Lema lui Zorn

Lema lui Zorn afirmă că:

"De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un set ne-gol pe care este definită o relație de ordine parțială astfel încât fiecare dintre lanțurile sale să aibă o majoritate în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , asa de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ conține cel puțin un element de tavan . "

Lema lui Zorn este echivalentă cu axioma alegerii și teorema bunei ordonări , dar formularea sa particulară este mai utilă în multe dovezi.

Contextul istoric și rolul

Lema lui Zorn se mai numește și lema lui Kuratowski-Zorn ; de fapt a fost descoperit de Kazimierz Kuratowski în 1922 și redescoperit independent de Max Zorn în 1935 .

Poziția în axiomatica mulțimilor

S-a dovedit apoi că Lema lui Zorn este echivalentă cu axioma alegerii și teorema bunei ordonări . Mai precis, presupunând sistemul de axiome Zermelo-Fraenkel , dacă se presupune și una dintre cele trei propoziții menționate mai sus, se pot deduce celelalte două.

În urma lucrărilor lui Kurt Gödel și Paul Cohen s-a demonstrat că axioma de alegere este independentă logic de un sistem de axiome pentru teoria mulțimilor , de exemplu prin axiomele Zermelo-Fraenkel . În consecință, lema Zorn (sau, alternativ, teorema bunei ordonări) este, de asemenea, independentă de aceste sisteme axiomatice. Este imposibil să derivăm lema lui Zorn sau negarea acesteia din aceste axiome; prin urmare, putem avea teorii stabilite care includ lema lui Zorn și altele care includ negarea ei.

Utilitate în demonstrații

În majoritatea lucrărilor matematice care se ocupă de aceste probleme generale, este necesară lema Zorn, mai degrabă decât celelalte două formulări echivalente, deoarece face posibilă stabilirea unui set mai mare de proprietăți și identificarea unei game mai largi de obiecte matematice care să ducă la o mai satisfăcătoare. construcții teoretice, adică la sisteme de teoreme cu caracteristici de completitudine mai mare.

De exemplu, datorită presupunerii lemei Zorn, este posibil să se afirme teorema Hahn-Banach în analiza funcțională , existența unei baze pentru fiecare spațiu vectorial , teorema Tychonoff în topologie sau să garanteze compactitatea fiecărui produs infinit al spații compacte , existența unui ideal maxim pentru fiecare inel și faptul că fiecare câmp are o închidere algebrică .

Echivalența cu axioma alegerii

Dependența de axioma alegerii

Având un set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ pe care se definește o relație de ordine $<$ ${\ displaystyle <}$ $<$ , prin axioma de alegere (aplicată setului de părți din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ) știm că există o funcție de alegere $f\colon {\mathcal {P}}(X)\setminus \{\varnothing \}\rightarrow X$ ${\ displaystyle f \ colon {\ mathcal {P}} (X) \ setminus \ {\ varnothing \} \ rightarrow X}$ ${\ displaystyle f \ colon {\ mathcal {P}} (X) \ setminus \ {\ varnothing \} \ rightarrow X}$ astfel încât $\forall Y\in {\mathcal {P}}(X)\setminus \{\varnothing \},f(Y)\in Y$ ${\ displaystyle \ forall Y \ in {\ mathcal {P}} (X) \ setminus \ {\ varnothing \}, f (Y) \ in Y}$ ${\ displaystyle \ forall Y \ in {\ mathcal {P}} (X) \ setminus \ {\ varnothing \}, f (Y) \ in Y}$ .

Având în vedere o astfel de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , definim $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ - înlănțui un lanț $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ astfel încât:

$(C,<)$ ${\ displaystyle (C, <)}$ $(C, <)$ este bine ordonat
$\forall a\in C,a=f(\{x\mid \forall b\in C,b<a\rightarrow x>b\})$ ${\ displaystyle \ forall a \ in C, a = f (\ {x \ mid \ forall b \ in C, b <a \ rightarrow x> b \})}$ $\ forall a \ in C, a = f (\ {x \ mid \ forall b \ in C, b <a \ rightarrow x> b \})$

adică fiecare element al lanțului este imaginea elementelor care măresc toate elementele anterioare din lanț; îți poți imagina asta $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este construit pornind de la setul gol, adăugând de fiecare dată un element ales din setul majorităților elementelor deja adăugate

Se întâmplă cu ușurință să dai două $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ -lanţuri $C., D.$ ${\ displaystyle C, D}$ $CD$ , unul va fi întotdeauna segmentul inițial al celuilalt și, prin urmare, o uniune a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ -lanturi este inca unul $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ -lanţ.

Să fie acum $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ unirea tuturor $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ -lanturi continute in $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ va fi una $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ -lanţ. Să presupunem că fiecare lanț are un majorant (ipoteza lemnei lui Zorn): atunci în special există un $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ mai mare decât toate elementele din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Dar dacă ar exista $n\in X$ ${\ displaystyle n \ în X}$ $n \ în X$ astfel încât $n>m$ ${\ displaystyle n> m}$ $n> m$ , am avea acel întreg $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ dintre majoranții din $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ (și deci a fiecărui element al $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ) este ne-gol (conține cel puțin $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ) și apoi lanțul obținut prin extindere $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ cu elementul $f(M)$ ${\ displaystyle f (M)}$ $f (M)$ e o $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ -lanţ. Dar acesta este un absurd de ce $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este definit ca uniunea tuturor $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ -lanţuri.

Implicarea axiomei de alegere

Același subiect în detaliu: Teorema unei bune ordonări .

