Legea Stokes

Forțe care acționează asupra unei sfere dintr-un fluid: forță hidrostatică (conform principiului lui Arhimede ) F _d și forța de greutate F _g .

Intrare principală: legea Newton-Stokes .

Forța Stokes este o expresie a forței de frecare vâscoasă la care este supusă o sferă în mișcare laminară față de un fluid , cu un număr Reynolds mai mic de 0,6 (în general în regimul de curgere Stokes ). A fost dedus de George Stokes în 1851 . Este o aplicație în cazul practic al sferei legii mai generale a lui Newton-Stokes , legea constitutivă a fluidelor de vâscozitate liniară .

Forța lui Stokes pe o sferă poate fi exprimată ca:

F_{d}=-6\pi \mu rv

{\ displaystyle F_ {d} = - 6 \ pi \ mu rv}

F_ {d} = - 6 \ pi \ mu rv

unde este $F_{d}$ ${\ displaystyle F_ {d}}$ $F_ {d}$ este forța de frecare vâscoasă, $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este vâscozitatea , $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este raza sferei e $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este viteza relativă dintre fluid și sferă. Dacă numărul lui Reynolds este mai mare decât unitatea, legea devine pătratică.

Dar, din moment ce o sferă cufundată într-un fluid este supusă forței gravitaționale , forței de frecare vâscoasă a fluidului și forța lui Arhimede , el a obținut că sfera a atins o condiție de echilibru pentru care se mișcă la o viteză constantă (numită viteza terminală de cădere ).

De fapt, în condiții de echilibru, rezultanta următoarelor forțe este zero:

F_{d}+F_{A}+F_{g}=0

{\ displaystyle F_ {d} + F_ {A} + F_ {g} = 0}

F_ {d} + F_ {A} + F_ {g} = 0

unde este:

$F_{d}$ ${\ displaystyle F_ {d}}$ $F_ {d}$ : forța de rezistență a mediului (Legea lui Stokes);
$F_{A}$ ${\ displaystyle F_ {A}}$ $FACE}$ : forța hidrostatică ( principiul lui Arhimede );
$F_{g}$ ${\ displaystyle F_ {g}}$ $F_ {g}$ : forța gravitației .

Caracteristici

Legea lui Stokes se bazează pe faptul că cu cât lichidul este mai vâscos, cu atât viteza unei sfere scade liber în acel lichid. Dar o sferă care cade în interiorul unui lichid numai prin gravitație, la un anumit moment al căii sale dobândește o viteză constantă, iar aceasta apare atunci când rezistența opusă vâscozității lichidului este exact echilibrată de forța gravitațională. Dimensiunea particulelor este, de asemenea, importantă: cu cât sunt mai mici, cu atât viteza de sedimentare (sau suprafață) este mai mică; cu toate acestea, dimensiunea lor excesiv de mică implică o creștere semnificativă a suprafeței specifice generale a masei dispersate și, prin urmare, o creștere a instabilității.

Viteza relativă de echilibru ( $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ ) este dat de următoarea relație:

u={\frac {2}{9}}{\frac {\left(\rho _{s}-\rho _{f}\right)}{\mu }}g\,r^{2}

{\ displaystyle u = {\ frac {2} {9}} {\ frac {\ left (\ rho _ {s} - \ rho _ {f} \ right)} {\ mu}} g \, r ^ { 2}}

u = {\ frac {2} {9}} {\ frac {\ left (\ rho _ {s} - \ rho _ {f} \ right)} {\ mu}} g \, r ^ {2}

$\rho _{s}$ ${\ displaystyle \ rho _ {s}}$ $\ rho _ {s}$ : densitatea sferei;
$\rho _{f}$ ${\ displaystyle \ rho _ {f}}$ $\ rho _ {f}$ : densitatea fluidelor;
$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ : vâscozitatea fluidului;
$g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ : accelerația gravitațională ;
$r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ : raza sferei.

