Legile lui Fick

În fizică , în special în studiul fenomenelor de transport , legile lui Fick sunt relații constitutive care descriu variațiile concentrației în materiale în care au loc fenomene de difuzie moleculară în absența difuziei termice. Ele poartă numele fiziologului german Adolf Fick , care le-a dezvoltat pentru prima dată în 1855 . ^[1]

Un exemplu practic de difuzie poate fi cel al unei picături de cafea într-o ceașcă de lapte : prin difuzie substanțele care alcătuiesc picătura de cafea se mișcă, sau mai degrabă difuze , în lapte, amestecându-se cu acesta și această mișcare de difuzare continuă până când obținerea unui amestec de concentrație uniformă; uniformitatea concentrației este indicată de faptul că amestecul de cafea și lapte obținut are o culoare uniformă.

Prima lege a lui Fick

Prima lege, valabilă pentru condiții staționare , descrie difuzia anizotropă a unei i-a specii în dimensiuni spațiale în medii omogene : ^[2]

{\vec {J}}=-\mathbf {D} \,{\vec {\nabla }}\Phi

{\ displaystyle {\ vec {J}} = - \ mathbf {D} \, {\ vec {\ nabla}} \ Phi}

{\ displaystyle {\ vec {J}} = - \ mathbf {D} \, {\ vec {\ nabla}} \ Phi}

unde este ${\vec {J}}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {J}}}$ este densitatea fluxului speciilor difuze, $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf D$ este difuzivitatea materiei (dimensional m ² · s ^-1 ) e $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ este concentrația speciei difuze. Semnul negativ exprimă mișcarea curentului de la o concentrație mai mare la una inferioară. O formulare alternativă a primei legi a lui Fick poate fi obținută recurgând la coeficientul de schimb material $d_{ij}$ ${\ displaystyle d_ {ij}}$ ${\ displaystyle d_ {ij}}$ :

\mathbf {J} _{\Phi }=-{\mathcal {D}}_{ij}\nabla (\Phi _{\text{tot}}\cdot \phi _{i})=-\Phi _{\text{tot}}{\mathcal {D}}_{ij}\nabla \phi _{i}=-d_{ij}\nabla \phi _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ Phi} = - {\ mathcal {D}} _ {ij} \ nabla (\ Phi _ {\ text {tot}} \ cdot \ phi _ {i}) = - \ Phi _ {\ text {tot}} {\ mathcal {D}} _ {ij} \ nabla \ phi _ {i} = - d_ {ij} \ nabla \ phi _ {i}}

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ Phi} = - {\ mathcal {D}} _ {ij} \ nabla (\ Phi _ {\ text {tot}} \ cdot \ phi _ {i}) = - \ Phi _ {\ text {tot}} {\ mathcal {D}} _ {ij} \ nabla \ phi _ {i} = - d_ {ij} \ nabla \ phi _ {i}}

A doua lege a lui Fick

Același subiect în detaliu: ecuațiile de echilibru .

A doua lege a lui Fick, care descrie procesul de difuzie în dimensiunea timpului, este de fapt o formă simplificată a ecuației echilibrului materiei :

{\frac {\partial \Phi _{i}}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{\Phi }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi _ {i}} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {J} _ {\ Phi}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi _ {i}} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {J} _ {\ Phi}}

Ecuația căldurii

Același subiect în detaliu: ecuația căldurii .

În analiza matematică , ecuația diferențială parțială care are aceeași formă ca ultima relație se numește ecuația căldurii :

{\frac {\partial u}{\partial t}}-a\nabla ^{2}u=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - a \ nabla ^ {2} u = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - a \ nabla ^ {2} u = 0}

în special, este o ecuație diferențială parțială liniară.

Generalizări

Legile lui Fick pot fi generalizate în multe feluri. De exemplu, deoarece acestea nu țin cont de difuzia termică , termoforeza este descrisă de legea mai generală a lui Soret , în timp ce prezența fricțiunii vâscoase poate fi generalizată prin ecuația Smoluchowski .

Generalizarea prin mijloace neomogene

În mediile neomogene tensorul de difuzivitate este o funcție a spațiului, adică ${\mathcal {D}}_{ij}={\mathcal {D}}_{ij}(x)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {ij} = {\ mathcal {D}} _ {ij} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {ij} = {\ mathcal {D}} _ {ij} (x)}$ . În acest caz, prima lege devine:

\mathbf {J} _{\Phi }=-\nabla ({\mathcal {D}}_{ij}\Phi _{i})

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ Phi} = - \ nabla ({\ mathcal {D}} _ {ij} \ Phi _ {i})}

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ Phi} = - \ nabla ({\ mathcal {D}} _ {ij} \ Phi _ {i})}

Dezvoltând gradientul obținem:

\mathbf {J} _{\Phi }=-{\mathcal {D}}_{ij}\nabla \Phi _{i}-\Phi _{i}\nabla {\mathcal {D}}_{ij}=-{\mathcal {D}}_{ij}\nabla \Phi _{i}-\Phi _{i}\mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ Phi} = - {\ mathcal {D}} _ {ij} \ nabla \ Phi _ {i} - \ Phi _ {i} \ nabla {\ mathcal {D}} _ {ij} = - {\ mathcal {D}} _ {ij} \ nabla \ Phi _ {i} - \ Phi _ {i} \ mathbf {v}}

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ Phi} = - {\ mathcal {D}} _ {ij} \ nabla \ Phi _ {i} - \ Phi _ {i} \ nabla {\ mathcal {D}} _ {ij} = - {\ mathcal {D}} _ {ij} \ nabla \ Phi _ {i} - \ Phi _ {i} \ mathbf {v}}

unde este $\mathbf {v} =-\nabla {\mathcal {D}}_{ij}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = - \ nabla {\ mathcal {D}} _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = - \ nabla {\ mathcal {D}} _ {ij}}$ este viteza speciei. Dacă difuzia are loc într-un fluid , orice substanță care se mișcă cu viteză $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ suferă o mișcare browniană .

A doua lege, pentru mediile neomogene și anizotrope, se modifică după cum urmează:

{\frac {\partial \Phi _{i}(x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot ({\mathcal {D}}_{ij}(x)\nabla \Phi _{i}(x,t))=\sum _{i,j=1}^{3}\left({\mathcal {D}}_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}\Phi _{i}(x,t)}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\mathcal {D}}_{ij}(x)}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial \Phi _{i}(x,t)}{\partial x_{j}}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi _ {i} (x, t)} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot ({\ mathcal {D}} _ {ij} (x) \ nabla \ Phi _ {i} (x, t)) = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} \ left ({\ mathcal {D}} _ {ij} (x) {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {i} (x, t)} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {D}} _ {ij} (x )} {\ partial x_ {i}}} {\ frac {\ partial \ Phi _ {i} (x, t)} {\ partial x_ {j}}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi _ {i} (x, t)} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot ({\ mathcal {D}} _ {ij} (x) \ nabla \ Phi _ {i} (x, t)) = \ sum _ {i, j = 1} ^ {3} \ left ({\ mathcal {D}} _ {ij} (x) {\ frac {\ partial ^ {2} \ Phi _ {i} (x, t)} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {D}} _ {ij} (x )} {\ partial x_ {i}}} {\ frac {\ partial \ Phi _ {i} (x, t)} {\ partial x_ {j}}} \ right)}

adică

{\frac {\partial \Phi _{i}}{\partial t}}=\nabla {\mathcal {D}}_{ij}\cdot \nabla \Phi _{i}+{\mathcal {D}}_{ij}\nabla ^{2}\Phi _{i}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi _ {i}} {\ partial t}} = \ nabla {\ mathcal {D}} _ {ij} \ cdot \ nabla \ Phi _ {i} + {\ mathcal {D}} _ {ij} \ nabla ^ {2} \ Phi _ {i}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Phi _ {i}} {\ partial t}} = \ nabla {\ mathcal {D}} _ {ij} \ cdot \ nabla \ Phi _ {i} + {\ mathcal {D}} _ {ij} \ nabla ^ {2} \ Phi _ {i}}

Pentru ca membrul din dreapta să fie un operator eliptic , tensorul de difuzivitate simetric ${\mathcal {D}}_{ij}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {ij}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {ij}}$ trebuie să fie pozitiv .

Aplicații

Cinetica chimică

Legea lui Fick este, de asemenea, utilizată în studiul transportului materiei prin membranele biologice. ^[3] ^[4] Când legea lui Fick se aplică absorbției prin transportul pasiv al unei molecule pe o membrană biologică, aceasta ia aspectul ecuației:

{\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} t}}={\mathcal {D}}{\frac {A}{h}}(K_{1}C_{1}-K_{2}C_{2})

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} M} {\ mathrm {d} t}} = {\ mathcal {D}} {\ frac {A} {h}} (K_ {1} C_ {1} -K_ {2} C_ {2})}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} M} {\ mathrm {d} t}} = {\ mathcal {D}} {\ frac {A} {h}} (K_ {1} C_ {1} -K_ {2} C_ {2})}

unde este:

$\mathrm {d} M/\mathrm {d} t$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} M / \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} M / \ mathrm {d} t}$ este cantitatea de substanță absorbită în unitatea de timp (rata de absorbție)
${\mathcal {D}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ este coeficientul de difuzie al moleculei (depinde de caracteristicile chimico-fizice ale substanței și de vâscozitatea soluției)
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este suprafața membranei afectată de absorbție
$K_{1}$ ${\ displaystyle K_ {1}}$ $K_ {1}$ este coeficientul de partiție a moleculei dintre membrană și fluidul donator
$C_{1}$ ${\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ este concentrația moleculei la locul absorbției (fluid donator)
$K_{2}$ ${\ displaystyle K_ {2}}$ $K_ {2}$ este coeficientul de partiție a moleculei dintre membrană și fluidul acceptor
$C_{2}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$ $C_ {2}$ este concentrația moleculei din fluxul sanguin (fluid acceptor)
$h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este grosimea membranei (intenționată ca grosime eterogenă formată din n straturi de celule)

Considerând sângele (fluidul acceptor) ca un rezervor infinit și, prin urmare, luând în considerare $C_{2}\ll C_{1}$ ${\ displaystyle C_ {2} \ ll C_ {1}}$ ${\ displaystyle C_ {2} \ ll C_ {1}}$ formula poate fi simplificată:

{\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} t}}={\mathcal {D}}{\frac {A}{h}}K_{1}C_{1}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} M} {\ mathrm {d} t}} = {\ mathcal {D}} {\ frac {A} {h}} K_ {1} C_ {1}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} M} {\ mathrm {d} t}} = {\ mathcal {D}} {\ frac {A} {h}} K_ {1} C_ {1}}

Având în vedere și o cale specifică de absorbție pentru acea moleculă, valorile ${\mathcal {D}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ , $K_{1}$ ${\ displaystyle K_ {1}}$ $K_ {1}$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ devin constante, de unde și relația ${\frac {{\mathcal {D}}\cdot K_{1}}{h}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {D}} \ cdot K_ {1}} {h}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ mathcal {D}} \ cdot K_ {1}} {h}}}$ devine și o constantă exprimată cu $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ care reprezintă constanta de permeabilitate a moleculei. Prin urmare, formula derivată din legea lui Fick poate fi simplificată în continuare:

{\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} t}}=P\cdot A\cdot C_{1}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} M} {\ mathrm {d} t}} = P \ cdot A \ cdot C_ {1}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} M} {\ mathrm {d} t}} = P \ cdot A \ cdot C_ {1}}

Legea lui Fick în acest sens reprezintă comportamentul ideal al unui solut care traversează o membrană biologică. În practică, însă, această valoare nu este respectată niciodată, deoarece ecuația nu ia în considerare unii parametri, cum ar fi pKa posibil al substanței, logP _OW absolut și dimensiunea moleculelor, toți factorii determinanți în dinamica absorbției.

Notă

^ Fick, Adolf în Enciclopedia Treccani , pe treccani.it . Adus la 8 iunie 2019 (arhivat din original la 9 decembrie 2018) .
^ Pasăre , pp. 511-512.
^ conceptul de gradient, legea lui Fick și legea lui Graham , pe galenotech.org . Adus la 8 iunie 2019 .
^ Difuzarea gazelor respiratorii - Legea lui Fick ( PDF ), pe users.unife.it (arhivat din original la 5 iulie 2010) .

Bibliografie

R. Byron Bird, Warren E. Stewart și Edwin N. Lightfoot, Fenomene de transport , editat de Enzo Sebastiani, Milano, editura Ambrosian, 1979, ISBN 88-408-0051-4 .
( EN ) WF Smith, Fundamentele științei și ingineriei materialelor ed. A III-a. , McGraw-Hill (2004)
( EN ) HC Berg, Random Walks in Biology , Princeton (1977)
(EN) J. Crank, The Mathematics of Difusion, Oxford University Press (1980)
( EN ) Termodinamică și cinetică în știința materialelor: un curs scurt . Bokshtein, BS Mendelev, MI Srolovitz, DJ Eds. Oxford University Press: Oxford (2005) - pp. 167–171.

Elemente conexe

linkuri externe

Transportul prin membrane biologice (PPT) pe biologia.unile.it.
Reprezentarea legii lui Fick într-o formă discretă , pe vlsilab.polito.it . Adus la 21 mai 2009 (arhivat din original la 24 decembrie 2008) .

Portalul chimiei

Portalul de fizică

[1] Fick, Adolf în Enciclopedia Treccani , pe treccani.it . Adus la 8 iunie 2019 (arhivat din original la 9 decembrie 2018) .

[2] Pasăre , pp. 511-512.

[3] tul de gradient, legea lui Fick și legea lui Graham , pe galenotech.org . Adus la 8 iunie 2019 .

[4] Difuzarea gazelor respiratorii - Legea lui Fick ( PDF ), pe users.unife.it (arhivat din original la 5 iulie 2010) .

[1]

[2]

[3]

[4]