Legea lui Pascal

Principiul lui Pascal sau legea lui Pascal este o lege a mecanicii fluidelor care stabilește că, atunci când există o creștere a presiunii într-un punct al unui fluid limitat, această creștere este transmisă și în fiecare punct al fluidului din interiorul containerului ^[1] cu același intensitate dar întotdeauna într-o direcție perpendiculară pe peretele recipientului pe care fluidul exercită presiune. Această lege a fost descoperită de fizicianul și matematicianul francez Blaise Pascal ^[2] în celebrul experiment de butoi din 1646 ^[3] și enunțată în tratatul din 1653 ^[4] Sur Equilibre des liqueurs .

Descriere

Afirmația afirmă că presiunea într-un fluid static este constantă în fiecare punct, în ipoteza că forțele de volum sunt zero sau neglijabile în comparație cu forțele de presiune . Acest lucru poate fi obținut prin analiza ecuației fundamentale a hidrostaticelor , care în cazul tridimensional este:

$\nabla p=\rho {\vec {g}}$ ${\ displaystyle \ nabla p = \ rho {\ vec {g}}}$ ${\ displaystyle \ nabla p = \ rho {\ vec {g}}}$

Punându-ne în cazul în care forțele de volum, adică termenul $\rho {\vec {g}}$ ${\ displaystyle \ rho {\ vec {g}}}$ ${\ displaystyle \ rho {\ vec {g}}}$ , atunci gradientul de presiune este zero $\nabla p=0$ ${\ displaystyle \ nabla p = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla p = 0}$ . Aceasta înseamnă că presiunea este constantă $p=cost$ ${\ displaystyle p = cost}$ ${\ displaystyle p = cost}$ și, prin urmare, găsim afirmația.

O putem dovedi și în cazul în care forța rezultată (în mod necesar nulă prin studierea unui caz de static) este scrisă în termeni integrali:

$-\oint \limits _{\Sigma }p{\hat {n}}d\Sigma =\int \limits _{V}\rho {\vec {g}}dV$ ${\ displaystyle - \ oint \ limits _ {\ Sigma} p {\ hat {n}} d \ Sigma = \ int \ limits _ {V} \ rho {\ vec {g}} dV}$ ${\ displaystyle - \ oint \ limits _ {\ Sigma} p {\ hat {n}} d \ Sigma = \ int \ limits _ {V} \ rho {\ vec {g}} dV}$

după ce a ales o suprafață infinitesimală $d\Sigma$ ${\ displaystyle d \ Sigma}$ ${\ displaystyle d \ Sigma}$ , orientat cu vectorul unitate de ieșire ${\hat {n}}$ ${\ displaystyle {\ hat {n}}}$ ${\ hat {n}}$ (din care avem semnul minus fiind vectorul forței de presiune care intră în suprafață) și un volum arbitrar de fluid $d V.$ ${\ displaystyle dV}$ $dV$ .

În acest moment, restricționând în mod ideal din ce în ce mai mult dimensiunile volumului și, în consecință, și ale suprafeței infinitesimale, ajungem la un punct în care forțele de volum sunt neglijabile în comparație cu cele ale suprafeței. Acest lucru se datorează faptului că suprafața este proporțională cu $l^{2}$ ${\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ {2}$ unde este $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este dimensiunea liniară, în timp ce volumul este proporțional $l^{3}$ ${\ displaystyle l ^ {3}}$ ${\ displaystyle l ^ {3}}$ , și în mod clar tensionat $l\longrightarrow 0$ ${\ displaystyle l \ longrightarrow 0}$ ${\ displaystyle l \ longrightarrow 0}$ , $l^{3}$ ${\ displaystyle l ^ {3}}$ ${\ displaystyle l ^ {3}}$ scade mai repede decât $l^{2}$ ${\ displaystyle l ^ {2}}$ $l ^ {2}$ .

