Legea lui Snell

Refracție (θ ₁ = 60 °)

În optica geometrică , legea lui Snell , cunoscută și sub numele de legea Descartes sau legea Snell-Descartes (sau legea Descartes sau legea Snell-Descartes ), descrie modalitățile de refracție ale unei raze de lumină în tranziția dintre două mijloace cu indicele diferitelor refracții și derivă din ecuația iconală .

Istorie

Numele legii lui Snell respectă legea eponimiei lui Stigler . Legea este documentată mai întâi într-un manuscris scris în jurul anului 984 de matematicianul arab Ibn Sahl , care a folosit-o pentru a obține profile asferice ale lentilelor (lentile care focalizează lumina prin interfețe de sferă de separare aer-sticlă non-sferice, utilizate adesea pentru a reduce aberațiile optice). Ulterior a fost descoperit din nou de Thomas Harriot în 1602 , dar nu și-a publicat opera. În 1621 , a fost descoperit încă o dată de Willebrord Snell, într-o formă echivalentă matematic, dar a rămas nepublicat până la moartea sa. René Descartes a derivat în mod independent legea în ceea ce privește funcțiile sinusoidale în tratatul său Discurs despre metoda din 1637 și a folosit-o pentru a rezolva diferite probleme de optică. În franceză , legea lui Snell se numește „a lui Descartes” sau „a lui Snell-Descartes ”.

Introducere

Lumina se propagă în vid cu o viteză constantă c ₀ .

Fenomenul de refracție a luminii la interfața dintre două medii cu indice de refracție diferit.

Figura arată două medii de transmisie cu indice de refracție $n_{1}$ ${\ displaystyle n_ {1}}$ $n_ {1}$ (stânga) e $n_{2}$ ${\ displaystyle n_ {2}}$ $n_ {2}$ (dreapta) în contact unul cu celălalt printr-o suprafață, care se numește interfață (linie verticală din figură). In caz $n_{2}>n_{1}$ ${\ displaystyle n_ {2}> n_ {1}}$ ${\ displaystyle n_ {2}> n_ {1}}$ , lumina are o viteză de fază mai mică în a doua jumătate.

Fasciculul de lumină PO din mediul din stânga lovește interfața în punctul O. Începând din acest punct O trasăm o linie perpendiculară pe interfața însăși, care se numește normală pe interfață (linie orizontală din figură). Unghiul dintre normalul și fasciculul de lumină PO se numește unghiul de incidență , $\theta _{1}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$ $\ theta_1$ .

Fasciculul trece prin interfață și continuă în mijlocul drept, denumit OQ . Unghiul pe care această rază (refractată) îl formează cu normalul se numește unghiul de refracție , $\theta _{2}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2}}$ $\ theta_2$ .

Legea lui Snell oferă relația dintre unghiuri $\theta _{1}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$ $\ theta_1$ Și $\theta _{2}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2}}$ $\ theta_2$ :

${\frac {\sin \theta _{2}}{\sin \theta _{1}}}={\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ theta _ {2}} {\ sin \ theta _ {1}}} = {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} = {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sin \ theta _ {2}} {\ sin \ theta _ {1}}} = {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} = {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}}}$

Sau

$n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}\,$ ${\ displaystyle n_ {1} \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \ sin \ theta _ {2} \,}$ $n_ {1} \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \ sin \ theta _ {2} \,$ .

Rețineți că în cazul $\theta _{1}=0^{\circ }$ ${\ displaystyle \ theta _ {1} = 0 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1} = 0 ^ {\ circ}}$ (adică raza este perpendiculară pe interfață) soluția este $\theta _{2}=0^{\circ }$ ${\ displaystyle \ theta _ {2} = 0 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {2} = 0 ^ {\ circ}}$ pentru orice valoare de $n_{1}$ ${\ displaystyle n_ {1}}$ $n_ {1}$ Și $n_{2}$ ${\ displaystyle n_ {2}}$ $n_ {2}$ . Cu alte cuvinte, o rază care intră într-un mediu perpendicular pe suprafața sa nu este niciodată deviată.

Cele de mai sus sunt valabile și în cazul unei raze de lumină care trece de la un mediu mai dens la unul mai puțin dens; simetria legii lui Snell arată că aceleași căi de lumină sunt valabile și în direcția opusă.

O regulă calitativă pentru determinarea direcției de refracție este că fasciculul de lumină este întotdeauna mai aproape de normal pe partea celui mai dens mediu.

Legea lui Snell este valabilă în general numai pentru mediile izotrope , cum ar fi sticla . În cazul mediilor anizotrope (de exemplu unele cristale ) fenomenul birefringenței poate împărți raza refractată în două. Avem apoi două raze, una obișnuită (raza o ) care urmează legea lui Snell și una extraordinară (raza e ) care poate să nu fie coplanară cu cea incidentă.

