Legea lui Wien

Intensitatea emisiilor corpului negru în funcție de lungimea de undă pentru diferite temperaturi (absolute).

În fizică , legea lui Wien , numită și legea deplasării lui Wien , este o lege fizică experimentală, scrisă de fizicianul german Wilhelm Wien în 1893 , care permite identificarea pentru care lungime de undă $\lambda _{max}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {max}}$ $\ lambda _ {{max}}$ emisia radiativă a unui corp negru de masă generică plasat la o anumită temperatură este maximă $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ .

Descriere

Formulare

\lambda _{max}=b/T

{\ displaystyle \ lambda _ {max} = b / T}

{\ displaystyle \ lambda _ {max} = b / T}

unde este:

$b=2{,}8977685(51)\times 10^{-3}\,\mathrm {m\;K}$ ${\ displaystyle b = 2 {,} 8977685 (51) \ times 10 ^ {- 3} \, \ mathrm {m \; K}}$ ${\ displaystyle b = 2 {,} 8977685 (51) \ times 10 ^ {- 3} \, \ mathrm {m \; K}}$ (valoarea recomandată de CODATA în 2002 ) se numește constanta de deplasare a lui Wien ( $b={\frac {1}{5}}c_{2}$ ${\ displaystyle b = {\ frac {1} {5}} c_ {2}}$ $b = {\ frac {1} {5}} c_ {2}$ unde este $c_{2}=1{,}44\,\mathrm {cm\;K}$ ${\ displaystyle c_ {2} = 1 {,} 44 \, \ mathrm {cm \; K}}$ ${\ displaystyle c_ {2} = 1 {,} 44 \, \ mathrm {cm \; K}}$ și se numește a doua constantă de radiație ). Exprimat cu o funcție matematică, produsul temperatură-lungime de undă este reprezentat după cum urmează:

T\cdot \lambda _{max}={\frac {h\cdot c}{k_{B}{\bigl [}5+W(-5e^{-5}){\bigr ]}}}

{\ displaystyle T \ cdot \ lambda _ {max} = {\ frac {h \ cdot c} {k_ {B} {\ bigl [} 5 + W (-5e ^ {- 5}) {\ bigr]}} }}

{\ displaystyle T \ cdot \ lambda _ {max} = {\ frac {h \ cdot c} {k_ {B} {\ bigl [} 5 + W (-5e ^ {- 5}) {\ bigr]}} }}

$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este temperatura absolută , adică măsurată în kelvini , a sursei (corpul negru);

$\lambda _{max}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {max}}$ $\ lambda _ {{max}}$ este lungimea de undă pentru care strălucirea spectrală este maximă (prin urmare nu este lungimea de undă maximă radiată de corp) ^[1] ;

$h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este constanta lui Planck ;

$c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii în vid ;

$k_{B}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ ${\ displaystyle k_ {B}}$ este constanta lui Boltzmann ;

$W(x)$ ${\ displaystyle W (x)}$ ${\ displaystyle W (x)}$ este funcția Lambert W.

Interpretare

Legea lui Wien arată cum densitatea energiei emise în funcție de frecvență sau lungimea de undă de un corp negru la o anumită temperatură are un vârf care se deplasează spre frecvențe joase pe măsură ce temperatura însăși scade. Pe măsură ce temperatura crește, emisia maximă se deplasează spre lungimi de undă mai mici și, prin urmare, energii mai mari. Se poate deduce că pe măsură ce temperatura corpului se schimbă, culoarea se schimbă. Se introduce apoi conceptul de temperatură a culorii , care este temperatura la care corespunde o emisie maximă bine determinată. Aceasta este, de exemplu, metoda utilizată pentru a înțelege temperatura cuptoarelor deosebit de puternice pentru care este clar imposibil să ne gândim la utilizarea unui termometru comun. În practică, cu cât un obiect este mai fierbinte, cu atât este mai mică lungimea de undă la care va emite radiații . De exemplu, temperatura de suprafață a Soarelui este de 5777 K, ceea ce dă un vârf de emisie maxim la 501,6 nm (5016 ångström ) corespunzător culorii verde-cian.

După cum se poate vedea în intrarea pe culoare , această lungime de undă nu se află în centrul spectrului vizibil , deoarece acesta din urmă este, de asemenea, rezultatul împrăștierii optice a luminii de către atmosfera terestră, ceea ce face ca spectrul solar al luminii directe să fie mai puțin prezent decât „componentele albastre” (violet, indigo, albastru, cian, verde) și adaptarea pupilelor la intensitatea luminii solare care impune un echilibru specific al culorilor . Un bec are un filament strălucitor cu o temperatură ușor mai scăzută, ceea ce are ca rezultat o emisie de lumină galbenă, în timp ce un obiect aflat în „căldura roșie” este și mai rece.

Demonstrație

Legea lui Wien se obține luând în considerare pentru care lungime de undă există o emisie maximă. Pentru a face acest lucru, trebuie mai întâi să trecem la expresia distribuției spectrale în funcție de $\lambda \$ ${\ displaystyle \ lambda \}$ $\ lambda \$ :

\rho _{\omega }d\omega =\rho _{\omega }{\frac {d\omega }{d\lambda }}d\lambda =\rho _{\lambda }d\lambda \

{\ displaystyle \ rho _ {\ omega} d \ omega = \ rho _ {\ omega} {\ frac {d \ omega} {d \ lambda}} d \ lambda = \ rho _ {\ lambda} d \ lambda \ }

\ rho _ {\ omega} d \ omega = \ rho _ {\ omega} {\ frac {d \ omega} {d \ lambda}} d \ lambda = \ rho _ {\ lambda} d \ lambda \

\omega =2\pi {\frac {c}{\lambda }}\

{\ displaystyle \ omega = 2 \ pi {\ frac {c} {\ lambda}} \}

{\ displaystyle \ omega = 2 \ pi {\ frac {c} {\ lambda}} \}

d\omega =-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}d\lambda \

{\ displaystyle d \ omega = - {\ frac {2 \ pi c} {\ lambda ^ {2}}} d \ lambda \}

d \ omega = - {\ frac {2 \ pi c} {\ lambda ^ {2}}} d \ lambda \

prin urmare:

\rho _{\omega }d\omega ={\frac {\eta ^{3}{\frac {(2\pi c)^{3}}{\lambda ^{3}}}\hbar }{\pi ^{2}c^{3}{\Bigl [}e^{\frac {2\pi \hbar c}{\lambda kT}}-1{\Bigr ]}}}\left({\frac {-2\pi c}{\lambda ^{2}}}\right)d\lambda \

{\ displaystyle \ rho _ {\ omega} d \ omega = {\ frac {\ eta ^ {3} {\ frac {(2 \ pi c) ^ {3}} {\ lambda ^ {3}}} \ hbar } {\ pi ^ {2} c ^ {3} {\ Bigl [} e ^ {\ frac {2 \ pi \ hbar c} {\ lambda kT}} - 1 {\ Bigr]}}} \ left ({ \ frac {-2 \ pi c} {\ lambda ^ {2}}} \ right) d \ lambda \}

{\ displaystyle \ rho _ {\ omega} d \ omega = {\ frac {\ eta ^ {3} {\ frac {(2 \ pi c) ^ {3}} {\ lambda ^ {3}}} \ hbar } {\ pi ^ {2} c ^ {3} {\ Bigl [} e ^ {\ frac {2 \ pi \ hbar c} {\ lambda kT}} - 1 {\ Bigr]}}} \ left ({ \ frac {-2 \ pi c} {\ lambda ^ {2}}} \ right) d \ lambda \}

și, în sfârșit:

\rho _{\lambda }d\lambda ={\frac {8\pi hc\eta ^{3}}{\lambda ^{5}{\Bigl [}e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1{\Bigr ]}}}d\lambda \

{\ displaystyle \ rho _ {\ lambda} d \ lambda = {\ frac {8 \ pi hc \ eta ^ {3}} {\ lambda ^ {5} {\ Bigl [} e ^ {\ frac {hc} { \ lambda kT}} - 1 {\ Bigr]}}} d \ lambda \}

{\ displaystyle \ rho _ {\ lambda} d \ lambda = {\ frac {8 \ pi hc \ eta ^ {3}} {\ lambda ^ {5} {\ Bigl [} e ^ {\ frac {hc} { \ lambda kT}} - 1 {\ Bigr]}}} d \ lambda \}

Pentru a simplifica calculele, punem:

x={\frac {hc}{\lambda kT}}\

{\ displaystyle x = {\ frac {hc} {\ lambda kT}} \}

{\ displaystyle x = {\ frac {hc} {\ lambda kT}} \}

și găsim maximul funcției spectrale prin diferențiere față de x :

{\frac {d\rho _{\lambda }}{dx}}=0\quad \Longrightarrow \quad e^{-x}+{\frac {x}{5}}-1=0\

{\ displaystyle {\ frac {d \ rho _ {\ lambda}} {dx}} = 0 \ quad \ Longrightarrow \ quad e ^ {- x} + {\ frac {x} {5}} - 1 = 0 \ }

{\ displaystyle {\ frac {d \ rho _ {\ lambda}} {dx}} = 0 \ quad \ Longrightarrow \ quad e ^ {- x} + {\ frac {x} {5}} - 1 = 0 \ }

Cele de mai sus sunt o ecuație transcendentă a cărei soluție aproximativă este $x=x_{0}=4{,}9651$ ${\ displaystyle x = x_ {0} = 4 {,} 9651}$ ${\ displaystyle x = x_ {0} = 4 {,} 9651}$ , asa de

