Lema lui Nakayama

Lema lui Nakayama este o teoremă de mare importanță în studiul inelelor comutative unitare , în special a inelelor locale ; oferă informații cu privire la relația dintre radicalul Jacobson al unui inel și sale generate finit module .

Este numit după matematicianul japonez Tadashi Nakayama .

Afirmație

Lema lui Nakayama afirmă că, dacă $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un ideal cuprins în radicalul Jacobson al unui inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ e o $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ - finit generat modulul astfel încât $IM=M$ ${\ displaystyle IM = M}$ ${\ displaystyle IM = M}$ , asa de $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ este modulul nul.

Din aceasta urmează două consecințe importante ( $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este întotdeauna un ideal cuprins în radicalul Jacobson al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ un modul generat finit):

de sine $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ este un submodul al $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât $N+IM=M$ ${\ displaystyle N + IM = M}$ ${\ displaystyle N + IM = M}$ , asa de $N=M$ ${\ displaystyle N = M}$ ${\ displaystyle N = M}$ ;
de sine $m_{1},\dots ,m_{n}$ ${\ displaystyle m_ {1}, \ dots, m_ {n}}$ ${\ displaystyle m_ {1}, \ dots, m_ {n}}$ sunt elemente ale $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ ale căror imagini le generează $M/IM$ ${\ displaystyle M / IM}$ ${\ displaystyle M / IM}$ , asa de $m_{1},\dots ,m_{n}$ ${\ displaystyle m_ {1}, \ dots, m_ {n}}$ ${\ displaystyle m_ {1}, \ dots, m_ {n}}$ Genera $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ .

Primul dintre aceste două rezultate se obține aplicând lema a lui Nakayama $M/N$ ${\ displaystyle M / N}$ ${\ displaystyle M / N}$ , în timp ce al doilea se obține prin aplicarea anunțului anterior $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ și submodulul $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ generat de $m_{i}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ $pe mine$ .

O afirmație mai generală, numită uneori lema lui Nakayama, afirmă că dacă $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este un (orice) ideal al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ A $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ -modul generat definitiv astfel încât $IM=M$ ${\ displaystyle IM = M}$ ${\ displaystyle IM = M}$ , apoi există un $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ astfel încât $r-1\in I$ ${\ displaystyle r-1 \ în I}$ ${\ displaystyle r-1 \ în I}$ Și $rM=0$ ${\ displaystyle rM = 0}$ ${\ displaystyle rM = 0}$ .

Demonstrație

Dovada lemei Nakayama este adesea efectuată pornind de la teorema Cayley-Hamilton , care afirmă că, dacă $\phi \colon M\longrightarrow M$ ${\ displaystyle \ phi \ colon M \ longrightarrow M}$ ${\ displaystyle \ phi \ colon M \ longrightarrow M}$ este un endomorfism astfel încât $\phi (M)\subseteq IM$ ${\ displaystyle \ phi (M) \ subseteq IM}$ ${\ displaystyle \ phi (M) \ subseteq IM}$ , apoi există elemente $m_{j}\in I$ ${\ displaystyle m_ {j} \ în I}$ ${\ displaystyle m_ {j} \ în I}$ astfel încât endomorfismul

\phi ^{n}+m_{n-1}\phi ^{n-1}+\cdots +m_{1}\phi +m_{0}

{\ displaystyle \ phi ^ {n} + m_ {n-1} \ phi ^ {n-1} + \ cdots + m_ {1} \ phi + m_ {0}}

{\ displaystyle \ phi ^ {n} + m_ {n-1} \ phi ^ {n-1} + \ cdots + m_ {1} \ phi + m_ {0}}

este nul (unde $\phi ^{k}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ phi ^ {k}}$ indică compoziția $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ cu sine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ori).

Dacă acum $IM=M$ ${\ displaystyle IM = M}$ ${\ displaystyle IM = M}$ , poți lua ca $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ identitatea pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ : aceasta implică faptul că elementul $1+m_{n-1}+\cdots +m_{1}+m_{0}$ ${\ displaystyle 1 + m_ {n-1} + \ cdots + m_ {1} + m_ {0}}$ ${\ displaystyle 1 + m_ {n-1} + \ cdots + m_ {1} + m_ {0}}$ este elementul $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ căutat, deoarece multiplicarea cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ devine endomorfismul nul, adică $rM=0$ ${\ displaystyle rM = 0}$ ${\ displaystyle rM = 0}$ .

Dacă acum $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este cuprins în radicalul lui Jacobson ed $i\in I$ ${\ displaystyle i \ in I}$ ${\ displaystyle i \ in I}$ , asa de $1+i$ ${\ displaystyle 1 + i}$ ${\ displaystyle 1 + i}$ este un element inversabil al inelului; în special, elementul $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ tocmai am găsit că va fi inversabil și, prin urmare, de asemenea $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ trebuie să fie modulul nul.

Inele locale

Lema este deosebit de utilă atunci când inelul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este local , deoarece în acest caz radicalul Jacobson coincide cu idealul său maxim ${\mathfrak {m}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ .

Dacă inelul este și noetherian , ${\mathfrak {m}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ în sine poate fi văzut ca un $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ - modul generat finit: dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este un câmp (adică ${\mathfrak {m}}\neq 0$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} \ neq 0}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} \ neq 0}$ ) Lema lui Nakayama implică asta ${\mathfrak {m}}^{2}\neq {\mathfrak {m}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} ^ {2} \ neq {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} ^ {2} \ neq {\ mathfrak {m}}}$ , și că dimensiunea sa (ca spațiu vectorial pe câmpul rezidual $k=A/{\mathfrak {m}}$ ${\ displaystyle k = A / {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle k = A / {\ mathfrak {m}}}$ ) este egal cu numărul minim de elemente necesare pentru a genera ${\mathfrak {m}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$ . Datorită teoremei ideale principale , această dimensiune este întotdeauna mai mare sau egală cu dimensiunea Krull a $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ; atunci când există egalitate, se spune că inelul este regulat .

O altă consecință a lemei lui Nakayama este că, pe inelele locale, toate modulele proiective sunt libere . ^[1]

Notă

^ (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, p. 103, ISBN 0-521-43500-5 .

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .
Irving Kaplansky , Inele comutative , The University of Chicago Press, 1974, ISBN 0-226-42454-5 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, p. 103, ISBN 0-521-43500-5 .

[1]