Legile lui Kepler

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Legile lui Kepler sunt trei legi referitoare la mișcarea planetelor. Acestea sunt contribuția principală a lui Johannes von Kepler la astronomie și mecanică .

Astronomul german le-a derivat studiind observațiile lui Tycho Brahe . Isaac Newton a dedus ulterior din legile lui Kepler explicația dinamică a mișcărilor planetare introducând, ca cauză a mișcării, o forță, numită forță gravitațională universală . Newton a dovedit și teorema inversă, și anume că legile lui Kepler sunt obținute în același mod din legea sa generală a mișcării și din forța gravitației.

Prima lege (Legea orbitelor eliptice, 1609)

Pictogramă lupă mgx2.svg Același subiect în detaliu: Derivarea legilor lui Kepler .
Parametrii caracteristici ai orbitei, cu numele absidelor pentru cazul unei orbite în jurul Soarelui

Prima lege prevede că:

Orbita descrisă de o planetă este o elipsă , din care Soarele ocupă unul dintre cele două focare ”.

Cu această lege, Kepler a propus un model heliocentric în care orbitele nu sunt circulare, ci eliptice și, în acest fel, a fost primul care a renunțat la forma perfectă; a fost susținut în acest sens de datele observaționale obținute de Tycho Brahe . Această lege este foarte importantă deoarece separă definitiv teoria heliocentrică a lui Nicolae Copernic de teoria geocentrică a lui Ptolemeu .

Observăm că, din moment ce elipsa este o figură plană, mișcările planetelor apar într-un plan, numit plan orbital . Pentru Pământ acest plan se numește ecliptic .

Ecuația elipsei este

În figura laterală este reprezentată o orbită eliptică , cu parametrii săi caracteristici indicați: axă semi-majoră (a) , axă semi-minoră (b) , distanță semi-focală (c) , excentricitate (e) .

Următoarele relații există între acești parametri:

, de la care

Pentru elipsă, excentricitatea este între 0 și 1 (e = 0 pentru circumferință), dar pentru majoritatea planetelor este e << 1. Elipsa din figură are o excentricitate de aproximativ 0,5: o elipsă cu această caracteristică este foarte frecventă printre orbitele asteroizilor. Unele excentricități ale planetelor: 0,0167 pentru Pământ, 0,0934 pentru Marte și 0,2482 pentru Pluto (o planetă pitică). Doar Mercur și Marte au excentricități de o anumită valoare, celelalte orbite pot fi considerate circulare.

Cele mai importante părți ale elipsei sunt raza vectorială care unește centrul soarelui cu centrul unei planete. Apoi găsim linia absidelor , care este linia dreaptă care trece prin cele două focare ale elipsei împreună cu punctele sale de intersecție cu elipsa numite abside sau vârfuri .

Din această lege înțelegem, de asemenea, că distanța Pământului de Soare nu este întotdeauna aceeași, ci se schimbă. De fapt, punctul în care planeta noastră este cel mai îndepărtat de Soare se numește afeliu , în timp ce punctul în care Pământul este cel mai aproape de Soare se numește periheliu . Distanțele corespunzătoare se numesc distanță de periheliu și distanța până la afelie . Se pare:

De asemenea, este posibil să derivăm această lege pornind de la Legea gravitației universale a lui Newton:
punând: și a fi atunci putem rescrie ecuația după cum urmează:
încă de la Momentul unghiular îl poți scrie ca apoi înmulțind și împărțind la în ecuația anterioară vom obține:
integrând ecuația diferențială: unde este este vectorul unitar calculat în periheliu în care Și sunt perpendiculare.
Prin rezultatul anterior putem obține ecuația traiectoriei în coordonate polare înmulțind totul cu scalar :
înlocuind primesti: și în cele din urmă izolarea vom avea:
obținându-se astfel ecuația traiectoriei eliptice.

A doua lege (Legea zonelor, 1609)

A doua lege prevede că:

«Segmentul ( raza vectorială ) care unește centrul Soarelui cu centrul planetei descrie zone egale în timpi egali. [1] "

Dovada și consecințele celei de-a doua legi

A doua lege a lui Kepler nu este alta decât conservarea impulsului unghiular orbital, din care derivă constanța vitezei areolare.

Dovedim ambele proprietăți.

  • Momentul unghiular orbital al planetei este conservat.

Constanța impulsului unghiular, la rândul său, derivă din faptul că forța este centrală .

Demonstrație

Spune că forța acționarea asupra planetei este centrală, înseamnă că, indiferent de poziția planetei, este paralelă cu raza vectorială .

Mai mult, din al doilea principiu al dinamicii avem :

unde m și acestea sunt, respectiv, masa planetei și accelerația acesteia;

de asemenea, avem, prin definiție, impulsul unghiular orbital :

unde simbolul denotă produsul vector e este viteza planetei.

În acest moment, observăm că:

dar ambele produse vectoriale sunt nule deoarece implică vectori paraleli, prin urmare:

sau

Demonstrație
Kepler areolar velocity.jpg
De fapt, în figura opusă OA reprezintă raza vectorială și AB traiectoria planetei în timp Δ t. Dacă Δ t este suficient de mic, AB poate fi aproximat printr-un segment de linie. Fie și angle unghiul dintre raza vectorială și AB. În timp Δ t este apoi descrisă o zonă

Viteza areolară este deci

fiind

viteza orbitală instantanee. Atâta timp cât este modulul impulsului unghiular, se pare . Prin urmare, dacă L este constant, de asemenea este.