Acestea fiind spuse, obținem că:

$\oint \limits _{\Sigma }p{\hat {n}}d\Sigma =0$ ${\ displaystyle \ oint \ limits _ {\ Sigma} p {\ hat {n}} d \ Sigma = 0}$ ${\ displaystyle \ oint \ limits _ {\ Sigma} p {\ hat {n}} d \ Sigma = 0}$

În timp ce presiunea $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , clar, nu este nul, atunci integralul trebuie să fie zero: $\oint \limits _{\Sigma }{\hat {n}}d\Sigma =0$ ${\ displaystyle \ oint \ limits _ {\ Sigma} {\ hat {n}} d \ Sigma = 0}$ ${\ displaystyle \ oint \ limits _ {\ Sigma} {\ hat {n}} d \ Sigma = 0}$ și, prin urmare, presiunea trebuie să fie constantă pe întreaga suprafață închisă $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ , după ce l-a scos din integral.

Pentru a da o demonstrație intuitivă a faptului că integralul deține:

$\oint \limits _{\Sigma }{\hat {n}}d\Sigma =0$ ${\ displaystyle \ oint \ limits _ {\ Sigma} {\ hat {n}} d \ Sigma = 0}$ ${\ displaystyle \ oint \ limits _ {\ Sigma} {\ hat {n}} d \ Sigma = 0}$

să începem prin a lua o suprafață închisă $\Sigma$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ $\ Sigma$ și mutăm fiecare element al suprafeței în mod arbitrar printr-o lovitură $\delta {\vec {r}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}}}$ . Vom avea apoi suprafața care acoperă acum un volum care, în comparație cu volumul inițial $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , putem scrie ca. $V+\delta V$ ${\ displaystyle V + \ delta V}$ ${\ displaystyle V + \ delta V}$ . Creșterea volumului poate fi scrisă ca:

$\delta V=\int \limits _{\Sigma }\delta {\vec {r}}{\hat {n}}d\Sigma$ ${\ displaystyle \ delta V = \ int \ limits _ {\ Sigma} \ delta {\ vec {r}} {\ hat {n}} d \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ delta V = \ int \ limits _ {\ Sigma} \ delta {\ vec {r}} {\ hat {n}} d \ Sigma}$

Deoarece deplasarea este arbitrară, acum alegem să facem de fapt o translație rigidă a suprafeței; de aici termenul $\delta {\vec {r}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}}}$ este constantă și îndreptată spre o singură direcție și către fiecare punct. După ce ați ales să faceți o traducere, variația volumului este zero și, prin urmare:

$\delta V=0$ ${\ displaystyle \ delta V = 0}$ ${\ displaystyle \ delta V = 0}$

$\delta {\vec {r}}\oint \limits _{\Sigma }{\hat {n}}d\Sigma =0$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} \ oint \ limits _ {\ Sigma} {\ hat {n}} d \ Sigma = 0}$ ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}} \ oint \ limits _ {\ Sigma} {\ hat {n}} d \ Sigma = 0}$

prin urmare simplificând deplasarea infinitesimală (este o cantitate constantă mai mare sau egală cu zero). Urmează teza:

$\oint \limits _{\Sigma }{\hat {n}}d\Sigma =0$ ${\ displaystyle \ oint \ limits _ {\ Sigma} {\ hat {n}} d \ Sigma = 0}$ ${\ displaystyle \ oint \ limits _ {\ Sigma} {\ hat {n}} d \ Sigma = 0}$

Paradoxul lui Pascal

Efectele principiului lui Pascal, descoperite de fizicianul francez în celebrul său experiment de butoi din 1647

În experiment, care ia și numele de „Paradoxul lui Pascal”, Pascal a introdus o țeavă verticală lungă de 10 m într-un butoi plin cu apă ^[5] . În acel moment, Pascal a început să toarne apă în tubul vertical până când a umplut același tub și a observat o creștere a presiunii, care a atins o intensitate de natură să spargă butoiul ^[3] .