Derivare

Luați în considerare ecuația iconală sub forma ^[1] :

${\frac {\partial }{\partial x}}(n{\hat {s}})-{\frac {\partial n}{\partial x}}{\hat {r}}={\vec {0}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (n {\ hat {s}}) - {\ frac {\ partial n} {\ partial x}} {\ hat {r}} = { \ vec {0}}}$ ${\ frac {\ partial} {\ partial x}} (n {\ hat s}) - {\ frac {\ partial n} {\ partial x}} {\ hat r} = {\ vec 0}$

unde este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este abscisa curbilinie de -a lungul căii optice, $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este indicele de refracție e ${\hat {s}}$ ${\ displaystyle {\ hat {s}}}$ ${\ hat s}$ vectorul unitar al fasciculului optic și efectuarea produsului vectorial pentru vectorul unitar ${\hat {r}}$ ${\ displaystyle {\ hat {r}}}$ ${\ hat r}$ a poziției se obține:

${\hat {r}}\times {\frac {\partial }{\partial x}}(n{\hat {s}})={\vec {0}}$ ${\ displaystyle {\ hat {r}} \ times {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (n {\ hat {s}}) = {\ vec {0}}}$ ${\ hat r} \ times {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (n {\ hat s}) = {\ vec 0}$

deoarece derivata este un operator liniar , produsul vector poate fi transportat în cel mai simplu mod:

${\frac {\partial }{\partial x}}({\hat {r}}\times (n{\hat {s}}))={\vec {0}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} ({\ hat {r}} \ times (n {\ hat {s}})) = {\ vec {0}}}$ ${\ frac {\ partial} {\ partial x}} ({\ hat r} \ times (n {\ hat s})) = {\ vec 0}$

apoi ajungem la legea lui Snell ^[2] :

${\frac {\partial }{\partial x}}(n{\hat {r}}\times {\hat {s}})={\vec {0}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (n {\ hat {r}} \ times {\ hat {s}}) = {\ vec {0}}}$ ${\ frac {\ partial} {\ partial x}} (n {\ hat r} \ times {\ hat s}) = {\ vec 0}$

care se exprimă în forma cea mai obișnuită prin apelare $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ unghiul dintre direcția poziției și cea a fasciculului optic:

${\frac {\partial }{\partial x}}(n\sin \theta )=0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (n \ sin \ theta) = 0}$ ${\ frac {\ partial} {\ partial x}} (n \ sin \ theta) = 0$

și având în vedere faptul că derivata parțială nulă este echivalentă cu un argument constant cu privire la variabila de derivare:

$n\sin \theta =cost(x)$ ${\ displaystyle n \ sin \ theta = cost (x)}$ $n \ sin \ theta = cost (x)$ .

Pe jumătate uniformă

Cel mai simplu caz este acela în care indicele de refracție este uniform de-a lungul abscisei curbilineare:

$n=cost(x)$ ${\ displaystyle n = cost (x)}$ $n = cost (x)$

În acest caz, puteți vedea imediat că traiectoria fasciculului este dreaptă, cu o înclinație uniformă:

$\theta =cost(x)$ ${\ displaystyle \ theta = cost (x)}$ $\ theta = cost (x)$

Jumătate sferică

Dacă, pe de altă parte, indicele de refracție este liniar cu abscisa curbiliniară ^[3] :

$n(x)=cost(x)x$ ${\ displaystyle n (x) = cost (x) x}$ $n (x) = cost (x) x$

raza este înclinată în fiecare punct al traiectoriei sale conform legii:

$\theta (x)=\sin ^{-1}\left({\frac {cost}{x}}\right)$ ${\ displaystyle \ theta (x) = \ sin ^ {- 1} \ left ({\ frac {cost} {x}} \ right)}$ $\ theta (x) = \ sin ^ {{- 1}} \ left ({\ frac {cost} {x}} \ right)$

aceasta implică o amortizare a abaterii de-a lungul traiectoriei: cu limita la infinit, se vede că înclinația asimptotică este zero, indiferent de înclinația inițială:

$\theta _{\infty }=\sin ^{-1}0=0$ ${\ displaystyle \ theta _ {\ infty} = \ sin ^ {- 1} 0 = 0}$ $\ theta _ {{\ infty}} = \ sin ^ {{- 1}} 0 = 0$

prin urmare, acest mijloc este capabil să alinieze razele optice cu orice direcție inițială, chiar dacă întotdeauna într-un mod incomplet, deoarece fizic nu poate fi realizat cu o extensie infinită, cu o eficiență proporțională cu calea optică și cu intensitatea indicelui de refracție.

Reflecție internă totală

Unghiul de incidență al razei albastre

\theta _{2}

{\ displaystyle \ theta _ {2}}

\ theta_2

este mai mare decât unghiul critic: fasciculul de lumină este reflectat. Fenomenul se numește reflexie internă totală și implică o pierdere zero de rază.

