de intersecții al unghiului solid cu suprafața este întotdeauna egal și, prin urmare, fluxul total este zero.
Demonstrația 1
Să presupunem că aveți o sursă {\ displaystyle q} într-un volum {\ displaystyle V} delimitat de suprafață{\ displaystyle \ partial V} . Campul {\ displaystyle F_ {1} {\ frac {\ mathbf {r}} {r ^ {3}}}} forma generată cu elementul de suprafață {\ displaystyle {\ mbox {d}} S} din {\ displaystyle \ partial V} un colt {\ displaystyle \ theta} , astfel încât:
unde este {\ displaystyle \ mathbf {n}} este vectorul unitar normal la suprafață. Întrucât elementul unghiului solid a fost subtendent a {\ displaystyle {\ mbox {d}} S} cu privire la poziția de {\ displaystyle q} Și {\ displaystyle {\ mbox {d}} \ Omega = {\ frac {\ cos \ theta} {r ^ {2}}} {\ mbox {d}} S} avem: [1]
Prin urmare, luați în considerare orice compact {\ displaystyle V \ subseteq R ^ {3}} mărginită de o suprafață netedă, punctată {\ displaystyle {\ partial V}} care nu conține originea (punctul de singularitate al câmpului). Fiind{\ displaystyle \ mathbf {F} \ în C ^ {1} (V)} , teorema divergenței este valabilă și, prin urmare:
{\ displaystyle \ oint _ {\ partial V} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {S} = \ int _ {V} \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {F} \, dV = 0} deoarece divergența este zero în tot V
Prin urmare, debitul este zero pentru orice suprafață închisă care nu cuprinde originea.
Să presupunem că acum {\ displaystyle {\ partial V}} conține în el originea. Teorema divergenței (în versiunea utilizată mai sus) NU se aplică ca {\ displaystyle \ mathbf {F} \ notin C ^ {1} (V)} (nici nu este continuu la origine).
Așa să fie atunci {\ displaystyle \ partial {B_ {r} (0)}} suprafața care delimitează o sferă de rază r centrată la origine (cu o rază suficient de mică pentru a fi conținută în V) e {\ displaystyle W = V \ setminus B_ {r} (0)} volumul V fără sferă. Acum este adevărat{\ displaystyle \ mathbf {F} \ în C ^ {1} (W)} și deci fluxul lung {\ displaystyle {\ partial W}} (care este o suprafață închisă) este nulă deoarece originea este exterioară suprafeței. În plus
Teorema divergenței afirmă că fluxul unui câmp vector{\ displaystyle \ mathbf {F}}elegant{\ displaystyle C ^ {1}} printr-o suprafață închisă{\ displaystyle \ partial V} coincide cu integralul divergenței câmpului efectuat în volum {\ displaystyle V} din care suprafața este o margine : [2]
Să presupunem sursa câmpului {\ displaystyle \ mathbf {F}} este o distribuție a densității {\ displaystyle \ sigma (\ mathbf {r})} a cărei integrală pe întregul volum {\ displaystyle V} este {\ displaystyle 4 \ pi F_ {1}} . De exemplu, în electrostatică de obicei {\ displaystyle \ sigma = \ rho / \ varepsilon _ {0}} este densitatea sarcinii volumice împărțită la constanta dielectrică în vid. Folosind teorema divergenței avem:
Relațiile pentru cazul continuu introdus anterior pot fi urmărite fără pierderi de generalitate la cazul unei distribuții discrete a sarcinii prin introducerea distribuțieideltei Dirac{\ displaystyle \ delta} . Definită o clasă de funcții {\ displaystyle \ rho} indexat de parametru {\ displaystyle k} :
{\ displaystyle \ int _ {V} F_ {1k} \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} _ {k}) \ operatorname {d} v = \ sum _ {k} F_ {1k}}
permite convertirea în însumare a integrării pe întregul volum în care este conținută distribuția discretă a sursei câmpului. În special, liniaritatea integralei permite generalizarea rezultatului pentru un câmp vector {\ displaystyle \ mathbf {F}} dat de suma mai multor câmpuri radiale {\ displaystyle \ mathbf {f} _ {k}} centrat în diferite puncte:
Teorema lui Gauss arată că valoarea fluxului de câmp prin {\ displaystyle \ partial V} depinde doar de contribuțiile interne la suprafață, adică de câmpuri {\ displaystyle \ mathbf {f} _ {k}} a cărei sursă este conținută în {\ displaystyle \ partial V} . Prin urmare, avem:
{\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {F}) = 4 \ pi \ sum _ {k} F_ {1k}}
unde numai coeficienții sunt incluși în însumare {\ displaystyle F_ {1k}} legate de domenii {\ displaystyle \ mathbf {f} _ {k}} centrat în punctele din interiorul suprafeței.