Demonstrație

Condițiile de plecare luate în considerare de Stokes au fost prezența unei sfere cufundate într-un fluid și supusă unei forțe de gravitație $F_{g}$ ${\ displaystyle F_ {g}}$ $F_ {g}$ :

F_{g}=mg

{\ displaystyle F_ {g} = mg}

F_ {g} = mg

unde este:

$m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ : masa ;
$g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ : accelerația gravitațională .

Cu toate acestea, sfera este supusă și fricțiunii fluidului vâscos , $F_{d}$ ${\ displaystyle F_ {d}}$ $F_ {d}$ , care este dat de:

F_{d}=-6\pi \mu ru

{\ displaystyle F_ {d} = - 6 \ pi \ mu ru}

F_ {d} = - 6 \ pi \ mu ru

unde este:

$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ : pi ;
$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ : vâscozitate ;
r : raza sferei;
u : viteza fluidului față de sferă;
semnul este negativ deoarece fricțiunea fluidului are direcția opusă vitezei sferei.

În sfârșit, sfera este, de asemenea, supusă acțiunii forței lui Arhimede , $F_{A}$ ${\ displaystyle F_ {A}}$ $FACE}$ , deoarece este scufundat într-un fluid:

F_{A}=-\rho _{f}gV

{\ displaystyle F_ {A} = - \ rho _ {f} gV}

F_ {A} = - \ rho _ {f} gV

unde este:

$\rho _{f}$ ${\ displaystyle \ rho _ {f}}$ $\ rho _ {f}$ : densitatea fluidelor;
$g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ : accelerația gravitațională ;
$V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ : volumul corpului scufundat;
semnul este negativ deoarece împingerea lui Arhimede are direcția opusă forței gravitației.

În condiții de echilibru, accelerația este zero și, prin urmare:

6\pi \mu ru=mg-\rho _{f}gV

{\ displaystyle 6 \ pi \ mu ru = mg- \ rho _ {f} gV}

6 \ pi \ mu ru = mg- \ rho _ {f} gV

6\pi \mu ru=\rho _{s}Vg-\rho _{f}gV

{\ displaystyle 6 \ pi \ mu ru = \ rho _ {s} Vg- \ rho _ {f} gV}

6 \ pi \ mu ru = \ rho _ {s} Vg- \ rho _ {f} gV

6\pi \mu ru=Vg(\rho _{s}-\rho _{f})

{\ displaystyle 6 \ pi \ mu ru = Vg (\ rho _ {s} - \ rho _ {f})}

6 \ pi \ mu ru = Vg (\ rho _ {s} - \ rho _ {f})

cu: $\rho _{s}$ ${\ displaystyle \ rho _ {s}}$ $\ rho _ {s}$ densitatea sferei

întrucât volumul sferei V este

V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}

{\ displaystyle V = {\ frac {4 \ pi r ^ {3}} {3}}}

V = {\ frac {4 \ pi r ^ {3}} {3}}

înlocuind avem:

6\pi \mu ru={\frac {4\pi r^{3}}{3}}(\rho _{s}-\rho _{f})g

{\ displaystyle 6 \ pi \ mu ru = {\ frac {4 \ pi r ^ {3}} {3}} (\ rho _ {s} - \ rho _ {f}) g}

6 \ pi \ mu ru = {\ frac {4 \ pi r ^ {3}} {3}} (\ rho _ {s} - \ rho _ {f}) g

3\mu u={\frac {2r^{2}}{3}}(\rho _{s}-\rho _{f})g

{\ displaystyle 3 \ mu u = {\ frac {2r ^ {2}} {3}} (\ rho _ {s} - \ rho _ {f}) g}

3 \ mu u = {\ frac {2r ^ {2}} {3}} (\ rho _ {s} - \ rho _ {f}) g

u={\frac {2r^{2}}{9\mu }}(\rho _{s}-\rho _{f})g

{\ displaystyle u = {\ frac {2r ^ {2}} {9 \ mu}} (\ rho _ {s} - \ rho _ {f}) g}

u = {\ frac {2r ^ {2}} {9 \ mu}} (\ rho _ {s} - \ rho _ {f}) g

Suma vectorială (care ia în considerare versurile forțelor) acestor trei forțe este întotdeauna zero și permite obținerea formulei legii lui Stokes, din care se derivă viteza sferei în condiții de echilibru atins.