Ilustrarea legii zonelor

A doua lege a lui Kepler este, prin urmare, generalizabilă oricărei mișcări centrale , care leagă accelerația tangențială de viteza areolară .

  • Viteza orbitală nu este constantă, dar variază de-a lungul orbitei. Cele două zone evidențiate în figura din lateral sunt de fapt aceleași și, prin urmare, sunt acoperite în același timp. Aproape de periheliu, unde raza vectorială este mai scurtă decât în ​​afel, arcul elipsei este în mod corespunzător mai lung. Prin urmare, viteza orbitală este maximă la periheliu și minimă la afeliu .
Animarea celei de-a doua legi.
  • Componenta vitezei ortogonale cu raza vectorială pentru o orbită dată este invers proporțională cu modulul razei vectoriale. Aceasta este o consecință a conservării impulsului unghiular. De fapt, indicat cu unghiul dintre raza vectorială și tangenta la orbită, adică între raza vectorului și vectorul viteză, modulul momentului unghiular este constant, dar reprezintă componenta viteza ortogonală pe raza vectorului; prin urmare, produsul este constantă și, întrucât și masa m este constantă, este evident că este invers proporțional cu modulul r al razei vectoriale.

Important : În general, componenta vitezei ortogonale cu raza vectorului nu coincide cu componenta a vitezei tangențiale la orbită. În schimb, acest lucru este cu siguranță adevărat atunci când orbita este circulară.

  • O forță centrală este exercitată pe planetă, care este direcționată în funcție de conjuncția dintre planetă și Soare. A doua lege a dinamicii sistemelor în rotație este
unde este este momentul mecanic aplicat. Atâta timp cât se păstrează, variația sa este nulă și, prin urmare, de asemenea este nul. Acest lucru se poate întâmpla numai dacă este paralel cu , adică este directă ca îmbinarea cu Soarele.

A treia lege (Legea perioadelor, 1619)

Diagrama logaritmică a axei semi-majore (în unități astronomice) în funcție de perioada orbitală (în anii Pământului) pentru cele opt planete ale sistemului solar. Date din foaia de informații planetare - Raportul la valorile Pământului ( NASA ).

A treia lege prevede că:

„Pătratele timpurilor pe care planetele le iau pentru a-și călători orbitele sunt proporționale cu cubul axei semi-majore”.

Raportul dintre pătratul perioadei de revoluție și cubul axei semi-majore a orbitei este același pentru toate planetele.

Această lege poate fi exprimată în formă matematică după cum urmează:

unde este este axa semi-majoră a orbitei, T perioada de revoluție și K o constantă (uneori numită Kepler), care depinde de corpul ceresc în jurul căruia are loc mișcarea de revoluție.

Dacă luăm în considerare mișcarea de revoluție a planetelor sistemului solar în jurul Soarelui și măsurăm distanțele în unități astronomice și timpul în ani siderali (ca în figura din lateral) K este egal cu 1. Subliniem faptul că a treia lege este valabilă și pentru sateliții care orbitează în jurul planetelor: valoarea schimbărilor constante de la planetă la planetă, în timp ce pentru o planetă fixă, este aceeași pentru toți sateliții planetei menționate anterior. Pentru o orbită circulară , formula se reduce la

unde r este raza orbitei.

Se poate arăta că , cu pentru cazul gravitațional e masa redusă . Dovada este deosebit de simplă în cazul unei orbite cu rază circulară și în aproximarea în care o masă (de exemplu cea a soarelui) este mult mai mare decât cealaltă (planetă), adică . Tragerea gravitațională este , și forța centripetă (presupunând fix) este unde este este pulsația și perioada. Egalizarea celor două forțe se obține

Limite de valabilitate ale legilor Kepler și aplicabilitatea acestora

Ar trebui specificat faptul că legile Kepler astfel formulate sunt corecte dacă și numai dacă sunt îndeplinite următoarele ipoteze:

  • masa planetei este neglijabilă în comparație cu cea a stelei de referință;
  • planeta și steaua pot fi modelate ca puncte materiale ;
  • interacțiunile dintre diferite planete sau între planetă și alte corpuri, cum ar fi sateliții, pot fi neglijate (astfel de interacțiuni duc la ușoare perturbații pe forma orbitelor);
  • intensitatea gravitației face posibilă neglijarea efectelor teoriei relativității generale .

Ne-am referit întotdeauna la planete, dar cele trei legi ale lui Kepler sunt aplicabile oricărui corp care orbitează în jurul altuia, de exemplu la sateliți, naturali sau artificiali (întotdeauna sub ipotezele de mai sus).

Notă

  1. ^ Demonstrarea celei de-a doua legi a lui Kepler , pe Mathematica.it , 27 mai 2018.

Bibliografie

Elemente conexe

Alte proiecte

linkuri externe

Controlul autorității Tezaur BNCF 34832 · LCCN (EN) sh94003544 · GND (DE) 4365820-9 · BNF (FR) cb12445155q (data)