Lema lui Borel-Cantelli

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

Lema Borel-Cantelli este un rezultat al teoriei probabilității și a teoriei măsurătorilor fundamentale pentru dovada legii puternice a numerelor mari .

Lasa-i sa fie un spațiu de măsurare e o succesiune de subseturi măsurabile de . Avem:

Unde este indică limita superioară a secvenței .

Demonstrație
pentru monotonia de . Acum, pentru subaditivitate :
deoarece aceasta este limita restului unei serii convergente și, prin urmare, este infinitesimală.

În special, într-un spațiu de măsurare a probabilității , a atribuit o succesiune de evenimente , avem:

În cazul spațiilor de probabilitate, este valabilă și următoarea propoziție (denumită adesea „în conformitate cu lema Borel-Cantelli”):

ei sunt independenți .
Dovadă (a declarației 2)
Acum pentru independență:
atâta timp cât ; atunci:
(deoarece suma divergă și, prin urmare, exponențialul tinde la 0). Asa de:

Cu alte cuvinte, dacă o succesiune de evenimente are probabilități sumabile, aproape sigur apare un număr finit cel mult. Dacă, pe de altă parte, are probabilități non-însumabile și evenimentele sunt independente, un număr infinit va apărea aproape sigur. În special, în infinitele teste independente orice eveniment cu probabilitate pozitivă are loc la infinit de ori (o aplicație aparent paradoxală a ultimei afirmații este dată de așa-numitul paradox Borel ).

Elemente conexe