Pentru a demonstra că lema lui Zorn implică axioma alegerii, este posibil să observăm că aceasta implică teorema bunei ordonări, care, la rândul său, implică axioma alegerii.

Alternativ, se poate proceda direct prin aplicarea Lemei la o familie de seturi construite ad hoc ca familie de funcții de alegere parțială.

Luați în considerare o familie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ de seturi ne-goale. De asemenea, să fie $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ setul tuturor funcțiilor de alegere pe un element al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , adică

S={\Big \{}f\colon {\mathcal {D}}\to \bigcup {\mathcal {D}}\mid {\mathcal {D}}\subset X{\text{ e }}f(D)\in {\mathcal {D}}{\text{ per ogni }}D\in {\mathcal {D}}{\Big \}}

{\ displaystyle S = {\ Big \ {} f \ colon {\ mathcal {D}} \ to \ bigcup {\ mathcal {D}} \ mid {\ mathcal {D}} \ subset X {\ text {e} } f (D) \ in {\ mathcal {D}} {\ text {pentru fiecare}} D \ in {\ mathcal {D}} {\ Big \}}}

{\ displaystyle S = {\ Big \ {} f \ colon {\ mathcal {D}} \ to \ bigcup {\ mathcal {D}} \ mid {\ mathcal {D}} \ subset X {\ text {e} } f (D) \ in {\ mathcal {D}} {\ text {pentru fiecare}} D \ in {\ mathcal {D}} {\ Big \}}}

.

Întregul $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ nu este gol, deoarece este întotdeauna posibil să construim o funcție de alegere pornind de la un număr finit de seturi (adică elemente de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ).

Deci, ia în considerare $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ordinea $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ dat de includerea setată de funcții și de ambele $(C,\subset )$ ${\ displaystyle (C, \ subset)}$ ${\ displaystyle (C, \ subset)}$ un lanț de elemente de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . În termeni stabiliți

C={\Big \{}f\colon {\mathcal {D}}\to \bigcup {\mathcal {D}}\mid {\mathcal {D}}\in I{\text{ e }}f(D)\in {\mathcal {D}}{\text{ per ogni }}D\in {\mathcal {D}}{\Big \}}

{\ displaystyle C = {\ Big \ {} f \ colon {\ mathcal {D}} \ to \ bigcup {\ mathcal {D}} \ mid {\ mathcal {D}} \ in I {\ text {e} } f (D) \ in {\ mathcal {D}} {\ text {pentru fiecare}} D \ in {\ mathcal {D}} {\ Big \}}}

{\ displaystyle C = {\ Big \ {} f \ colon {\ mathcal {D}} \ to \ bigcup {\ mathcal {D}} \ mid {\ mathcal {D}} \ in I {\ text {e} } f (D) \ in {\ mathcal {D}} {\ text {pentru fiecare}} D \ in {\ mathcal {D}} {\ Big \}}}

pentru o anumită familie $I\subset {\mathcal {P}}(X)$ ${\ displaystyle I \ subset {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle I \ subset {\ mathcal {P}} (X)}$ lanț de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu privire la incluziune.

Continuăm demonstrând acea uniune $\bigcup C$ ${\ displaystyle \ bigcup C}$ ${\ displaystyle \ bigcup C}$ este o majoritate a $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . De fapt, a spus ${\mathcal {I}}=\bigcup {I}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = \ bigcup {I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = \ bigcup {I}}$ , este ușor dovedit că $\bigcup C$ ${\ displaystyle \ bigcup C}$ ${\ displaystyle \ bigcup C}$ este de forma $g\colon {\mathcal {I}}\to \bigcup {\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle g \ colon {\ mathcal {I}} \ to \ bigcup {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle g \ colon {\ mathcal {I}} \ to \ bigcup {\ mathcal {I}}}$ unde este ${\mathcal {I}}\subset X$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} \ subset X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}} \ subset X}$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este o funcție de alegere activată ${\mathcal {I}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {I}}}$ .

Întregul $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ satisface astfel ipotezele lemei lui Zorn. Prin urmare, există o funcție de alegere $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ plafon în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ . Rămâne să dovedim asta $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este o funcție de alegere activată $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Presupunem că este absurd $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este o funcție de alegere activată ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal {A}}$ unde este ${\mathcal {A}}\subsetneq X$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ subsetneq X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} \ subsetneq X}$ . Există atunci $A\in X\setminus {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle A \ în X \ setminus {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle A \ în X \ setminus {\ mathcal {A}}}$ astfel încât, pentru orice $a\in A$ ${\ displaystyle a \ în A}$ $a \ in A$ , extensia

{\bar {F}}(D)=\left\{{\begin{matrix}F(D)\quad &&{\mbox{se }}D\in {\mathcal {A}};\\a&&{\mbox{se }}D=A~.\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle {\ bar {F}} (D) = \ left \ {{\ begin {matrix} F (D) \ quad && {\ mbox {se}} D \ in {\ mathcal {A}}; \ \ a && {\ mbox {se}} D = A ~. \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle {\ bar {F}} (D) = \ left \ {{\ begin {matrix} F (D) \ quad && {\ mbox {se}} D \ in {\ mathcal {A}}; \ \ a && {\ mbox {se}} D = A ~. \ end {matrix}} \ right.}

este o funcție de alegere a $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ astfel încât $F\subsetneq {\bar {F}}$ ${\ displaystyle F \ subsetneq {\ bar {F}}}$ ${\ displaystyle F \ subsetneq {\ bar {F}}}$ , în contradicție cu maximitatea lui $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ .