Legea Stefan-Boltzmann

Legea Stefan-Boltzmann , numită și legea lui Boltzmann sau legea lui Stefan , de către cei doi fizicieni austrieci Ludwig Boltzmann și Josef Stefan , stabilește că emisia unui corp negru este proporțională cu a patra putere a temperaturii sale absolute (exprimată în kelvini ):

q=\sigma \cdot T^{4}

{\ displaystyle q = \ sigma \ cdot T ^ {4}}

{\ displaystyle q = \ sigma \ cdot T ^ {4}}

unde este:

$q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este emisia termică ,
$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ temperatura absolută
$\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ este constanta Stefan-Boltzmann .

Legea, în această afirmație, este valabilă numai pentru corpurile negre ideale.

Legea a fost descoperită experimental de către Ștefan în 1879 și explicată teoretic pentru prima dată de Boltzmann în 1884. În tratamentul contemporan este urmărită înapoi la legea lui Planck , din care constituie o integrală . Această legătură permite constantei Stefan-Boltzmann să fie trasată înapoi la constantele fizice fundamentale:

\sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W\ m^{-2}\ K^{-4}}

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {\ pi ^ {2} k ^ {4}} {60 \ hbar ^ {3} c ^ {2}}} = 5 {,} 67 \ cdot 10 ^ {- 8 } \ mathrm {\ W \ m ^ {- 2} \ K ^ {- 4}}}

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {\ pi ^ {2} k ^ {4}} {60 \ hbar ^ {3} c ^ {2}}} = 5 {,} 67 \ cdot 10 ^ {- 8 } \ mathrm {\ W \ m ^ {- 2} \ K ^ {- 4}}}

.

Pentru demonstrarea și explicația termenilor, a se vedea paragraful derivare cuantică.

Derivarea termodinamică

Legea poate fi dedusă pornind de la considerații de natură termodinamică , fără a putea accesa nicio informație pentru valoarea constantei Stefan-Boltzmann . Relațiile sunt cunoscute:

u={\frac {4}{c}}q

{\ displaystyle u = {\ frac {4} {c}} q}

{\ displaystyle u = {\ frac {4} {c}} q}

Și

p={\frac {1}{3}}u

{\ displaystyle p = {\ frac {1} {3}} u}

{\ displaystyle p = {\ frac {1} {3}} u}

unde este:

$tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ este densitatea energiei,
$c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ viteza luminii ,
$q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ fluxul termic al radiației,
$p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ presiunea exercitată în muncă prin radiații.

Prin urmare, din relația fundamentală a energiei interne pe care o avem, integrându-ne pe volumul la temperatură constantă:

~{\rm {d}}U=T~{\rm {d}}S-p~{\rm {d}}V

{\ displaystyle ~ {\ rm {d}} U = T ~ {\ rm {d}} Sp ~ {\ rm {d}} V}

{\ displaystyle ~ {\ rm {d}} U = T ~ {\ rm {d}} S-p ~ {\ rm {d}} V}

\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{T}-p\left({\frac {\partial V}{\partial V}}\right)_{T}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial V}} \ right) _ {T} = T \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial V}} \ right) _ {T} -p \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial V}} \ right) _ {T}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial V}} \ right) _ {T} = T \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial V}} \ right) _ {T} -p \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial V}} \ right) _ {T}}

pentru relațiile Maxwell acest lucru este echivalent cu:

\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial V}} \ right) _ {T} = T \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ right) _ {V} -p}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial U} {\ partial V}} \ right) _ {T} = T \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ right) _ {V} -p}

u={\frac {1}{3}}T{\frac {\partial u}{\partial T}}-{\frac {1}{3}}u

{\ displaystyle u = {\ frac {1} {3}} T {\ frac {\ partial u} {\ partial T}} - {\ frac {1} {3}} u}

{\ displaystyle u = {\ frac {1} {3}} T {\ frac {\ partial u} {\ partial T}} - {\ frac {1} {3}} u}

unde în ultima ecuație au fost înlocuite relațiile cunoscute la început. Prin integrarea ecuației diferențiale obținem:

q=\sigma ~T^{4}

{\ displaystyle q = \ sigma ~ T ^ {4}}

{\ displaystyle q = \ sigma ~ T ^ {4}}

fiind $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ o constantă de integrare, încorporată de patru ori inversa $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ în valoarea sigma, care a fost obținută experimental.

Derivarea cuantică

Fiecare corp la orice temperatură emite radiații electromagnetice ; cantitatea și calitatea radiației emise depind de temperatura corpului și în al doilea rând de caracteristicile sale:

q=\int _{0}^{\infty }I(\nu )~d\nu =\int _{0}^{\infty }I(\lambda )~d\lambda

{\ displaystyle q = \ int _ {0} ^ {\ infty} I (\ nu) ~ d \ nu = \ int _ {0} ^ {\ infty} I (\ lambda) ~ d \ lambda}

{\ displaystyle q = \ int _ {0} ^ {\ infty} I (\ nu) ~ d \ nu = \ int _ {0} ^ {\ infty} I (\ lambda) ~ d \ lambda}

unde este:

$\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ este frecvența radiației electromagnetice;
$h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este constanta lui Planck ,
$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este temperatura absolută ,
$I(\nu )d\nu$ ${\ displaystyle I (\ nu) d \ nu}$ ${\ displaystyle I (\ nu) d \ nu}$ este densitatea energetică a radiației electromagnetice dintre $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ Și $\nu +d\nu$ ${\ displaystyle \ nu + d \ nu}$ ${\ displaystyle \ nu + d \ nu}$ .

Această din urmă distribuție a energiei în funcție de frecvențe nu fusese încă descoperită, doar că mai târziu Rayleigh și Jeans și mai târziu Planck au dedus-o cantitativ. Urmează legea lui Planck pentru strălucirea spectrală :

$I(T)={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}$ ${\ displaystyle I (T) = {\ frac {2 \ pi hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda kT} } -1}}}$ ${\ displaystyle I (T) = {\ frac {2 \ pi hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda kT} } -1}}}$

unde este:

$h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este constanta lui Planck ,
$k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este constanta lui Boltzmann ,
$c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii în vid,
$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este temperatura absolută ,
$\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este lungimea de undă ,
$Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este numărul lui Euler .

este integrat pe întregul domeniu al lungimii de undă :

$q=\int _{0}^{\infty }I(T)\operatorname {d} \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{B}T}}-1}}\operatorname {d} \lambda ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}T^{4}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}T^{4}$ ${\ displaystyle q = \ int _ {0} ^ {\ infty} I (T) \ operatorname {d} \ lambda = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {2 \ pi hc ^ {2 }} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda k_ {B} T}} - 1}} \ operatorname {d} \ lambda = {\ frac {2 \ pi ^ {5} k ^ {4}} {15c ^ {2} h ^ {3}}} T ^ {4} = {\ frac {\ pi ^ {2} k ^ {4}} {60 \ hbar ^ {3} c ^ {2}}} T ^ {4}}$ ${\ displaystyle q = \ int _ {0} ^ {\ infty} I (T) \ operatorname {d} \ lambda = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {2 \ pi hc ^ {2 }} {\ lambda ^ {5}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda k_ {B} T}} - 1}} \ operatorname {d} \ lambda = {\ frac {2 \ pi ^ {5} k ^ {4}} {15c ^ {2} h ^ {3}}} T ^ {4} = {\ frac {\ pi ^ {2} k ^ {4}} {60 \ hbar ^ {3} c ^ {2}}} T ^ {4}}$

obținem că constanta Stefan-Boltzmann definită clasic poate fi re-exprimată ca:

\sigma ={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}=5{,}67\cdot 10^{-8}\mathrm {\ W\ m^{-2}\ K^{-4}}

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {\ pi ^ {2} k ^ {4}} {60 \ hbar ^ {3} c ^ {2}}} = 5 {,} 67 \ cdot 10 ^ {- 8 } \ mathrm {\ W \ m ^ {- 2} \ K ^ {- 4}}}

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {\ pi ^ {2} k ^ {4}} {60 \ hbar ^ {3} c ^ {2}}} = 5 {,} 67 \ cdot 10 ^ {- 8 } \ mathrm {\ W \ m ^ {- 2} \ K ^ {- 4}}}

.

Corp adevărat radiant

Evident, „corpul negru” este o idealizare și corpurile, chiar și cele mai negre, nu sunt niciodată complet. Pentru a fi mai precis în fizică, corpul negru înseamnă un corp care absoarbe toată radiația electromagnetică incidentă; dimpotrivă, un corp de o anumită culoare (altul decât negru) nu este așa deoarece reflectă o parte a luminii care îl lovește. „ Corpurile albe ” reflectă de fapt o bună parte a radiației care le lovește, dar absorb întotdeauna o parte din ea. Caracteristicile unui corp emitent sunt duale dintre caracteristicile de absorbție: un corp negru, un absorbant ideal, este, de asemenea, un emițător ideal. În aplicarea legii lui Stefan-Boltzmann corpurilor reale, constanta σ este înmulțită cu emisivitatea ε, care depinde de suprafața corpului luată în considerare, precum și de temperatura acestuia și este cuprinsă între 0 (pentru corpurile albe ideal ) și 1 ( pentru corpuri ideal negre ). Deci, pentru corpurile reale (numite și „ corpuri gri ”) avem: