Legea conservării sarcinii electrice

Conservarea sarcinii electrice este o lege fizică , care este reprezentată în forma canonică ca o anumită ecuație de continuitate valabilă pentru sarcină electrică . Legea prevede că fluxul de curent electric de densitate prin orice suprafață închisă este egală cu modificarea sarcinii electrice situate în volumul închis de suprafață. ^[1]

Legea

Legea de conservare pentru sarcină electrică în formă diferențială este ecuația de continuitate : ^[2]

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0}

unde este $\mathbf {J} =\rho \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ rho \ mathbf {v}}$ $\ Mathbf J = \ rho \ mathbf v$ este densitatea curentului electric , cu $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ densitatea sarcinii e $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf v}$ viteza de derivă .

După integrarea într - un volum și folosind teorema divergență , se obține forma integrală:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\rho \operatorname {d} \!r^{3}+\oint _{\partial V}\mathbf {J} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} =0

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ rho \ operatorname {d} \! R ^ {3} + \ oint _ {\ V parțial } \ mathbf {J} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {S} = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ rho \ operatorname {d} \! R ^ {3} + \ oint _ {\ V parțial } \ mathbf {J} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {S} = 0}

care poate fi scris ca:

{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}+I=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} + I = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} + I = 0}

unde este $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este sarcina electrică conținută în volumul de integrare e $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este net curentul electric care iese din suprafața pe care îl delimitează. Pentru a dovedi ecuația de continuitate într - o formă nedefinită folosim teorema de transport Reynolds , cu care putem scrie:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\rho \operatorname {d} \!V=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ rho \ operatorname {d} \! V = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ rho \ operatorname {d} \! V = 0}

adică:

{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} = 0}

Legea de conservare și ecuațiile lui Maxwell

Ecuația de continuitate poate fi derivată din ecuațiile lui Maxwell prin aplicarea divergență operatorului la a patra:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\cdot \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} }{\partial t}}\right)

{\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ mathbf ori \ {B} = \ mu _ {0} \ cdot \ stânga (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ parțial \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {D}} {\ t parțial}} \ dreapta)}

{\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ mathbf ori \ {B} = \ mu _ {0} \ cdot \ stânga (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ parțial \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {D}} {\ t parțial}} \ dreapta)}

și înlocuind primul din interiorul acestuia:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho

{\ Displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {D} = \ rho}

{\ Mathbf \ nabla} \ cdot {\ mathbf D} = \ rho

Trebuie remarcat faptul că relația $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ ori \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}$ $\ Nabla \ ori \ mathbf B = \ mu_0 \ mathbf J$ deține numai în cazul staționar, așa cum se arată prin aplicarea divergenta la ambii membri. Pentru fostul unul are $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0$ ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ ori \ mathbf {B}) = 0}$ $\ Nabla \ cdot (\ nabla \ ori \ mathbf B) = 0$ , Și deci va trebui să verifice că prea $\nabla \cdot \mathbf {J}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J}}$ $\ Nabla \ cdot \ mathbf J$ nu este nimic. Cu toate acestea, ecuația de continuitate pentru curent electric dicteaza $\nabla \cdot \mathbf {J}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J}}$ $\ Nabla \ cdot \ mathbf J$ nu este nimic numai atunci când $\partial \rho /\partial t=0$ ${\ Displaystyle \ parțial \ rho / \ t parțial = 0}$ $\ \ Rho / \ t parțial parțială = 0$ , Adică, numai în cazul staționar. ^[3]

Extinderea legii lui Ampère la cazul non-staționare, din cauza Maxwell , este un rezultat fundamental pentru dezvoltarea ulterioară a electrodinamicii , deoarece arată modul în care un câmp electric variabil în timp este sursa unui câmp magnetic.

Prin introducerea primei legi a lui Maxwell în ecuația de continuitate obținem:

\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} = \ nabla \ cdot \ stânga (\ mathbf {J} + \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ parțial \ mathbf {E}} {\ t parțial}} \ dreapta)}

\ Nabla \ cdot \ mathbf J + \ frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial} = \ nabla \ cdot \ stânga (\ mathbf J + \ varepsilon_0 \ frac {\ parțial \ mathbf E} {\ t parțial} \ dreapta)

în cazul în care termenul:

\mathbf {J} _{s}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {s} = \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}}}

\ Mathbf {J} _s = \ varepsilon_0 \ frac {\ parțial \ mathbf {E}} {\ t parțial}

este curent de deplasare densitate, și se adaugă la densitatea de curent în cazul nestaționar. ^[4]

Prin introducerea densității curentului generalizat astfel obținut în legea lui Ampère: ^[5] ^[6]

\mathbf {\nabla \times B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla \ times B} = \ mu _ {0} \ left (\ mathbf {J} + \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t }} \ dreapta)}

\ mathbf {\ nabla \ times B} = \ mu_0 \ left (\ mathbf J + \ varepsilon_0 \ frac {\ partial \ mathbf E} {\ partial t} \ right)

obținem a patra ecuație Maxwell în vid. ^[7] Această expresie arată modul în care variația temporală a unui câmp electric este sursa unui câmp magnetic.

Notatie relativista

Ecuația de continuitate poate fi scrisă într-un mod foarte simplu și compact folosind notația relativistă . În acest scop, quadricurrent este definit $J^{\mu }=\rho (c,\mathbf {v} )$ ${\ Displaystyle J ^ {\ mu} = \ rho (c, \ mathbf {v})}$ ${\ Displaystyle J ^ {\ mu} = \ rho (c, \ mathbf {v})}$ , Un patru vector al cărui timp componentă este densitatea de încărcare și componenta spațială este densitatea curentului vectorului .

În acest fel, ecuația de continuitate devine:

\partial _{\mu }J^{\mu }=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0}

\ partial_ \ mu J ^ \ mu = 0

Relația cu invarianță ecartament

Conservarea efectivă nu poate fi interpretată ca o consecință a unei simetrie în conformitate cu teorema lui Noether , un rezultat fundamental al fizicii teoretice care prevede că orice lege de conservare este asociat cu o simetrie a sistemului fizic. Simetria care este asociat cu conservarea taxei este gabaritul invarianta al câmpului electromagnetic . Acest lucru este legat de faptul că câmpurile electrice și magnetice nu variază prin adăugarea sau scăderea o valoare constantă la potențialul electrostatic $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . În realitate, simetrie completă este mai complicat, și implică , de asemenea, un potențial vector $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ . Declarația completă a invarianță ecartament este că fizica a unui câmp electromagnetic rămâne neschimbată dacă un gradient al unui câmp scalar arbitrar se adaugă potențialele scalare și vectoriale $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ :

\phi '=\phi -{\frac {\partial \chi }{\partial t}}\qquad \qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \chi .

{\ Displaystyle \ phi '= \ phi - {\ frac {\ parțial \ chi} {\ t parțial}} \ prototipurilor \ prototipurilor \ mathbf {A}'. = \ Mathbf {A} + \ nabla \ chi}

{\ Displaystyle \ phi '= \ phi - {\ frac {\ parțial \ chi} {\ t parțial}} \ prototipurilor \ prototipurilor \ mathbf {A}'. = \ Mathbf {A} + \ nabla \ chi}

În mecanica cuantică câmpul scalar este echivalentă cu o schimbare de fază în funcția de undă a particulei încărcată:

\psi '=e^{i\chi }\psi

{\ Displaystyle \ psi „= e ^ {i \ chi} \ psi}

{\ Displaystyle \ psi „= e ^ {i \ chi} \ psi}

pentru care invarianta ecartament este echivalent cu faptul că schimbarea de fază a unei funcții de undă nu este observabil, și care se schimbă numai în modulul funcției de undă conduce la modificări în funcția de probabilitate $|\psi |^{2}$ ${\ Displaystyle | \ psi | ^ {2}}$ ${\ Displaystyle | \ psi | ^ {2}}$ . Acesta este motivul fundamental teoretic în spatele conservării taxei.

Gabaritul invarianta este o proprietate foarte importantă, și bine stabilit, a câmpului electromagnetic, și are multe consecințe verificabile. Justificarea teoretică a conservării sarcină este puternic susținută de a fi legat de această simetrie. De exemplu, invarianta ecartament la nivel mondial impune , de asemenea , ca fotonul BE fara masa, si dovezi experimentale puternice că fotonul are masa zero , este o dovadă importantă că taxa este conservată.

Notă

^ Mencuccini și Silvestrini , p. 176.
^ Mencuccini și Silvestrini , p. 175 .
^ Mencuccini și Silvestrini , p. 396 .
^ Mencuccini și Silvestrini , p. 397 .
^ Raymond Bonnett, Shane nor, Introducere în propagarea undelor electromagnetice și Antene , Taylor & Francis, 1995, p. 16, ISBN 1-85728-241-8 .
^ JC Slater și NH Frank, electromagnetism , Republicarea 1947 ediție, Courier Dover Publications, 1969, p. 84, ISBN 0-486-62263-0 .
^ Mencuccini și Silvestrini , p. 398 .

Bibliografie

Corrado Mencuccini și Vittorio Silvestrini, Fizica II , Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
Jerry D. Wilson, Antony J. Buffa, Fizica 3 , Milano, Principate, 2000, ISBN 88-416-5803-7

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) Legea conservării sarcinii electrice , în Enciclopedia Britannica , Encyclopaedia Britannica, Inc.

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism

[1] Mencuccini și Silvestrini , p. 176.

[2] Mencuccini și Silvestrini , p. 175 .

[3] Mencuccini și Silvestrini , p. 396 .

[4] Mencuccini și Silvestrini , p. 397 .

[Cloude-5] Raymond Bonnett, Shane nor, Introducere în propagarea undelor electromagnetice și Antene , Taylor & Francis, 1995, p. 16, ISBN 1-85728-241-8 .

[Slater-6] JC Slater și NH Frank, electromagnetism , Republicarea 1947 ediție, Courier Dover Publications, 1969, p. 84, ISBN 0-486-62263-0 .

[7] Mencuccini și Silvestrini , p. 398 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]