Limitele legii lui Stokes și corectarea acesteia

Legea lui Stokes determină forța fricțiunii vâscoase care acționează asupra unei particule care se mișcă într-un fluid în ipoteza că fluidul poate fi considerat un mediu continuu. Când dimensiunea particulelor devine comparabilă cu calea liberă medie a moleculelor de fluid, validitatea legii lui Stokes poate fi extinsă prin împărțirea legii la un factor de corecție care a fost introdus în 1910 de E. Cunningham ^[1] .

Deci, expresia legii lui Stokes cu acest factor de corecție devine:

F_{d}=-{\frac {6\pi \mu ru}{C}}

{\ displaystyle F_ {d} = - {\ frac {6 \ pi \ mu ru} {C}}}

{\ displaystyle F_ {d} = - {\ frac {6 \ pi \ mu ru} {C}}}

unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este factorul de corecție.

Factorul de corecție are următoarea expresie analitică:

C=1+{\frac {\lambda }{r}}\cdot (A_{1}+A_{2}\cdot e^{\frac {-A_{3}\cdot 2r}{\lambda }})

{\ displaystyle C = 1 + {\ frac {\ lambda} {r}} \ cdot (A_ {1} + A_ {2} \ cdot e ^ {\ frac {-A_ {3} \ cdot 2r} {\ lambda }})}

{\ displaystyle C = 1 + {\ frac {\ lambda} {r}} \ cdot (A_ {1} + A_ {2} \ cdot e ^ {\ frac {-A_ {3} \ cdot 2r} {\ lambda }})}

unde este

λ este calea liberă medie a moleculelor de fluid

r este raza sferei

A _n sunt coeficienți determinați experimental.

Pentru aer, coeficienții sunt ^[2] :

A ₁ = 1,257

A ₂ = 0,400

A ₃ = 1,10

R. Millikan, în celebrul experiment de picătură de ulei, pentru a măsura sarcina electronului, a folosit această formulă în anul 1910.

Factorul de corecție Cunningham în aer la temperatura camerei devine important atunci când particulele sunt mai mici de 15 microni . Factorul de corecție este destinat extinderii legii lui Stokes, dar valabilitatea acestuia este limitată, deoarece dacă C devine mult mai mare decât una, legea lui Stokes își pierde complet semnificația fizică. În aer, când dimensiunile devin sub-micrometrice, factorul de corecție nu mai este aplicat și dinamica trebuie descrisă prin intermediul fizicii mișcării browniene . Acest termen corectiv este adesea folosit în studiul dinamicii aerosolilor .

Notă

^ Cunningham, E., „Cu privire la viteza de cădere constantă a particulelor sferice prin mediu fluid”, Proc. Roy. Soc. A 83 (1910) 357. DOI : 10.1098 / rspa.1910.0024
^ C. Davies, Ecuații definitive pentru rezistența la fluid a sferelor , în Proceedings of the Physical Society , vol. 57, 1945, p. 259, Bibcode : 1945PPS .... 57..259D , DOI : 10.1088 / 0959-5309 / 57/4/301 .

Elemente conexe

linkuri externe

( RO ) IUPAC Gold Book, „Legea Stokes” , pe goldbook.iupac.org .

linkuri externe

Pagină dedicată explicației legii lui Stokes - Galenotech.org , pe galenotech.org .

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[Cunningham-1] Cunningham, E., „Cu privire la viteza de cădere constantă a particulelor sferice prin mediu fluid”, Proc. Roy. Soc. A 83 (1910) 357. DOI : 10.1098 / rspa.1910.0024

[2] C. Davies, Ecuații definitive pentru rezistența la fluid a sferelor , în Proceedings of the Physical Society , vol. 57, 1945, p. 259, Bibcode : 1945PPS .... 57..259D , DOI : 10.1088 / 0959-5309 / 57/4/301 .

[1]

[2]