În trecerea de la un mediu mai dens la un mediu mai puțin dens (adică n ₁ > n ₂ ) se poate verifica cu ușurință că ecuația $n_{1}\sin \theta _{1}=n_{2}\sin \theta _{2}$ ${\ displaystyle n_ {1} \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \ sin \ theta _ {2}}$ ${\ displaystyle n_ {1} \ sin \ theta _ {1} = n_ {2} \ sin \ theta _ {2}}$ este lipsit de soluții atunci când $\theta _{1}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}}$ $\ theta_1$ depășește o valoare numită unghiul critic :

\theta _{\mathrm {crit} }=\arcsin \left({\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {crit}} = \ arcsin \ left ({\ frac {n_ {2}} {n_ {1}}} \ right)}

\ theta _ {{{\ mathrm {crit}}}} = \ arcsin \ left ({\ frac {n_ {2}} {n_ {1}}} \ right)

Cand $\theta _{1}>\theta _{crit}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}> \ theta _ {crit}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {1}> \ theta _ {crit}}$ nu apare nicio rază refractată: lumina incidentă suferă o reflecție internă totală de către interfață. Se generează o undă de suprafață sau o undă evanescentă ( undă cu scurgeri ), care se descompune exponențial în interiorul mediului cu indice de refracție $n_{2}$ ${\ displaystyle n_ {2}}$ $n_ {2}$ .

Exemplu de reflecție internă totală

Forma vectorului

De la versor $\mathbf {s}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {s}}$ a razei de lumină incidentă și a vectorului unitar $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ $\ mathbf {p}$ , normal pentru interfață, este posibil să derivăm versorii asociați cu raza reflectată și refractată:

\cos \theta _{1}={\hat {s}}\cdot {\hat {p}}

{\ displaystyle \ cos \ theta _ {1} = {\ hat {s}} \ cdot {\ hat {p}}}

\ cos \ theta _ {1} = {\ hat s} \ cdot {\ hat p}

\cos \theta _{2}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}

{\ displaystyle \ cos \ theta _ {2} = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ right) ^ {2} \ left (1- \ stânga (\ cos \ theta _ {1} \ dreapta) ^ {2} \ dreapta)}}}

\ cos \ theta _ {2} = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ right) ^ {2} \ left (1- \ left (\ cos \ theta _ {1} \ right) ^ {2} \ right)}}

{\hat {s}}_{\mathrm {riflesso} }={\hat {s}}-\left(2\cos \theta _{1}\right){\hat {p}}

{\ displaystyle {\ hat {s}} _ {\ mathrm {reflex}} = {\ hat {s}} - \ left (2 \ cos \ theta _ {1} \ right) {\ hat {p}}}

{\ hat s} _ {{{\ mathrm {reflection}}}} = {\ hat s} - \ left (2 \ cos \ theta _ {1} \ right) {\ hat p}

{\hat {s}}_{\mathrm {rifratto} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\hat {s}}+\left(\cos \theta _{2}-{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}\right){\hat {p}}

{\ displaystyle {\ hat {s}} _ {\ mathrm {refracted}} = \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ right) {\ hat {s}} + \ left (\ cos \ theta _ {2} - {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ cos \ theta _ {1} \ right) {\ hat {p}}}

{\ hat s} _ {{{\ mathrm {refracted}}}} = \ left ({\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ right) {\ hat s} + \ left (\ cos \ theta _ {2} - {\ frac {n_ {1}} {n_ {2}}} \ cos \ theta _ {1} \ right) {\ hat p}

Brahistocrona

Legea lui Snell poate fi legată de principiul lui Fermat :

„calea dintre două puncte luate de o rază de lumină este cea care este traversată în cel mai scurt timp” .

De fapt, se poate verifica că calea urmată de lumină este un punct staționar pentru calea optică , adică, în corespondență cu aceasta, derivația căii optice este anulată. Alternativ, relația poate fi obținută luând în considerare interferența tuturor căilor posibile pe care unda de lumină le poate parcurge de la sursă la observator - rezultă că interferența este distructivă peste tot, cu excepția fazelor extreme (unde este constructivă) - care devine calea propriu-zisă.

Într-o analogie clasică a brahistocronei propusă de Feynman, o plajă este o regiune cu un indice de refracție mai mic decât marea; cel mai rapid mod pentru un salvamar pe plajă de a ajunge la o persoană care se îneacă la o viteză constantă este de a parcurge calea optică sau de a urma legea lui Snell.

Notă

^ Petrizzelli , 15 .
^ Petrizzelli , p.16 .
^ Petrizzelli , 18 .

Bibliografie

Sandro Petrizzelli, Geometric Optics 1 ( PDF ), pe users.libero.it . Adus 30.12.2013 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Descoperirea legilor refracției , pe mintaka.sdsu.edu .

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism

[1] Petrizzelli , 15 .

[2] Petrizzelli , p.16 .

[3] Petrizzelli , 18 .

[1]

[2]

[3]