În virtutea teoremei lui Gauss, fluxul câmpului prin orice suprafață închisă {\ displaystyle \ partial V} care conține perioada {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}} este dat de:
în timp ce dacă suprafața nu conține {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}} debitul este zero. În cazul în care {\ displaystyle N} masele {\ displaystyle m_ {k}} asemănător unui punct, dintre care {\ displaystyle k} intern la suprafață, avem:
{\ displaystyle \ Phi _ {\ partial V} (\ mathbf {g}) = - 4 \ pi G \ sum _ {k} m_ {k}}
Trecând la continuu:
{\ displaystyle \ Phi _ {\ partial V} (\ mathbf {g}) = - 4 \ pi G \ int _ {V} \ rho \, {\ mbox {d}} v \ qquad \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho}
unde este {\ displaystyle \ rho} este densitatea volumică a masei. Ultimele două relații sunt valabile aproape peste tot , adică peste tot, cu excepția unui set de măsuri zero, cum ar fi un set finit de puncte. Motivul pentru aceasta este că, în cazul maselor punctuale, densitatea divergă asupra maselor în sine, provocând o divergență infinită a câmpului. Alternativ, rețineți că forța gravitațională divergă în punctul în care se află masa datorită anulării numitorului.
Câmpul electric la punctul respectiv {\ displaystyle \ mathbf {r}} generat de o taxă totală{\ displaystyle Q_ {V}} plasat în punct {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}} este valabil:
în timp ce dacă suprafața {\ displaystyle \ partial V} Nu conține {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}} debitul este zero. În cazul încărcărilor punctiforme multiple în interiorul suprafeței:
unde este {\ displaystyle \ rho} este densitatea sarcinilor libere, adică fără a număra sarcinile de polarizare . Datorită teoremei divergenței , echivalând integranzii obținem: [4]
Această relație este prima dintre ecuațiile lui Maxwell și este valabilă aproape peste tot : densitatea sarcinii diferă de fapt acolo unde sunt prezente sarcini localizate.
În cazul materialului liniar, omogen și izotrop (cum ar fi vidul ), permitivitatea electrică relativă{\ displaystyle \ varepsilon _ {r}} este un număr (și nu un tensor ) și avem {\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {D} / \ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {r}} . Prin urmare, putem aplica teorema lui Gauss direct câmpului electric: [5]
Datorită absenței monopolurilor magnetice , teorema lui Gauss s-a aplicat inducției magnetice {\ displaystyle \ mathbf {B}} pur și simplu ia forma: [7]
Această expresie este identică nulă, deoarece operatorul nabla acționează asupra coordonatelor {\ displaystyle x} , {\ displaystyle y} Și {\ displaystyle z} , și nu pe coordonatele primatului de care depinde variabila de integrare și, în plus, rotorul unui gradient este identic zero, deoarece câmpurile conservatoare sunt irotaționale.
În acest moment este posibil să treci de la diferențial la forma integrală: dacă divergența vectorului {\ displaystyle \ mathbf {B}} este identic nul, oricare din integrala sa de volum va fi, de asemenea, nulă. Prin urmare, exploatând teorema divergenței, fluxul de {\ displaystyle \ mathbf {B}} peste limita volumului va fi nulă.
Teorema lui Gauss facilitează foarte mult calculul câmpurilor gravitaționale și electrostatice în prezența simetriilor sistemului, prin alegerea suprafețelor Gaussiene adecvate pe care calcularea debitului este deosebit de simplă, adică acolo unde câmpul este zero sau constant.
Un caz notabil este cel al câmpului gravitațional generat de o sferă omogenă de masă M și rază R (așa cum poate fi o planetă, la o primă aproximare). Alegând o sferă concentrică de rază r ca suprafață pe care să calculăm debitul, obținem imediat:
folosind faptul că câmpul este prin simetrie punct cu punct perpendicular pe suprafață și constant în modul pe acesta. Aplicarea teoremei lui Gauss:
{\ displaystyle \ Phi _ {\ partial V} (\ mathbf {g}) = - 4 \ pi r ^ {2} g = -4 \ pi GM_ {V}}
De aici distingem cele două cazuri:
{\ displaystyle {\ begin {cases} g = {\ frac {GM_ {V}} {r ^ {2}}} \ qquad \ quad R \ leq r \\ g = {\ frac {GM_ {V}} { R ^ {3}}} r \ qquad 0 \ leq r \ leq R \ end {cases}}}
Vectorial, ținând cont de direcția câmpului:
{\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathbf {g} = - {\ frac {GM_ {V}} {r ^ {2}}} {\ hat {r}} \ qquad \ quad R \ leq r \\ \ mathbf {g} = - {\ frac {GM_ {V}} {R ^ {3}}} \ mathbf {r} \ qquad 0 \ leq r \ leq R \ end {cases}}}
Observăm că cursul câmpului exterior este egal cu cel al unei sarcini punctuale poziționate în centrul sferei pe care este concentrată toată masa M; în plus, câmpul extern nu depinde de distribuția masei în sferă (atâta timp cât densitatea este radială, sub pedeapsa pierderii simetriei sferice).
În analogie perfectă, câmpul electric generat în vid de o sferă cu o densitate de sarcină electrică constantă ρ este:
{\ displaystyle {\ begin {cases} \ mathbf {E} = {\ frac {Q_ {V}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ hat {r}} \ qquad \ quad R \ leq r \\\ mathbf {E} = {\ frac {Q_ {V}} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} {\ frac {1} {R ^ {3}}} \ mathbf {r} \ qquad 0 \ leq r \ leq R \ end {cases}}}
unde Q reprezintă sarcina totală posedată de sferă.