Din punct de vedere matematic, principiul poate fi descris prin următoarea formulă ^[6] :

\Delta p=\rho g(\Delta h)

{\ displaystyle \ Delta p = \ rho g (\ Delta h)}

\ Delta p = \ rho g (\ Delta h)

unde este $\Delta p$ ${\ displaystyle \ Delta p}$ $\ Delta p$ este modificarea presiunii hidrostatice , măsurată în pascale , introdusă în butoi și datorită greutății fluidului turnat în tub; ρ este densitatea fluidului, măsurată în kilograme pe metru cub ; g este accelerația gravitației e $\Delta h$ ${\ displaystyle \ Delta h}$ $\ Delta h$ este înălțimea, măsurată în metri, atinsă de fluidul din interiorul conductei.

Formula este derivată din legea lui Stevino aplicată sistemului tub-butoi. În acest caz presiunea introdusă în butoi este dată de

p_{0}=\rho gh_{0}

{\ displaystyle p_ {0} = \ rho gh_ {0}}

p_ {0} = \ rho gh_ {0}

unde este $h_{0}$ ${\ displaystyle h_ {0}}$ $h_0$ este înălțimea fluidului din conductă.

Presiunea în orice punct al fluidului conținut în butoi va fi apoi dată de

p_{f}=\rho g\Delta h+p_{0}=\rho g\Delta h+\rho gh_{0}=\rho g(\Delta h+h_{0})

{\ displaystyle p_ {f} = \ rho g \ Delta h + p_ {0} = \ rho g \ Delta h + \ rho gh_ {0} = \ rho g (\ Delta h + h_ {0})}

p_ {f} = \ rho g \ Delta h + p_ {0} = \ rho g \ Delta h + \ rho gh_ {0} = \ rho g (\ Delta h + h_ {0})

unde p _f este presiunea finală în orice punct (după adăugarea de apă), $\Delta h$ ${\ displaystyle \ Delta h}$ $\ Delta h$ este modificarea înălțimii lichidului, p ₀ este presiunea inițială a acelui punct. Aducând presiunea p _{0 pe} cealaltă parte a egalității obținem formula inițială ^[6] ^[7] .

Aplicații

Principiul lui Pascal își găsește aplicarea în diferite instrumente, de exemplu în:

sifon ;
jack ;
presa hidraulica ;
frâne hidraulice ^[2] în majoritatea autovehiculelor;
fântână arteziană ;
rezervor de apă turn ;
mic sinus lift;
presa hidraulica .

Notă

^ NASA : Pascal's Principle and Hydraulics Arhivat 5 aprilie 2018 la Internet Archive . de Carol Hodanbosi
^ ^a ^b Enciclopedia Britanică : principiul lui Pascal
^ ^a ^b Mansfield Merriman, Treatise on poi + 0èk0 pè 'èio èpk0l è'0ki'èkouipouàpui + plkylulyliuylhydraulics , ediția a VIII-a, J. Wiley , 1903, p. 22 .
^ MacTutor: Blaise Pascal
^ Wine East , L & H Photo Journalism, 1994, p. 23.
^ ^a ^b Principiul lui Pascal
^ ISHTAR: Principiul lui Pascal

Alte proiecte

linkuri externe

( EN )Legea lui Pascal , pe Enciclopedia Britanică , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portal mecanic

Portalul Termodinamicii

[1] NASA : Pascal's Principle and Hydraulics Arhivat 5 aprilie 2018 la Internet Archive . de Carol Hodanbosi

[britannica-2] Enciclopedia Britanică : principiul lui Pascal

[Merriman-3] Mansfield Merriman, Treatise on poi + 0èk0 pè 'èio èpk0l è'0ki'èkouipouàpui + plkylulyliuylhydraulics , ediția a VIII-a, J. Wiley , 1903, p. 22 .

[4] MacTutor: Blaise Pascal

[5] Wine East , L & H Photo Journalism, 1994, p. 23.

[hyper-6] Principiul lui Pascal

[7] ISHTAR: Principiul lui Pascal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]