{\frac {hc}{\lambda _{max}kT}}=x_{0}=cost\

{\ displaystyle {\ frac {hc} {\ lambda _ {max} kT}} = x_ {0} = cost \}

{\ displaystyle {\ frac {hc} {\ lambda _ {max} kT}} = x_ {0} = cost \}

și, în sfârșit

\lambda _{max}T=b\

{\ displaystyle \ lambda _ {max} T = b \}

{\ displaystyle \ lambda _ {max} T = b \}

cu b constantă,

b=2{,}8978\cdot 10^{-3}{\text{ m K}}

{\ displaystyle b = 2 {,} 8978 \ cdot 10 ^ {- 3} {\ text {m K}}}

{\ displaystyle b = 2 {,} 8978 \ cdot 10 ^ {- 3} {\ text {m K}}}

Astăzi această lege este derivată din legea lui Planck prin impunerea condițiilor maxime și efectuarea substituției ^[2] :

y={\frac {hc}{\lambda _{max}k_{B}T}}

{\ displaystyle y = {\ frac {hc} {\ lambda _ {max} k_ {B} T}}}

{\ displaystyle y = {\ frac {hc} {\ lambda _ {max} k_ {B} T}}}

unde h este constanta lui Planck , c este viteza luminii exprimată în metri pe secundă , k _B este constanta Boltzmann și T este temperatura corpului negru exprimată în kelvini . Căutarea maximului se reduce astfel la rezolvarea ecuației:

y=5\,(1-e^{-y})

{\ displaystyle y = 5 \, (1-e ^ {- y})}

{\ displaystyle y = 5 \, (1-e ^ {- y})}

A cărui rădăcină aproximativă este $y=4,965114231$ ${\ displaystyle y = 4.965114231}$ ${\ displaystyle y = 4.965114231}$ .

Pe de altă parte, derivarea legii lui Planck în ceea ce privește frecvențele și echivalarea cu zero (pentru a obține maximul) și efectuarea substituției:

x={\frac {h\nu _{max}}{k_{B}T}}

{\ displaystyle x = {\ frac {h \ nu _ {max}} {k_ {B} T}}}

{\ displaystyle x = {\ frac {h \ nu _ {max}} {k_ {B} T}}}

unde ν _max este frecvența exprimată în hertz a energiei maxime, trebuie să rezolvăm ecuația

x=3\;(1-e^{-x})

{\ displaystyle x = 3 \; (1-e ^ {- x})}

{\ displaystyle x = 3 \; (1-e ^ {- x})}

care duce la relație:

h\nu _{max}=2{,}821439372\;k_{B}T

{\ displaystyle h \ nu _ {max} = 2 {,} 821439372 \; k_ {B} T}

{\ displaystyle h \ nu _ {max} = 2 {,} 821439372 \; k_ {B} T}

Înlocuind valorile cu constante numerice putem rescrie:

{\frac {\nu _{max}}{T}}=5{,}8789327(75)\times 10^{10}\ \mathrm {Hz\,K^{-1}}

{\ displaystyle {\ frac {\ nu _ {max}} {T}} = 5 {,} 8789327 (75) \ times 10 ^ {10} \ \ mathrm {Hz \, K ^ {- 1}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ nu _ {max}} {T}} = 5 {,} 8789327 (75) \ times 10 ^ {10} \ \ mathrm {Hz \, K ^ {- 1}}}

Așa cum este scris în articolul despre corpul negru, este important să rețineți că expresia lui Planck nu trebuie înțeleasă în niciun fel ca o funcție în sens obișnuit, ci ca o funcție generalizată în sensul distribuțiilor, adică are valoare numai în expresii integrale.diferențial: deci lungimea de undă la care, la o anumită temperatură, există maximul de emisie, nu corespunde cu frecvența la care, la aceeași temperatură, există maximul de emisie.

Notă

^ "De la mecanică la constituția materiei" , Caforio-Ferilli, Le Monnier, volumul 2, pagina 19
^ Pag. 24 "Procese radiative în astrofizică" Rybicki - Lightman

Bibliografie

Peter Atkins, Julio De Paula, Chimie fizică , ediția a IV-a, Bologna, Zanichelli, septembrie 2004, ISBN 88-08-09649-1 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere privind legea din Viena

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism

[1] "De la mecanică la constituția materiei" , Caforio-Ferilli, Le Monnier, volumul 2, pagina 19

[NomeNota-2] Pag. 24 "Procese radiative în astrofizică" Rybicki - Lightman

[1]

[2]

V · D · M Spectru electromagnetic
Raze gamma · Raze X · Ultraviolete · Lumina vizibilă · Infraroșu · Cuptor cu microunde · Undele radio (Sortate după frecvență , în ordine descrescătoare)
Spectru vizibil	Roșu · Portocaliu · Galben · Verde · Cian · Albastru · Violet
Unde radio	ELF · SLF · ULF · VLF · LF · MF · HF · VHF · UHF · SHF · EHF · THF
Cuptor cu microunde	L · S · C · X · Ku · K · Ka · Q · U · V · E · W · F · D
Lungime de undă	Valuri lungi · Val mediu · Undă scurtă · Cuptor cu microunde